5.5 用二次函数解决问题（第1课时）课件（共25张PPT）

第5章 二次函数
5.5　用二次函数解决问题（1）
第1课时 利用二次函数解决销售利润最值问题
学习目标
1.学会运用二次函数的性质解决实际生活中利润的最大(小)值问题；
2.理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型，了解建模思想在实际问题中广泛应用.
知识回顾
1. (1)二次函数 y=x2＋4x化为顶点式为______________，当x=______时，有最____值，最_____值为_____；
y=(x+2)2－4
－2
小
小
－2
(2)二次函数 y=－x2＋2x－3化为顶点式为________________，当x=_____时，有最_____值，最_____值为_____.
y=－(x－1)2－2
1
大
大
－2
知识回顾
⑴若－1≤x≤0，该函数的最大值、最小值分别为( )、( ).
2. 图中所示的二次函数图像的解析式为： y=－x2＋2x+5
5
2
y=－x2＋2x+5
x
2
1
4
O
3
-1
-2
5
1
2
y
3
6
-1
4
5
-2
-3
⑵若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为( )、( ).
6
2
求二次函数的最值时，要结合自变量的取值范围、二次函数的增减性，同时注意是否包含顶点.
问题情境

某景区超市销售一种纪念品，现超市老板与员工讨论如何提高盈利.
薄利多销
提高售价
应该先做市场调研，
根据调研结果作出方案.
说说你的想法
讨论交流
若该超市销售的纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
(1)当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为_______件；
解：(1)由题意，得
200-10×(52-50)
=200-20
=180（件）.
180
讨论交流
若该超市销售的纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．
(2)当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润．
解：(2)由题意，得
y=(x-40)[200-10(x-50)]
如何求二次函数的最值？
当每件的销售价为55元时，销售该纪念品每天获得的利润最大，最大利润为2250元．
=-10x2+1100x-28000
=-10(x-55)2+2250
问题1 某种粮大户去年种植优质水稻360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩稻田．预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元．该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？
分析：若设今年多承租x亩稻田，新承租的的稻田共收益___________元；根据题意可得函数表达式：______________________ .
x(440-2x)
y=440×360+x(440-2x)
例题讲解
问题1 某种粮大户去年种植优质水稻360亩，平均每亩收益440元．他计划今年多承租若干亩稻田．预计原360亩稻田平均每亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去年每亩平均收益少2元．该种粮大户今年应多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？
y=440×360+x(440-2x)
=-2x2+440x+158400
=-2(x-110)2+182600
答:该种粮大户今年应多承租110亩水稻，才能使总收益最大，最大收益是182600元.
解:设该种粮大户的今年总收益为y元.
∵a=-2<0，∴函数有最大值，
当x=110时，y最大=182600
例题讲解
变式 某种粮大户去年种植优质水稻360亩, 今年计划增加承租x(100≤x≤150)亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增加地今年每亩的收益为(440-2x)元，试问：该种植大户今年要增加承租_____亩水稻，才能使总收益是181800元.
例题讲解
y=440×360+x(440-2x)
=-2x2+440x+158400
=-2(x-110)2+182600
答:要承租130亩水稻，才能使总收益为181800元.
解:设该种粮大户的今年总收益为y元.
当y=181800时,
-2(x-110)2+182600=181800
x1=90＜100(舍去)，x2=130
注意自变量的取值范围
130
例题讲解
问题2 某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾．预计平均每千尾鱼的产量为1000kg. 若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg．应再投放鱼苗多少千尾才能使总产量最大？最大总产量是多少？
分析：如果今年向鱼塘投放鱼苗x千尾，那么鱼塘里共有鱼苗 ______千尾，每千尾鱼的产量为___________kg. 根据题意可得函数表达式：___________________.
(10+x)
(1000-50x)
y=(1000-50x)(10+x)
解：设向鱼塘里再投放鱼苗x千尾，总产量为ykg，则
y=(1000-50x)(10+x)=-50(x-5)2+11250.
当x=5时，y的值最大，最大值是11250.
答：应再投放鱼苗5千尾才能使总产量最大，最大总产量为11250kg.
变式 某市某水产养殖中心2022年鱼塘饲养鱼苗10千尾，平均每千尾鱼的产量为1000千克，2023年计划继续向鱼塘投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾的产量将减少50千克．2023年应再投放鱼苗多少千尾，可以使总产量达到10450千克？
例题讲解
解：设2023年再投放鱼苗x千尾，总产量为ykg，则
y=(1000-50x)(10+x)=-50(x-5)2+11250.
当y=10450时，-50(x-5)2+11250=10450
解得x1＝1，x2＝9.
答：2023年应投放鱼苗1千尾或9千尾，可以使总产量达到10450千克．
归纳总结
(1)审：找出问题中的变量和常量，分析问题中的变量之间的等量关系；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，列出二次函数的表达式；
(4)解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图像和性质等求解
(注意实际问题中自变量的取值范围)；
(5)验：检验结果，得出符合实际意义的结论；
(6)答：写出答案.
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
新知巩固
1. 某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销量t(件)与每件的销售价 x(元)之间的函数关系为t=204-3x.
(1)试写出每天销售这种服装的毛利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数表达式（毛利润=销售价一进货价）；
(2)每件销售价多少元才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？
解：(1)y=(x-42)(204-3x)；
(2)y=(x-42)(204-3x)=-3x2+330x-8568.
当x=55时，y的值最大，最大值是507.
答：销售价定为55元才能使每天的毛利润最大，最大毛利润是507元.
新知巩固
2. 某汽车出租公司以每辆汽车月租费3000元，100辆汽车可以全部租出若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车.已知每辆租出的汽车支付月维护费200元，问每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：设每月租出x辆汽车，月收益为y元，则
y=[3000+50(100-x)-200]x=-50(x-78)2+304200.
当x=78时，y的值最大，最大值是304200.
答：每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益
是304200元.
课堂小结
利用二次函数解决销售利润最值问题
数学问题
构建二次函数模型
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
审设列解验答
当堂检测
1.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米,且y与x之间的关系为y＝ax2＋bx＋c
(a≠0)，若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是(　　)A.第8秒　　　 B.第10秒　　　 C.第12秒　　　　D.第15秒
C
2.某超市销售一种商品，发现一周的利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22，那么这种商品一周可获得的最大利润是(　　)A.1558元　　　 B.1550元　　 C.1508元　　　 D.20元
A
当堂检测
3.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y(单位：元)随每次降价的百分率x的变化而变化，则y关于x的函数表达式是( 　　)A.y＝2(x＋1)2　　 B.y＝2(1－x)2　　　 C.y＝(x＋1)2　　　 D.y＝(x－1)2
B
4.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件，则商店所获得的利润y(元)与每件商品售价x(元)之间的函数表达式为(　　)A．y＝－10x2－560x＋7350 B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7350
B
当堂检测
5. 某产品的进货单价为每件90元，按100元一件出售时，每周能售出500件．若每件涨价1元，则每周销售量就减少10件，则该产品每周能获得的最大利润为__________.
9000元
6.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团的人数是_____.
55
当堂检测
7.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x(元)
130
150
165
y(件)
70
50
35
(1)则y与x的函数关系式为__________；
y=-x+200
若销售量y是销售价格x的一次函数.
解：设销售利润为W元，则W＝(x－120)y＝(x－120)(-x+200)
＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∵－1＜0，∴当x＝160时，W取最大值，最大值为1600.
答：每件产品的销售价格定为160元时，此时每日的销售利润最大，最大利润是1600元．
当堂检测
(2)若要获得最大的销售利润，每件产品的销售价格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？
当堂检测
8.王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠形风筝每个进价为10元，当每个售价为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
(1)求蝙蝠形风筝销售量y(个)与每个售价x(元)之间的函数表达式(12≤x≤30)；
解：根据题意，得y＝180－10(x－12)＝－10x＋300(12≤x≤30)．
当堂检测
(2)当每个风筝的售价定为多少时，王大伯获得的利润最大，最大利润是多少？
解：设王大伯获得的利润为W元，则
W＝(x－10)y＝－10x2＋400x－3000＝－10(x－20)2＋1000，∵－10＜0，∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000.
答：当每个风筝的售价定为20元时，王大伯获得的利润最大，最大利润是1000元．
当堂检测
9. 一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
x(元/件)
y(件)
10
16
24
30
O
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，把(10，30)，(16，24)代入，得????????????＋????＝????????，????????????＋????＝????????，
解得????＝－????????＝????????.∴y与x之间的函数表达式为y＝－x＋40(10≤x≤16)．
?
当堂检测
(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出当销售价为多少元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是多少．
解：(2)W＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400(10≤x≤16)．
∵W＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225，
函数图像的对称轴是直线x＝25，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大．∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W最大，为144.即当销售价为16元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．