辽宁省辽南协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（A）（含答案）

2023—2024学年度上学期期中考试
高二数学（A）
时间：120分钟 满分：150分
命题范围：选择性必修一．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）椭圆的焦距是（ ）
A． B． C．4 D．8
（2）抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
（3）若圆关于直线对称，则圆C的面积为（ ）
A．π B．2π C．4π D．6π
（4）已知空间向量，，，若三向量，，共面，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
（5）双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．4 B． C． D．2
（6）在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC相交于一点P，已知，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
（7）若圆与圆外切，则（ ）
A． B．9 C．16 D．21
（8）如图，已知正四面体ABCD中，，，则异面直线DE和BF所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
（9）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），，则（ ）
A．与是共线向量 B．与平行的单位向量是（1，1，0）
C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是
（10）已知直线l过点P（3，2），且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则（ ）
A．直线l的方程为 B．直线l与直线的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为1 D．这样的直线1有两条
（11）已知在棱长为1的正方体中，点E，F，H分别是AB，，的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．平面CHD B．平面
C．三棱锥的体积为 D．直线EF与所成的角为30°
（12）已知双曲线，若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线C的实轴长为6
B．双曲线C的离心率
C．点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为，，则
D．直线与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD（O为坐标原点）的斜率为，则
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（13）若直线与直线平行，则______．
（14）已知P为椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，则的最大值是______．
（15）已知向量，，，若，则与的夹角为______．
（16）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则______．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
直线l与直线垂直，且经过点．
（1）求l的方程；
（2）若圆截直线l所得弦长为4，求实数m的值．
（18）（本小题满分12分）
已知抛物线上横坐标为4的点到其焦点的距离是6．
（1）求C的方程；
（2）设直线交C于A，B两点，若（O为坐标原点），求a的值．
（19）（本小题满分12分）
如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点．
（1）求点N到直线AB的距离；
（2）求点到平面ABN的距离．
（20）（本小题满分12分）
已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为．
（Ⅰ）求的渐近线方程；
（Ⅱ）设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P点的轨迹方程，并指出它是什么曲线．
（21）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，已知，E为PD中点．
（1）证明：平面AEC；
（2）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
（22）（本小题满分12分）
已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点，构成的三角形中面积的最大值为．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点．
高二数学试题（A）参考答案
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B D C A B D CD ABC ABD BCD
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
（13） （14） （15）120° （16）6
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分10分）
解：（1）由题意可设：．
因为经过点，所以，．
所以的方程是． …………5分
（2）圆的标准方程为．圆心，半径．
圆心到直线距离． …………8分
由垂径定理，得． …………10分
（18）（本小题满分12分）
解：（1）的准线为． …………2分
由抛物线定义，，故的方程为． …………6分
（2）联立与得，．设，，则，于是．……8分
因为，所以，即，因为，所以．
…………12分
（19）（本小题满分12分）
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），（0，4，4），∵N是的中点，∴N（0，4，2）.
（1）（0，4，2），（2，2，0），则，.设点N到直线AB的距离为d1，
则. …………6分
（2）设平面ABN的法向量为n＝（x，y，z），则由n⊥，n⊥，
得令z＝2，则，，即．
易知=（0，0，-2），设点到平面ABN的距离为，
则. …………12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）离心率是，离心率是． …………（2分）
由得，所以的渐近线方程是．
…………（6分）
（Ⅱ）设，，则，．因为，所以，即……（8分）
因为．设，则．故，化简得点轨迹方程是． …………（10分）
点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆． …………（12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（1）连结交于，连结．
因为为正方形，所以是中点．
又为中点，所以．
平面，平面，
所以//平面．
…………4分
（2）因为平面，为正方形，所以，，两两垂直．
如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，则，，，．
，，，．
设是平面的法向量，则，即，取．
故直线与平面所成角正弦值为．
…………8分
（3）设是平面的法向量，则，即，取．
因为，二面角是钝二面角，故其余弦值是． …………12分
（22）（本小题满分12分）
（Ⅰ）由题意知，，解得，，．椭圆错误！未找到引用源。的标准方程是． …………4分
（Ⅱ）设，，，：．将，代入得．
则，．
因为共线，所以，即．
整理得，
所以，．
：，与轴交于定点． …………12分
C
E
A
B
D
P
y
x
z
F