【精品解析】山东省潍坊市2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷(9月)

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名称 【精品解析】山东省潍坊市2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷(9月)
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2023-12-04 23:00:37

文档简介

山东省潍坊市2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷(9月)
一、选择题(共6小题,共24分.)
1.(2023九上·潍坊开学考)如图,把△ABC纸片的∠A沿DE折 叠,点A落在四边形CBDE外,则∠1、∠2与∠A的关系是(  )
A.∠1+∠2=2∠A B.∠2-∠1=2∠A
C.∠2-∠A=2∠1 D.2∠1+2∠A=∠2
2.(2019七下·蔡甸期末)已知三个数 满足 , , ,则 的值是(  )
A. B. C. D.
3.(2023九上·潍坊开学考)将一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放,点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,将△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°),DE′交AC于点M,DF′交BC于点N,则的值为(  )
A. B. C. D.
4.(2023九上·潍坊开学考)定义一种关于整数n的“F”运算:
⑴当n是奇数时,结果为3n+5;
⑵当n是偶数时,结果是(其中k是使是奇数的正整数),并且运算重复进行.
例如:取n=58,第一次经F运算是29,第二次经F运算是92,第三次经F运算是23,第四次经F运算是74…;若n=9,则第2023次运算结果是(  )
A.6 B.7 C.8 D.9
5.(2023九上·潍坊开学考)如图,已知BO平分∠CBA,CO平分∠ACB,且MN∥BC,设AB=18,BC=24,AC=12,则MN的长是(  )
A.13 B. C. D.14
6.(2023九上·潍坊开学考)如图①是3×3正方形方格,将其中两个方格涂黑,并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形,约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案,例如图②中的四幅图就视为同一种图案,则得到的不同图案共有(  )
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
二、多项选择题(本题共2小题,共8分;在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得4分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
7.(2023九上·潍坊开学考)如图,点D为等边三角形ABC内的一点,DA=5,DB=4,DC=3,将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′,下列结论正确的有(  )
A.△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到
B.∠ADC=150°
C.点D到CD′的距离为4
D.
8.(2023九上·潍坊开学考)甲乙两人骑自行车分别从A,B两地同时出发相向而行,甲匀速骑行到B地,乙匀速骑行到A地,甲的速度大于乙的速度,两人分别到达目的地后停止骑行.两人之间的距离y(米)和骑行的时间x(秒)之间的函数关系图象如图所示,其中正确的结论有(  )
A.a=450
B.b=150
C.甲的速度为8米/秒
D.当甲、乙相距50米时,甲出发了55秒或65秒
三、填空题(本题共4小题,共20分,只要求填写最后结果,每小题填对得5分.)
9.(2023九上·潍坊开学考)若关于x的不等式mx-n>0的解集是x<,则关于x的不等式(m+n)x>n-m的解集是   .
10.(2023九上·潍坊开学考)阅读材料:在求1+2+22+23+24+…+22022的值时,先设S=1+2+22+23+24+…+22022,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22022+22023,将下式减去上式得2S-S=22023-1,即S=22023-1,求得1+2+22+23+24+…+22022=22023-1,请你仿照此法计算:1+5+52+53+54+…+52023的值等于    .
11.(2020·温岭模拟)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为4 的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合,点P在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是   .
12.(2023九上·潍坊开学考)如图是某校初中部美丽校园的一景,小明同学上学去班时要走过该段楼梯.已知本段楼梯共有10个阶梯,如果每步只允许走一个或两个阶梯,那么小明同学共有    种方法走完本段楼梯.
四、解答题(本题共4小题,共48分.解答应写出必要文字说明或演算步骤.)
13.(2023九上·潍坊开学考)如图①,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)【概念理解】如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;
(2)【性质探究】如图①,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD.试证明:AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)【解决问题】如图③,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE.已知AC=8,AB=10,求GE的长.
14.(2023九上·潍坊开学考)某学校计划今年国庆期间组织部分教师到外地进行学习,预订宾馆住宿时,有住宿条件完全一样的甲、乙两家宾馆可供选择,其收费标准均为每人每天120元,并且各自推出不同的优惠方案.
【问题信息】外出学习教师不超过100人.甲宾馆是35人以内(含35人)按标准收费,超过35人的,超出部分按九折收费;乙宾馆是45人以内(含45人)的按标准收费,超过45人的,超出部分按八折收费.
【问题设计】如果你是这个学校负责人,你会怎样选择宾馆?请你给出你的设计方案和理由.
15.(2023九上·潍坊开学考)数学来源于生活,生活中处处有数学,用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论.现有a克糖水,其中含有b克糖(a>b>0),则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为.
(1)糖水实验一:加入m克水,则糖水的浓度为    .生活经验告诉我们,糖水加水后会变淡,由此可以写出一个不等式   ,我们趣称为“糖水不等式”.
(2)糖水实验二:
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”,则糖水的浓度为    .根据生活经验,请你写出一个新的“糖水不等式”   .
(3)请结合(2)探究得到的结论尝试证明:
设a、b、c为△ABC三边的长,求证:.
16.(2023九上·潍坊开学考)综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在AD上选一点P,连接BP,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.
如图1,当点M在EF上时,根据以上操作,写出一个度数为30°的角为   ;
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.
①如图2,当点M在EF上时,则∠MBQ= ▲ ;
②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合)如图3,判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用
在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm 时,请直接写出AP的长.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】三角形的外角性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:分别延长CE,BD交于A',连接AA'
由折叠性质可得:EA=EA',DA=DA'
故答案为:B
【分析】分别延长CE,BD交于A',连接AA',根据三角形外角性质可得,再根据折叠性质即可求出答案.
2.【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解:∵ , , ,
∴ , , ,
∴ , , ,
∴2( )=18,
∴ =9,
∴ .
故答案为:A.
【分析】先将条件式化简,然后根据分式的运算法则即可求出答案.
3.【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质;求特殊角的三角函数值;旋转的性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵点D为AB的中点
∴CD=AD=DB

∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°)

在Rt△PCD中

【分析】根据直线三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=DB,则,根据互余性质可得,再根据旋转性质可得,根据相似三角形判定定理可得,即,在直角三角形中,根据特殊角的三角形函数值即可求出答案.
4.【答案】C
【知识点】探索数与式的规律;定义新运算
【解析】【解答】解:由题意可得:当n=9时,
第一次经F运营是3×9+5=32
第二次经F运营是1
第三次经F运营是8
第四次运营是1
......
之后出现1、8循环,奇数次是8,偶数次是1
∴第2023次运算结果是8
故答案为:C
【分析】根据运算结果的变化找出变化规律,即可求出答案.
5.【答案】C
【知识点】平行线的性质;角平分线的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵BO平分∠CBA,CO平分∠ACB
∵MN∥BC
∴MO=MC,NO=NB
∵AB=18,AC=12
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=30
∵MN∥BC

,即
解得:MN=
故答案为:C
【分析】根据角平分线性质可得,再根据直线平行性质可得MO=MC,NO=NB,则△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=30,再根据相似三角形性判定定理和性质即可求出答案.
6.【答案】A
【知识点】轴对称的性质;轴对称图形
【解析】【解答】解:由题意可得:
得到的不同图案有:
共6种
故答案为:A
【分析】根据轴对称图形的定义与性质即可求出答案.
7.【答案】A,D
【知识点】三角形的面积;等边三角形的性质;勾股定理的逆定理;旋转的性质
【解析】【解答】解:∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′,
∴AD=AD′,∠DAD′=60°,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°后,AB与AC重合,AD与AD′重合,
∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到,所以A正确;
∴D′C=DB=4,
∵DC=3,
在△DD′C中,
∵32+42=52,
∴DC2+D′C2=DD′2,
∴△DD′C为直角三角形,
∴∠DCD′=90°,
∵△ADD′为等边三角形,
∴∠ADD′=60°,
∴∠ADC≠150°,所以B错误;
∵∠DCD′=90°,
∴DC⊥CD′,
∴点D到CD′的距离为3,所以C错误;
∵S△ADD′+S△D′DC
=×52+×3×4
=6+,所以D正确.
故答案为:AD.
【分析】根据旋转性质可得AD=AD′,∠DAD′=60°,再根据等边三角形性质可得AB=AC,∠BAC=60°,再根据旋转性质可判断A;根据勾股定理得逆定理可得△DD′C为直角三角形,结合等边三角形性质可判断B;根据两直线之间的距离可判断C;根据三角形面积可判断D.
8.【答案】B,D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解:由图可得,甲的速度为:600÷100=6(米/秒),故C错误,不符合题意;
∴乙的速度为:600÷60-6=4(米/秒),
∴a=4×100=400,故A错误,不符合题意;
b=600÷4=150,故B正确,符合题意;
设当甲、乙相距50米时,甲出发了m秒,
两人相遇前:(600-50)=m(6+4),
解得m=55;
两人相遇后:(600+50)=m(6+4),
解得m=65;故D正确,符合题意;
故答案为:BD.
【分析】根据速度=路程÷时间,结合函数图象即可求出答案.
9.【答案】x<-
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解:∵mx-n>0
∴mx>n
∵关于x的不等式mx-n>0的解集是x<
∴m<0,
∴m=7n
∴n<0
m+n=8n,n-m=-6n
∴m+n=8n<0
∴关于x的不等式(m+n)x>n-m的解集是

故答案为:
【分析】根据不等式的性质可得m<0,n<0,求出m=7n,求出m+n,n-m的值,代入不等式即可求出答案.
10.【答案】
【知识点】竞赛类试题
【解析】【解答】解:设S=1+5+52+53+54+…+52023,
将等式两边同时乘以5得:5S=5+52+53+54+…+52024,
将下式减去上式得:4S=52024-1,
则S=,即1+5+52+53+54+…+52023=,
故答案为:.
【分析】根据题意,将等式两边同时乘以5,两式相减即可求出答案.
11.【答案】4
【知识点】七巧板
【解析】【解答】解:如图2中,连接EG,作GM⊥EN交EN的延长线于M.
在Rt△EMG中,∵GM=4,EM=2+2+4+4=12,
∴EG= = =4 ,
∴EH= =4 ,
故答案为:4 .
【分析】连接EG,作GM⊥EN交EN的延长线于M,在Rt△EMG中,利用勾股定理算出EG,进而根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可得出EH的长.
12.【答案】89
【知识点】探索数与式的规律;竞赛类试题
【解析】【解答】解:根据每步只允许走一个或两个阶梯,可得:
(1)当一共有1个台阶时,有1种方法;
(2)当一共有两个台阶时,有1+1=2种方法,(即1-1,2);
(3)当一共有三个台阶时,有1+2=3种方法,(即1-1-1,1-2,2-1);
(4)当一共有4个台阶时,有2+3=5种方法,(即1-1-1-1,1-1-2,1-2-1,2-1-1,2-2);
(5)当一共有5个台阶时,有3+5=8种方法,(即1-1-1-1-1,1-1-1-2,1-1-2-1,1-2-1-1,1-2-2,2-1-1-1,2-1-2,2-2-1);
根据规律可知:
(6)当一共有6个台阶时,有5+8=13种方法;
(7)当一共有7个台阶时,有8+13=21种方法;
(8)当一共有8个台阶时,有13+21=34种方法;
(9)当一共有9个台阶时,有21+34=55种方法;
(10)当一共有10个台阶时,有34+55=89种方法;
故答案为:89.
【分析】第k个台阶可以在(k-1)个台阶的基础上,上一个台阶,也可以在第(k-2)个台阶基础上,上2个台阶,所以一共有k个台阶的方法数等于一共有(k-1)个台阶的方法加上(k-2)个台阶的方法数,即可求出答案.
13.【答案】(1)解:四边形ABCD是垂美四边形.证明如下:
∵AB=AD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上,
∵CB=CD,
∴点C在线段BD的垂直平分线上,
∴直线AC是线段BD的垂直平分线,
∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形;
(2)证明:如图1中,
∵AC⊥BD,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,
由勾股定理得,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2.
(3)解:连接CG、BE,
∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
在△GAB和△CAE中,

∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,
∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,
∴四边形CGEB是垂美四边形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
∵AC=8,AB=10,
∴BC=6,CG=8,BE=10,
∴GE2=CG2+BE2-CB2=292,
∴GE=2.
【知识点】三角形全等及其性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理
【解析】【分析】(1)根据选段垂直平分线的定义及性质可得点A在线段BD的垂直平分线上,点C在线段BD的垂直平分线上,则直线AC是线段BD的垂直平分线,再根据垂美四边形的定义即可求出答案.
(2)由AC⊥BD可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,再根据勾股定理即可求出答案.
(3)连接CG、BE,根据全等三角形判定定理可得△GAB≌△CAE,则∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,可得四边形CGEB是垂美四边形,再根据勾股定理即可求出答案.
14.【答案】解:解:设共有x(x≤100)名教师到外地进行学习.
当x≤35时,选择甲宾馆所需费用为120x元,选择乙宾馆所需费用为120x元,
∵120x=120x,
∴此时选择两宾馆所需费用相同,即可以任意选择甲、乙两家宾馆;
当35<x≤45时,选择甲宾馆所需费用为120×35+120×0.9(x-35)=(108x+420)元,选择乙宾馆所需费用为120x元,
∵108x+420<120x,
∴此时选择甲宾馆所需费用较少;
当45<x≤100时,选择甲宾馆所需费用为120×35+120×0.9(x-35)=(108x+420)元,选择乙宾馆所需费用为120×45+120×0.8(x-45)=(96x+1080)元,
若108x+420<96x+1080,则x<55,此时选择甲宾馆所需费用较少;
若108x+420=96x+1080,则x=55,此时选择两宾馆所需费用相同;
若108x+420>96x+1080,则x>55,此时选择乙宾馆所需费用较少.
综上所述,方案设计为:当x≤35或x=55时,选择两宾馆所需费用相同;当35<x<55时,选择甲宾馆更实惠;当55<x≤100时,选择乙宾馆更实惠.
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】设共有x(x≤100)名教师到外地进行学习,分情况讨论,根据题意求出所需费用,即可求出答案.
15.【答案】(1);
(2);
(3)解:在△ABC中,a+b>c,b+c>a,c+a>b,且a>0,b>0,c>0,
∴,,,
由糖水不等式得,,,,
∴=2,
∴.
【知识点】分式的基本性质;三角形三边关系;不等式的性质
【解析】【解答】解:(1)由题意可得:
加入m克水后,糖水的浓度为:
∵加水后,糖水浓度会变淡

故答案为:,
(2)由题意可得:
加入m克糖后,糖水浓度为:
∵糖水加糖后,糖水会变甜

故答案为:,
【分析】(1)根据题意列式表示,再根据“糖水加水后会变淡”即可求出答案.
(2)根据题意列式表示,再根据“糖水加糖后会变甜”即可求出答案.
(3)根据三角形三边关系可得a+b>c,b+c>a,c+a>b,且a>0,b>0,c>0,即,,,再根据糖水不等式即可求出答案.
16.【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC
(2)解:①15°;
②∠MBQ=∠CBQ,理由如下:
∵BM=BC,BQ=BQ,
∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL),
∴∠MBQ=∠CBQ;
(3)解:当点Q在点F的下方时,如图,
∵FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm,
∴QC=CD-DF-FQ=8-4-1=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm),
由(2)可得,QM=QC=3(cm),
设AP=PM=xcm,PD=(8-x)cm,
∵PD2+DQ2=PQ2,
即(8-x)2+52=(x+3)2,
解得:x=,
∴AP=(cm);
当点Q在点F的上方时,如图,
∵FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm,
∴QC=5cm,DQ=3cm,
由(2)可知,QM=QC=5cm,
设AP=PM=xcm,PD=(8-x)cm,
∴PD2+DQ2=PQ2,
即(8-x)2+32=(x+5)2,
解得:x=,
∴AP=cm.
综上所述:AP为cm或cm.
【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:(1)由题意可得:


故答案为:∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC
(2)①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC,∠A=∠ABC=∠C=90°
∴BM=BC
∵BQ=BQ

故答案为:15°
【分析】(1)根据折叠性质可得,再根据矩形的性质可得,即可求出答案.
(2)①根据折叠性质可得,再根据全等三角形性质即可求出答案.
②根据折叠性质可得Rt△BQM≌Rt△BQC,再根据全等三角形性质即可求出答案.
(3)由(2)可得QM=QC=3,分两种情况:当点Q在点F的下方时,当点Q在点F的上方时,设AP=PM=x,PD=(8-x),根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1山东省潍坊市2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷(9月)
一、选择题(共6小题,共24分.)
1.(2023九上·潍坊开学考)如图,把△ABC纸片的∠A沿DE折 叠,点A落在四边形CBDE外,则∠1、∠2与∠A的关系是(  )
A.∠1+∠2=2∠A B.∠2-∠1=2∠A
C.∠2-∠A=2∠1 D.2∠1+2∠A=∠2
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:分别延长CE,BD交于A',连接AA'
由折叠性质可得:EA=EA',DA=DA'
故答案为:B
【分析】分别延长CE,BD交于A',连接AA',根据三角形外角性质可得,再根据折叠性质即可求出答案.
2.(2019七下·蔡甸期末)已知三个数 满足 , , ,则 的值是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解:∵ , , ,
∴ , , ,
∴ , , ,
∴2( )=18,
∴ =9,
∴ .
故答案为:A.
【分析】先将条件式化简,然后根据分式的运算法则即可求出答案.
3.(2023九上·潍坊开学考)将一副三角尺(在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中,∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放,点D为AB的中点,DE交AC于点P,DF经过点C,将△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°),DE′交AC于点M,DF′交BC于点N,则的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质;求特殊角的三角函数值;旋转的性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:∵点D为AB的中点
∴CD=AD=DB

∵△EDF绕点D顺时针方向旋转α(0°<α<60°)

在Rt△PCD中

【分析】根据直线三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=DB,则,根据互余性质可得,再根据旋转性质可得,根据相似三角形判定定理可得,即,在直角三角形中,根据特殊角的三角形函数值即可求出答案.
4.(2023九上·潍坊开学考)定义一种关于整数n的“F”运算:
⑴当n是奇数时,结果为3n+5;
⑵当n是偶数时,结果是(其中k是使是奇数的正整数),并且运算重复进行.
例如:取n=58,第一次经F运算是29,第二次经F运算是92,第三次经F运算是23,第四次经F运算是74…;若n=9,则第2023次运算结果是(  )
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律;定义新运算
【解析】【解答】解:由题意可得:当n=9时,
第一次经F运营是3×9+5=32
第二次经F运营是1
第三次经F运营是8
第四次运营是1
......
之后出现1、8循环,奇数次是8,偶数次是1
∴第2023次运算结果是8
故答案为:C
【分析】根据运算结果的变化找出变化规律,即可求出答案.
5.(2023九上·潍坊开学考)如图,已知BO平分∠CBA,CO平分∠ACB,且MN∥BC,设AB=18,BC=24,AC=12,则MN的长是(  )
A.13 B. C. D.14
【答案】C
【知识点】平行线的性质;角平分线的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵BO平分∠CBA,CO平分∠ACB
∵MN∥BC
∴MO=MC,NO=NB
∵AB=18,AC=12
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=30
∵MN∥BC

,即
解得:MN=
故答案为:C
【分析】根据角平分线性质可得,再根据直线平行性质可得MO=MC,NO=NB,则△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=30,再根据相似三角形性判定定理和性质即可求出答案.
6.(2023九上·潍坊开学考)如图①是3×3正方形方格,将其中两个方格涂黑,并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形,约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案,例如图②中的四幅图就视为同一种图案,则得到的不同图案共有(  )
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
【答案】A
【知识点】轴对称的性质;轴对称图形
【解析】【解答】解:由题意可得:
得到的不同图案有:
共6种
故答案为:A
【分析】根据轴对称图形的定义与性质即可求出答案.
二、多项选择题(本题共2小题,共8分;在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得4分,有选错的得0分,部分选对的得2分)
7.(2023九上·潍坊开学考)如图,点D为等边三角形ABC内的一点,DA=5,DB=4,DC=3,将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′,下列结论正确的有(  )
A.△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到
B.∠ADC=150°
C.点D到CD′的距离为4
D.
【答案】A,D
【知识点】三角形的面积;等边三角形的性质;勾股定理的逆定理;旋转的性质
【解析】【解答】解:∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′,
∴AD=AD′,∠DAD′=60°,
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°后,AB与AC重合,AD与AD′重合,
∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到,所以A正确;
∴D′C=DB=4,
∵DC=3,
在△DD′C中,
∵32+42=52,
∴DC2+D′C2=DD′2,
∴△DD′C为直角三角形,
∴∠DCD′=90°,
∵△ADD′为等边三角形,
∴∠ADD′=60°,
∴∠ADC≠150°,所以B错误;
∵∠DCD′=90°,
∴DC⊥CD′,
∴点D到CD′的距离为3,所以C错误;
∵S△ADD′+S△D′DC
=×52+×3×4
=6+,所以D正确.
故答案为:AD.
【分析】根据旋转性质可得AD=AD′,∠DAD′=60°,再根据等边三角形性质可得AB=AC,∠BAC=60°,再根据旋转性质可判断A;根据勾股定理得逆定理可得△DD′C为直角三角形,结合等边三角形性质可判断B;根据两直线之间的距离可判断C;根据三角形面积可判断D.
8.(2023九上·潍坊开学考)甲乙两人骑自行车分别从A,B两地同时出发相向而行,甲匀速骑行到B地,乙匀速骑行到A地,甲的速度大于乙的速度,两人分别到达目的地后停止骑行.两人之间的距离y(米)和骑行的时间x(秒)之间的函数关系图象如图所示,其中正确的结论有(  )
A.a=450
B.b=150
C.甲的速度为8米/秒
D.当甲、乙相距50米时,甲出发了55秒或65秒
【答案】B,D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解:由图可得,甲的速度为:600÷100=6(米/秒),故C错误,不符合题意;
∴乙的速度为:600÷60-6=4(米/秒),
∴a=4×100=400,故A错误,不符合题意;
b=600÷4=150,故B正确,符合题意;
设当甲、乙相距50米时,甲出发了m秒,
两人相遇前:(600-50)=m(6+4),
解得m=55;
两人相遇后:(600+50)=m(6+4),
解得m=65;故D正确,符合题意;
故答案为:BD.
【分析】根据速度=路程÷时间,结合函数图象即可求出答案.
三、填空题(本题共4小题,共20分,只要求填写最后结果,每小题填对得5分.)
9.(2023九上·潍坊开学考)若关于x的不等式mx-n>0的解集是x<,则关于x的不等式(m+n)x>n-m的解集是   .
【答案】x<-
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解:∵mx-n>0
∴mx>n
∵关于x的不等式mx-n>0的解集是x<
∴m<0,
∴m=7n
∴n<0
m+n=8n,n-m=-6n
∴m+n=8n<0
∴关于x的不等式(m+n)x>n-m的解集是

故答案为:
【分析】根据不等式的性质可得m<0,n<0,求出m=7n,求出m+n,n-m的值,代入不等式即可求出答案.
10.(2023九上·潍坊开学考)阅读材料:在求1+2+22+23+24+…+22022的值时,先设S=1+2+22+23+24+…+22022,将等式两边同时乘以2得:2S=2+22+23+24+25+…+22022+22023,将下式减去上式得2S-S=22023-1,即S=22023-1,求得1+2+22+23+24+…+22022=22023-1,请你仿照此法计算:1+5+52+53+54+…+52023的值等于    .
【答案】
【知识点】竞赛类试题
【解析】【解答】解:设S=1+5+52+53+54+…+52023,
将等式两边同时乘以5得:5S=5+52+53+54+…+52024,
将下式减去上式得:4S=52024-1,
则S=,即1+5+52+53+54+…+52023=,
故答案为:.
【分析】根据题意,将等式两边同时乘以5,两式相减即可求出答案.
11.(2020·温岭模拟)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为4 的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合,点P在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是   .
【答案】4
【知识点】七巧板
【解析】【解答】解:如图2中,连接EG,作GM⊥EN交EN的延长线于M.
在Rt△EMG中,∵GM=4,EM=2+2+4+4=12,
∴EG= = =4 ,
∴EH= =4 ,
故答案为:4 .
【分析】连接EG,作GM⊥EN交EN的延长线于M,在Rt△EMG中,利用勾股定理算出EG,进而根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可得出EH的长.
12.(2023九上·潍坊开学考)如图是某校初中部美丽校园的一景,小明同学上学去班时要走过该段楼梯.已知本段楼梯共有10个阶梯,如果每步只允许走一个或两个阶梯,那么小明同学共有    种方法走完本段楼梯.
【答案】89
【知识点】探索数与式的规律;竞赛类试题
【解析】【解答】解:根据每步只允许走一个或两个阶梯,可得:
(1)当一共有1个台阶时,有1种方法;
(2)当一共有两个台阶时,有1+1=2种方法,(即1-1,2);
(3)当一共有三个台阶时,有1+2=3种方法,(即1-1-1,1-2,2-1);
(4)当一共有4个台阶时,有2+3=5种方法,(即1-1-1-1,1-1-2,1-2-1,2-1-1,2-2);
(5)当一共有5个台阶时,有3+5=8种方法,(即1-1-1-1-1,1-1-1-2,1-1-2-1,1-2-1-1,1-2-2,2-1-1-1,2-1-2,2-2-1);
根据规律可知:
(6)当一共有6个台阶时,有5+8=13种方法;
(7)当一共有7个台阶时,有8+13=21种方法;
(8)当一共有8个台阶时,有13+21=34种方法;
(9)当一共有9个台阶时,有21+34=55种方法;
(10)当一共有10个台阶时,有34+55=89种方法;
故答案为:89.
【分析】第k个台阶可以在(k-1)个台阶的基础上,上一个台阶,也可以在第(k-2)个台阶基础上,上2个台阶,所以一共有k个台阶的方法数等于一共有(k-1)个台阶的方法加上(k-2)个台阶的方法数,即可求出答案.
四、解答题(本题共4小题,共48分.解答应写出必要文字说明或演算步骤.)
13.(2023九上·潍坊开学考)如图①,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1)【概念理解】如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;
(2)【性质探究】如图①,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD.试证明:AD2+BC2=AB2+CD2;
(3)【解决问题】如图③,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE.已知AC=8,AB=10,求GE的长.
【答案】(1)解:四边形ABCD是垂美四边形.证明如下:
∵AB=AD,
∴点A在线段BD的垂直平分线上,
∵CB=CD,
∴点C在线段BD的垂直平分线上,
∴直线AC是线段BD的垂直平分线,
∴AC⊥BD,即四边形ABCD是垂美四边形;
(2)证明:如图1中,
∵AC⊥BD,
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,
由勾股定理得,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,
∴AD2+BC2=AB2+CD2.
(3)解:连接CG、BE,
∵∠CAG=∠BAE=90°,
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,
在△GAB和△CAE中,

∴△GAB≌△CAE(SAS),
∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90°,
∴∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,
∴四边形CGEB是垂美四边形,
由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,
∵AC=8,AB=10,
∴BC=6,CG=8,BE=10,
∴GE2=CG2+BE2-CB2=292,
∴GE=2.
【知识点】三角形全等及其性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理
【解析】【分析】(1)根据选段垂直平分线的定义及性质可得点A在线段BD的垂直平分线上,点C在线段BD的垂直平分线上,则直线AC是线段BD的垂直平分线,再根据垂美四边形的定义即可求出答案.
(2)由AC⊥BD可得∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°,再根据勾股定理即可求出答案.
(3)连接CG、BE,根据全等三角形判定定理可得△GAB≌△CAE,则∠ABG+∠AME=90°,即CE⊥BG,可得四边形CGEB是垂美四边形,再根据勾股定理即可求出答案.
14.(2023九上·潍坊开学考)某学校计划今年国庆期间组织部分教师到外地进行学习,预订宾馆住宿时,有住宿条件完全一样的甲、乙两家宾馆可供选择,其收费标准均为每人每天120元,并且各自推出不同的优惠方案.
【问题信息】外出学习教师不超过100人.甲宾馆是35人以内(含35人)按标准收费,超过35人的,超出部分按九折收费;乙宾馆是45人以内(含45人)的按标准收费,超过45人的,超出部分按八折收费.
【问题设计】如果你是这个学校负责人,你会怎样选择宾馆?请你给出你的设计方案和理由.
【答案】解:解:设共有x(x≤100)名教师到外地进行学习.
当x≤35时,选择甲宾馆所需费用为120x元,选择乙宾馆所需费用为120x元,
∵120x=120x,
∴此时选择两宾馆所需费用相同,即可以任意选择甲、乙两家宾馆;
当35<x≤45时,选择甲宾馆所需费用为120×35+120×0.9(x-35)=(108x+420)元,选择乙宾馆所需费用为120x元,
∵108x+420<120x,
∴此时选择甲宾馆所需费用较少;
当45<x≤100时,选择甲宾馆所需费用为120×35+120×0.9(x-35)=(108x+420)元,选择乙宾馆所需费用为120×45+120×0.8(x-45)=(96x+1080)元,
若108x+420<96x+1080,则x<55,此时选择甲宾馆所需费用较少;
若108x+420=96x+1080,则x=55,此时选择两宾馆所需费用相同;
若108x+420>96x+1080,则x>55,此时选择乙宾馆所需费用较少.
综上所述,方案设计为:当x≤35或x=55时,选择两宾馆所需费用相同;当35<x<55时,选择甲宾馆更实惠;当55<x≤100时,选择乙宾馆更实惠.
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】设共有x(x≤100)名教师到外地进行学习,分情况讨论,根据题意求出所需费用,即可求出答案.
15.(2023九上·潍坊开学考)数学来源于生活,生活中处处有数学,用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论.现有a克糖水,其中含有b克糖(a>b>0),则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为.
(1)糖水实验一:加入m克水,则糖水的浓度为    .生活经验告诉我们,糖水加水后会变淡,由此可以写出一个不等式   ,我们趣称为“糖水不等式”.
(2)糖水实验二:
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”,则糖水的浓度为    .根据生活经验,请你写出一个新的“糖水不等式”   .
(3)请结合(2)探究得到的结论尝试证明:
设a、b、c为△ABC三边的长,求证:.
【答案】(1);
(2);
(3)解:在△ABC中,a+b>c,b+c>a,c+a>b,且a>0,b>0,c>0,
∴,,,
由糖水不等式得,,,,
∴=2,
∴.
【知识点】分式的基本性质;三角形三边关系;不等式的性质
【解析】【解答】解:(1)由题意可得:
加入m克水后,糖水的浓度为:
∵加水后,糖水浓度会变淡

故答案为:,
(2)由题意可得:
加入m克糖后,糖水浓度为:
∵糖水加糖后,糖水会变甜

故答案为:,
【分析】(1)根据题意列式表示,再根据“糖水加水后会变淡”即可求出答案.
(2)根据题意列式表示,再根据“糖水加糖后会变甜”即可求出答案.
(3)根据三角形三边关系可得a+b>c,b+c>a,c+a>b,且a>0,b>0,c>0,即,,,再根据糖水不等式即可求出答案.
16.(2023九上·潍坊开学考)综合与实践课上,老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
操作一:对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在AD上选一点P,连接BP,沿BP折叠,使点A落在矩形内部点M处,把纸片展平,连接PM,BM.
如图1,当点M在EF上时,根据以上操作,写出一个度数为30°的角为   ;
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片,继续探究,过程如下:
将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.
①如图2,当点M在EF上时,则∠MBQ= ▲ ;
②改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合)如图3,判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系,并说明理由;
(3)拓展应用
在(2)的探究中,已知正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=1cm 时,请直接写出AP的长.
【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC
(2)解:①15°;
②∠MBQ=∠CBQ,理由如下:
∵BM=BC,BQ=BQ,
∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL),
∴∠MBQ=∠CBQ;
(3)解:当点Q在点F的下方时,如图,
∵FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm,
∴QC=CD-DF-FQ=8-4-1=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm),
由(2)可得,QM=QC=3(cm),
设AP=PM=xcm,PD=(8-x)cm,
∵PD2+DQ2=PQ2,
即(8-x)2+52=(x+3)2,
解得:x=,
∴AP=(cm);
当点Q在点F的上方时,如图,
∵FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm,
∴QC=5cm,DQ=3cm,
由(2)可知,QM=QC=5cm,
设AP=PM=xcm,PD=(8-x)cm,
∴PD2+DQ2=PQ2,
即(8-x)2+32=(x+5)2,
解得:x=,
∴AP=cm.
综上所述:AP为cm或cm.
【知识点】三角形全等及其性质;勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【解答】解:(1)由题意可得:


故答案为:∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC
(2)①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC,∠A=∠ABC=∠C=90°
∴BM=BC
∵BQ=BQ

故答案为:15°
【分析】(1)根据折叠性质可得,再根据矩形的性质可得,即可求出答案.
(2)①根据折叠性质可得,再根据全等三角形性质即可求出答案.
②根据折叠性质可得Rt△BQM≌Rt△BQC,再根据全等三角形性质即可求出答案.
(3)由(2)可得QM=QC=3,分两种情况:当点Q在点F的下方时,当点Q在点F的上方时,设AP=PM=x,PD=(8-x),根据勾股定理即可求出答案.
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