河南省重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

河南省重点中学2023-2024学年上学期期中
高二数学试卷
（时间：120分钟，满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线,则在y轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．
2．己知点,若,则Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．已知三点,则外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A． B．6 C． D．
6．若,且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P,已知,直线的斜率为,则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．己知,直线为直线上的动点，过点M作的切线,切点为,当四边形的面积取最小值时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9．已知椭圆分别为它的左右焦点，分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．短轴长是3 B．若，则的面积为9
C．离心率 D．的周长为15
10．给出下列命题正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为,平面的法向量为，则l与平行
B．直线的领斜角的取值范围是
C．点到直线的的最大距离为
D．已知三点不共线，对于空间任意一点O，若,则四点共面
11．己知点P在圆上，点,则（ ）
A．点P到直线的距离小于10 B．点P到直线的距离大于2
C．当最小时， D．当最大时，
12．若正方体的棱长为2，点P是正方体的底面上的一个动点（含边界），Q是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若保持，则点P在底面内运动路径的长度为
B．三棱锥体积的最大值为
C．若,则二面角的余弦值的最大值为
D．若,则与所成角的余弦值的最大值为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线,若,则___________．
14．己知,则点O到平面的距离为___________．
15．在平面直角坐标系中，点是圆上的两个动点，且满足,记中为,则的最小值为___________．
16．设B是椭圆的上顶点，若C上的任意一点P都满足,则C的离心率的取值范围是___________．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，其余试题每题12分）
17．已知的顶点边上的高所在的直线方程为．
（1）求直线的方程；
（2）若边上的中线所在的直线方程为,求直线的方程．
18．已知点,直线．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程：
（2）若圆C上存在点M,使,求圆心C的横坐标a的取值范围．
19．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量,则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为,记作．
（1）若,求的斜坐标；
（2）在平行六面体中，，N为线段的中点．如图，以为基底建立“空间斜坐标系”．
①求的斜坐标；
②若,求与夹角的余弦值．
20．给出双曲线．
（1）求以为中点的弦所在的直线方程；
（2）若过点的直线l与所给双曲线交于两点，求线段的中点P的轨迹方程．
21．如图，三棱锥中，，为中点．
（1）证明;
（2）点F满足,求二面角的正弦值．
22．已知椭圆的离心率为，点在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点的直线交C于点P,Q两点，证明：为定值．
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D B B A C D B BC BCD ACD ABD
13．-1 14． 15． 16．
16.根据题意，有，设，，则，
即，，，，
也即，，，
也即，，，
从而可得，，
从而离心率的取值范围为，，
17.解：(1)因为边上的高所在的直线方程为，
所以直线的斜率为，又因为的顶点，
所以直线的方程为：，即；......................5分
(2)因为边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，，所以点，......................6分
设点，，则的中点在直线上，
所以，即，又点，在直线上，所以，........8分
所以，所以直线的方程为，
即直线的方程为．......................10分
18.解：(1)由题设点，又也在直线上，
，，，......................2分
由题，过点切线方程可设为．即，
则，解得：，，所求切线为或．......................6分
(2)设点，，，，，，
，即， ......................9分
又点在圆上，
两圆有公共点，，解得：．......................12分
19.解：(1)由，，得，，
所以，所以；......................4分
(2)设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，
①，
所以．......................7分
②因为，所以，
则，
因为，
所以，
所以，
所以与的夹角的余弦值为．......................12分
20.解：(1)设弦的两端点为，，，，
则，两式相减得到，
又，，所以直线斜率．
故求得直线方程为．......................6分
（2）设，，，，，当时，
按照(1)的解法可得，①
由于，，，四点共线，得，②
由①②可得，整理得，
检验当时，，也满足方程，
故的中点的轨迹方程是．......................12分
21.证明：(1)连接，，，为中点．，
又，，
与 均为等边三角形，，
，，又平面 平面，
平面，．......................5分
(2)设，，，，
，，
又，，又平面平面，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，0，，，
，，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
则，令，解得，
，令，解得，，
故，1，，，1，，......................10分
设二面角的平面角为，则，
故，所以二面角的正弦值为．......................12分
22.解：(1)由题意，，解得．椭圆的方程为；.......4分
证明：(2)易得，要使过点的直线交于点，两点，则的斜率存在且大于0，
设，即，，，，，，
联立，得．
△．，，......................7分
计算得，，于是，
，为定值-4．........12分