2.2 二次函数的图象与性质第1课时 课件(共26张PPT)

北师大版 数学 九年级下册
第1课时
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
学习目标
1.知道二次函数的图象是一条抛物线.
2.会画二次函数y=x2与y=-x2的图象.（难点）
3.掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点）
复习回顾
1.一次函数的图象是一条 ；反比例函数的图象是 .
3.二次函数的一般形式是什么？
直线
列表，描点，连线
2.通常怎样画一个函数的图象？
双曲线
????=?????????+????????+????(????,????,????是常数,????≠?????).
?
一、创设情境，引入新知
我们先来研究最简单的二次函数，你能画出二次函数y=x2的图象吗？试一试！
二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.在二次函数中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？
二、自主合作，探究新知
探究一：二次函数y=x2的图象和性质
画二次函数????=????????的图象.
?
（1）列表：观察y = x2 的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
…
0
1
2
3
…
…
　
　
　
　
　
　
　
…　
9
4
1
0
1
9
4
(-3,9) (-2,4) (-1,1) (0,0) (1,1) (2,4) (3,9)
在y=x2中自变量????可以是任意实数.
?
二、自主合作，探究新知

????
?
????
?
?????
?
?????
?
????
?
????
?
6
9
????
?
????
?
（2）描点：根据表中????,????的数值在直角坐标系中描点；
?
（3）连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到????=?????????的图象，如图所示．
?
????=?????????
?
对于二次函数y＝x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流．
议一议

????
?
????
?
?????
?
?????
?
????
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????
?
6
9
????
?
????
?
????=?????????
?
二、自主合作，探究新知
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
图象与x轴有一个交点，即原点(0,0).
二、自主合作，探究新知
由图象可得，当x<0时，图象从左到右是下降的，y随x的增大而减小；
当x>0时，图象从左到右是上升的，y随x的增大而增大.
(3)当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？
(4)当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？
由图象可得，图象的有一个最低点（0，0），即x=0时，y有最小值0.

????
?
????
?
?????
?
?????
?
????
?
????
?
6
9
????
?
????
?
????=?????????
?
二、自主合作，探究新知
(5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？

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?
????
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?????
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?????
?
????
?
????
?
6
9
????
?
????
?
????=?????????
?
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点,
它是图象的最低点，
为(0,0).
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
知识要点
二、自主合作，探究新知

????
?
????
?
?????
?
?????
?
????
?
????
?
6
9
????
?
????
?
????=?????????
?
二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图象的最低点.
当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而减小；
当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而增大.
典型例题
例1：已知点(－3，y1)，(1，y2)，(????，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________．
?
二、自主合作，探究新知
y1>y3>y2
方法二：如图，作出函数y＝x2的图象，
把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；
解析：方法一：把x＝－3，????，1，分别代入y＝x2中，
得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2；
?
方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)．
又∵3>????>1，∴y1>y3>y2.
?
二、自主合作，探究新知
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-9　
-4　
-1　
0　
-1　
-4　
-9　
…　
（1）列表：
(-3,-9) (-2,-4) (-1,-1) (0,0) (1,-1) (2,-4) (3,-9)
二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流．
做一做
探究二：二次函数y=-x2的图象和性质
二、自主合作，探究新知
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
（2）描点：根据表中????,????的数值在直角坐标系中描点；
?
（3）连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到????=??????????的图象，如图所示．
?
仿照y=x2的性质说出y=－x2有哪些性质？
????=??????????
?
二、自主合作，探究新知
抛物线关于y轴对称.
顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.
y=－x2的图象是一条开口向下的抛物线.
当x<0时，y随x的增大而增大；
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
????=??????????
?
知识要点
典型例题
例2：抛物线y＝x2与y＝－x2的关系是(　　)A.开口方向不同，顶点相同，对称轴相同B.开口方向不同，顶点不同，对称轴相同C.开口方向相同，顶点相同，对称轴相同D.开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
二、自主合作，探究新知
A
二、自主合作，探究新知
y＝x2
y＝－x2
图象
位置开口方向
对称性
顶点和最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
知识要点
2.已知二次函数????=????????的图象过点????，????，则它必过的另一点是（ ）
A. ????，????? B. ?????，???? C. ?????，????? D. ????，????
?
3.已知正方形的边长为xcm,面积为 ycm2,下列图象能够表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
三、即学即练，应用知识
1.两条抛物线y=x2与y=－x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　）
A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0
C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值
C
B
C
6.已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=________.
三、即学即练，应用知识
4.二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________．
减小
5.若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 　　　．
(-2，4)
3
7.若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.
y2＞y1
三、即学即练，应用知识
a
S
-1
-2
-3
O
1
2
3
3
2
1
6
5
4
9
8
7
8.设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象．
解：
S = a2(a>0)
列表：
a
0
1
2
3
…
S
…
0
1
4
9
描点并连线．
S=a2
四、课堂小结
画法
图象
性质
二次函数的图象与性质
（y=x2和y=－x2）
描点法
以对称轴为中心对称取点
抛物线
轴对称图形
重点关注4个方面
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
2.观察函数y=x2的图象，下列判断正确的是( )
A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同
B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应
C.对于同一个实数y，有两个x和它对应
D.对于任意实数x，都有y>0
五、当堂达标检测
1.一定在函数y=x2的图象上的点是( )
A. (-1， 0) B.(1，0) C.(1,-1) D.(-1，1)
D
A
五、当堂达标检测
3.下列说法正确的是（ ）
函数y=x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大
函数y=-x2的图象上的点，其纵坐标的值随x值的增大而增大
抛物线y=x2与y=-x2的开口方向不同，其对称轴都是y轴，且y值都随x值的增大而增大
D.当x<0时，函数y=x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0时，函数y=-x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
D
4.如图，观察函数????=（??????????）????????的图象,则k的取值范围是 .
?
x
y
五、当堂达标检测
6.若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________.
y1＞y2
7.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，则m的取值范围是 ．
m≤0
5.函数y=x2的顶点坐标是 ，若点(n，-9)在其图象上，则n= .
(0，0)
±3
k＞3
五、当堂达标检测
8.若等腰直角三角形的斜边长为2x cm，其面积为ycm2.
(1)求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围;
(2)列出x=????????，1，????????，2，????????????，3时，y与x的对应值表;
(3)画出y关于x的函数图象.
?
解：(1)y=x2(x＞0).
x
1
2
3
y=x2
1
4
9
(2)列表如下：
(3)函数图象如图所示：
9.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
五、当堂达标检测
解：由题意得
解得
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ ·CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
教材习题2.2；　　　　
六、布置作业