安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高一上学期数学统一作业7（含解析）

2023级高一年级第一学期数学统一作业（7）
考试说明：1.考查范围：必修第一册第一章至第四章第3节对数。
2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:130分，考试时间:100分钟。
3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。考试结束后只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.满足条件的所有集合的个数是( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.若，则下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
4.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 ( )
A. 或 B. C. D.
6.函数，的值域是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.若不等式对一切实数恒成立，则实数的可能取值范围( )
A. B. C. D.
10.若函数在区间上的最大值与最小值的差为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
11.已知，现有下面四个命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，则下面结论正确的是( )
A. 对于函数，有成立
B. 对于函数，有成立
C. 对于函数，存在，使得成立
D. 若是上的单调递增函数，则一定有成立
第Ⅱ卷 非选择题（共70分）
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则使得成立的的取值范围是 ．
14.已知函数关于对称，则的解集为 ．
15.已知，，则 ．
16.已知函数，设，若，则的取值范围是 ．
四、解答题（本题共5小题，每题10分，共50分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.本小题分已知集合，集合，集合．
求
若，求的取值范围．
18.本小题分化简求值：
；
19.本小题分一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存，每分钟后病毒所占内存是原来的倍．记分钟后的病毒所占内存为．
Ⅰ求关于的函数解析式；
Ⅱ如果病毒占据内存不超过时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长．
20.本小题分已知定义在上的偶函数和奇函数满足．
求函数和的表达式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.附加题（本小题10分）
已知函数．
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数的取值范围．
参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.满足条件的所有集合的个数( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查集合关系的应用，利用并集关系确定集合的元素．
利用条件，则说明中必含所有元素，然后进行讨论即可．
【解答】
解：因为，所以一定属于，则满足条件的或或或，共有个．
故选：．
2.已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定及真假判定，考查一元二次方程有解的条件．
根据命题为假，可知命题的否定为真，从而利用判别式列不等式即可得的取值．
【解答】
解：由命题：，，是假命题，
则：，为真命题，
，解得，
故选A．
3.若，则下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的知识点是不等式的基本性质，函数的单调性，是函数与不等式的综合应用，属于基础题．
根据已知，结合幂函数的单调性可判断，举出反例可判断，，，进而得到答案．
【解答】
解：因为函数是上的增函数，又，所以，故A正确；
当，时，满足，但，故B错误；
当，时，满足，但，故C错误；
当，时，满足，但，故D错误；
故选A．
4.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，
由题，结合基本不等式求解最小值．
【解答】
解：因为，，且，
所以
，
当且仅当即时等号成立．
故选B．
5.已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 ( )
A. 或 B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查幂函数的图象与性质应用，属基础题．
根据幂函数的定义可得，求解的值再根据偶函数验证即可．
【解答】
解：由幂函数的定义知，
解得或．
又因为为偶函数，
所以指数为偶数，
故只有满足．
故选D．
6.函数，的值域是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复合函数的值域的求法，属于基础题．
由复合函数直接求值域即可．
【解答】
解：，
，
，
故选：．
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了分段函数性质的应用，属于基础题．
由已知结合分段函数性质及指数函数与一次函数的性质即可求解．
【解答】
解：当时，，
由，可得，则，
当时，，
设此时的取值范围是集合，
函数的值域为，
，
，即，
解得，
实数的取值范围是
故选A．
8.标准的围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查数学史和对数运算，属于中档题．
取常用对数进行计算即可．
【解答】
解：
，
所以．
故选B
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9.若不等式对一切实数恒成立，则实数的可能取值范围( )
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
当，符合题意时，由题意得，即可求解．
【解答】
解：，即时，恒成立，符合题意
时，由题意得：
，
解得：，
综上所述：．
故选BC．
10.若函数在区间上的最大值与最小值的差为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查的是指数函数的性质，属于基础题．
结合指数函数的单调性，分类讨论和两种情形下在上的最值，建立关于的方程求解即可．
【解答】
解：当时，在上单调递增，
则，解得；
当时，在上单调递减，
则，解得；
综上，或．
故选CD．
11.已知，现有下面四个命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查指数、对数的互化，考查对数的运算，属于中档题．
若，可得，可得；若，根据对数的运算法则即可求出的值．
【解答】
解：因为，
若，则由可得，所以，于是，对错；
若，则由可得：．
所以，对错．
故选AB．
12. 对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，则下面结论正确的是( )
A. 对于函数，有成立
B. 对于函数，有成立
C. 对于函数，存在，使得成立
D. 若是上的单调递增函数，则一定有成立
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数新定义的理解，属于较难题．
由新定义运算可判断按照、分类，计算出集合即可判断令可判断若是函数的“不动点”，易证，即，若是函数的“稳定点”，结合反证法可得，可判断．
【解答】
解：对于项，由于，
则由，得或，故A，
由，得，故B，则，故A项错误
对于项，
由，得，
而，，得，故A，故B项正确
对于项，
若时，则，，此时，故C项正确
对于，
若是函数的“不动点”，则，则，
所以也是函数的“稳定点”，所以，
若是函数的“稳定点”，则，
假设，则由函数单调性可得，即，假设不成立
假设，则由函数单调性可得，即，假设不成立
所以，即为的不动点，所以，
综上，，故D正确．
故选：．
第Ⅱ卷 非选择题（共70分）
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.若定义在上的奇函数在上是增函数，且，则使得成立的的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．
由已知可得函数是在上是增函数，结合，转化不等式，即可求解．
【解答】
解：定义在上的奇函数在上是增函数，
函数是在上是增函数，
又，，
由，得或，
解得或．
的取值范围是．
故答案为：．
14.已知函数关于对称，则的解集为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查指数不等式的性质，属于基础题．
先求出的值，可得函数的解析式，再由，使用指数不等式得到绝对值不等式，求出的范围．
【解答】
解：函数关于对称，
，，
则由，
即，
可得，
求得，
故答案为：．
15.已知，，则 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了对数与指数的运算，属于基础题．
根据对数和指数的运算法则求解即可．
【解答】
解：由题意可得，
由对数恒等式可知：，，
则，
故答案为：．
16.已知函数，设，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【分析】
首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在时，要使，必然有，，然后通过图象看出使的与的范围，则的取值范围可求．
本题考查函数的零点，考查了函数的值域，运用了数形结合的数学思想方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，此题是中档题．
【解答】
解：由函数，作出其图象如图，
因为函数在和上都单调，
所以，若满足，时，
必有，，
由图可知，使时
，所以
可得：．
故答案为．
四、解答题（本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分已知集合，集合，集合．
求
若，求的取值范围．
【答案】解：由，
得或，
所以．
因为，所以A.
当时，，则．
当时，则．
综上，的取值范围为或．
【解析】本题考查集合的交集运算，补集运算，并集运算，集合间的关系，属于基础题．
先求出的补集，再与求交集．
由条件得到是的子集，进而得到关于的不等式组，注意分和两种情况讨论，由此得到答案．
18.本小题分化简求值：
；
【答案】解：
．
．
【解析】本题主要考查指数和对数的运算，属于基础题．
利用指数幂的运算法则即可求解；
根据对数的运算法则化简即可得解．
19.本小题分一种专门占据内存的计算机病毒，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，造成磁盘空间的严重浪费．这种病毒开机时占据内存，每分钟后病毒所占内存是原来的倍．记分钟后的病毒所占内存为．
Ⅰ求关于的函数解析式；
Ⅱ如果病毒占据内存不超过时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长．
【答案】解：Ⅰ因为在刚开机时它占据的内存，然后每分钟自身复制一次，复制后所占的内存是原来的倍，
所以，一个三分钟后它占据的内存为；
两个三分钟后它占据的内存为；
三个三分钟后它占据的内存为；
所以，分钟后它占据的内存为，
即
Ⅱ因为病毒占据内存不超过，计算机能够正常使用，
由，得，解得．
故本次开机计算机能正常使用的时长为分钟．
【解析】Ⅰ由题意可得，第分钟后，病毒所占内存为；
Ⅱ由，求解指数方程得答案．
本题考查函数模型的选择及应用，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是基础题．
20.本小题分已知定义在上的偶函数和奇函数满足．
求函数和的表达式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：因为，
所以，即
联立，解得，．
对恒成立，即对恒成立，
令，易知为减函数，则，
所以．
则恒成立，
而在上单调递减，，
，
故的取值范围为
【解析】本题考查了函数解析式的求法，函数的奇偶性和不等式恒成立问题，考查了方程思想和转化思想，属中档题．
根据题意列出方程，联立即可解出和；
由题转换为对恒成立，令，得到恒成立，求出的取值范围即可．
21.（附加题）本小题分
已知函数．
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
若对任意的，，，均存在以，，为三边长的三角形，求实数的取值范围．
【答案】解：，因为，所以，
所以等价于，即
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
即实数的取值范围是．
，
因为，所以，
当时：；
当时：，；
当时：
由题意知：对任意的，，恒成立，
当时：，且，
所以
当时：，符合题意；
当时，，且，
所以；
综上所述：实数的取值范围为．