14.2.2 完全平方公式课件（共28张PPT）
文档属性
| 名称 | 14.2.2 完全平方公式课件（共28张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 38.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-05 05:37:14 | ||
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文档简介
(共30张PPT)
第14章
整式的乘法
与因式分解
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
14.2.2
完全平方公式
情景引入
小华去市场买一种水果，价格为每公斤9.8元，现称出该水果为9.8斤，小华随即报出了要付现金96.04元.你知道小华为什么算得怎么快吗？
新知探究
思考：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = p 2+2p+ 1
( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = m2 －4m+4
新知探究
思考：
根据上面的规律，你能直接写出下列式子的运算结果吗？
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a－b)2 = .
a2－2ab + b2
法一：用多项式乘法证明：
(a-b)2
=(a-b)(a-b)
(a+b)2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
新知探究
法二：借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .
新知探究
法二：借助几何图形证明：
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 .
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a-b)2
(a-b2)
a-b
b
b
a-b
ab
ab
b2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
新知探究
(a+b)2=a2+2ab+b2，
我们把
(a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
符号语言：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央.”
新知探究
思考：
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1. 说一说积的次数和项数；
2. 两个完全平方式的积有相同的项吗？与 a，b 有什么关系？
3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a，b 有什么关系？它的符号与什么有关？
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；
新知探究
思考：
你能利用完全平方公式快速地计算出(2x+y)2吗？
可以这样算！
把2x与y分别看成上式的a与b，也就是把它们按下面的方法对应起来，就可以直接得到结果.
( 2x + y )2
( + )2
a
b
= ( )2 + · ( )· + 2
2x
2
2x
y
y
= 4x2+4xy+y2，
= a 2 + 2 · a · b + b 2 .
(a+b)2=a2+2ab+b2.
新知探究
思考：
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2
(2) (x－y)2 = x2－y2
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2
×
×
×
×
x2 + 2xy + y2
x2－2xy + y2
x2－2xy + y2
4x2 + 4xy + y2
结果为二次三项式
结果为二次三项式
中间项符号错误
中间项系数错误
典例精析
例1
填空：
典例精析
例2
(1)(3m+n)2
解：(3m+n)2
= (3m)2+2 · 3m · n + n2
= 9m2+6mn+n2.
运用完全平方公式计算：
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
典例精析
例3
运用完全平方公式计算：
(1)(-x+1)2
解： (-x+1)2
= (-x)2+2(-x)· 1 + 12
= x2-2x+1
(2)(x-1)2
解： (x-1)2
= (x)2-2·x· 1 + 12
= x2-2x+1
对比
你有什么发现？
结论1：(a-b)2=(b-a)2.
解释： (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2.
典例精析
例3
运用完全平方公式计算：
对比
你有什么发现？
结论2：(a+b)2=(-a-b)2.
解释： (-a-b)2= [-(a+b)]2=(a+b)2.
(3) (-2x-3)2
解 (-2x-3)2
= (-2x)2+2·(-2x)·(-3)+9
= 4x2+12x+9.
(4) (2x+3)2
解：原式=
= 4x2+12x+9.
典例精析
例4
(1) 2022；
解： 2022
= (200 + 2)2
= 40000 + 800 + 4
= 40804.
(2) 9.82.
解：9.82
= (10 – 0.2)2
= 100 - 4 + 0.04
= 96.04.
运用完全平方公式计算：
运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
典例精析
例5
利用乘法公式计算：
(1) 20232－2022×2024；
(2) 20232－2023×4042＋20222.
＝(2023－2022)2＝1.
解：(1) 原式＝20232－(2023＋1)(2023－1)
＝20232－20232＋1＝1.
(2) 原式＝20232－2×2022×2023＋20222
典例精析
例6
已知 x－y＝6，xy＝－8. 求：
(1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值.
＝36－16＝20.
解：(1) ∵ x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
典例精析
例7
图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形。
图（2）
图（1）
2a
2b
（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是_______；
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积：
方法一：__________；方法二：_______________.
（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据第（3）题中的等量关系解决如下问题：
若 ， ，则 =_______。
28
新知探究
思考：
从例6和例7中，你能得到什么启发？
完全平方公式的常见变形
去括号与添括号
新知探究
a + (b + c) = a + b + c；
a – (b + c) = a – b – c.
a + b + c = a + (b + c)；
a – b – c = a – (b + c).
去括号：
把上面两个等式的左右两边反过来，
就得到添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.
去括号与添括号
新知探究
将等号左右两边对换，等式仍然成立.
a+b+c=a+(b+c)
a b c=a (b+c)
符号不变
符号不变
添上“+( )”，括号里的各项都不变符号.
符号改变
符号改变
添上“ ( )”，括号里的各项都改变符号.
典例精析
例8
计算：(1) (a－b＋c)2；
(2) (1－2m＋n)(1＋2m－n)．
＝1－4m2＋4mn－n2.
解：(1) 原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.
(2) 原式＝[1－(2m－n)][1＋(2m－n)]
＝12－(2m－n)2
归纳总结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算的
式子，可能需要先添括号，变
形成符合公式的形式才行
常用
结论
3. 弄清完全平方公式和平方差公
式的不同（从公式结构特点及
结果两方面）
a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab；
4ab = (a + b)2 - (a - b)2.
当堂检测
1.计算：(2x-y)2=（ ）
A. 4x2-4xy+y2
B. 4x2-2xy+y2
C. 4x2-y2
D. 4x2+y2
(2x)2 -2·2x·y+y2
4x2 -4xy+y2
A
2.将1052变形正确的是（ ）
A. 1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
C
当堂检测
3.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ ）
A.28 B.-28 C.24或-24 D.28或-28
D
解：因为(3x-a)2=9x2-6ax+a2，
所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16.
则a2=16，6a=b,
解得a=±4.
当a=4时，b=24；当a=-4时，b=-24.
所以a+b=28或-28.
4.
已知(m+n+1)(m+n 1)=63，则m+n= .
解：∵ (m+n+1)(m+n 1)=(m+n)2 12=63
∴(m+n)2=64 ∴m+n= 8
8
当堂检测
5.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
(3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2.
(2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
(4) (-4a+5b)2 =(5b-4a)2 =(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2 ；
(5) (x+7y)2 =x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2 .
(4) (-4a+5b)2 ； (5) (x+7y)2 .
当堂检测
6．利用完全平方公式计算：
(1)5012; (2)2992；
(3)1992－202×198; (4)472－94×27＋272.
解：(1)原式＝(500+1)2=5002+2×500×1+12=251 001.
(2)原式＝(300-1)2=3002-2×300×1+12=89 401.
(3)原式＝(200-1)2-(200+2)(200-2)
=2002-2×200×1+12-(2002-22)= -395.
(4)原式＝(47-27)2= 400.
当堂检测
7.运用乘法公式计算：
(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； (2) (a + b + c)2.
原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
解：(1)
(2) 原式 = [(a + b) + c]2
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9.
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2.
当堂检测
8.已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 .
分析：先将m2+n2，(m-n)2变形为用m+n, mn表示的式子，然后将已知整体代入求值.
解：因为m+n=8，mn=6，
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52，
m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40.
第14章
整式的乘法
与因式分解
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
14.2.2
完全平方公式
情景引入
小华去市场买一种水果，价格为每公斤9.8元，现称出该水果为9.8斤，小华随即报出了要付现金96.04元.你知道小华为什么算得怎么快吗？
新知探究
思考：
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
( p + 1 )2 = ( p + 1 )( p + 1 ) = p 2+2p+ 1
( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2) = m2 －4m+4
新知探究
思考：
根据上面的规律，你能直接写出下列式子的运算结果吗？
(a＋b)2 = .
a2 + 2ab + b2
(a－b)2 = .
a2－2ab + b2
法一：用多项式乘法证明：
(a-b)2
=(a-b)(a-b)
(a+b)2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
新知探究
法二：借助几何图形证明：
如图，边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 .
它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2
b
a
a
b
a2
ab
ab
b2
即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .
新知探究
法二：借助几何图形证明：
它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差，即
如图，边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 .
所以(a-b)2=a2-2ab+b2.
(a-b)2
(a-b2)
a-b
b
b
a-b
ab
ab
b2
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
新知探究
(a+b)2=a2+2ab+b2，
我们把
(a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
符号语言：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央.”
新知探究
思考：
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1. 说一说积的次数和项数；
2. 两个完全平方式的积有相同的项吗？与 a，b 有什么关系？
3. 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a，b 有什么关系？它的符号与什么有关？
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的 2 倍，且与两数中间的符号相同；
新知探究
思考：
你能利用完全平方公式快速地计算出(2x+y)2吗？
可以这样算！
把2x与y分别看成上式的a与b，也就是把它们按下面的方法对应起来，就可以直接得到结果.
( 2x + y )2
( + )2
a
b
= ( )2 + · ( )· + 2
2x
2
2x
y
y
= 4x2+4xy+y2，
= a 2 + 2 · a · b + b 2 .
(a+b)2=a2+2ab+b2.
新知探究
思考：
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2
(2) (x－y)2 = x2－y2
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2
×
×
×
×
x2 + 2xy + y2
x2－2xy + y2
x2－2xy + y2
4x2 + 4xy + y2
结果为二次三项式
结果为二次三项式
中间项符号错误
中间项系数错误
典例精析
例1
填空：
典例精析
例2
(1)(3m+n)2
解：(3m+n)2
= (3m)2+2 · 3m · n + n2
= 9m2+6mn+n2.
运用完全平方公式计算：
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
典例精析
例3
运用完全平方公式计算：
(1)(-x+1)2
解： (-x+1)2
= (-x)2+2(-x)· 1 + 12
= x2-2x+1
(2)(x-1)2
解： (x-1)2
= (x)2-2·x· 1 + 12
= x2-2x+1
对比
你有什么发现？
结论1：(a-b)2=(b-a)2.
解释： (b-a)2 = [-(a-b)]2=(a-b)2.
典例精析
例3
运用完全平方公式计算：
对比
你有什么发现？
结论2：(a+b)2=(-a-b)2.
解释： (-a-b)2= [-(a+b)]2=(a+b)2.
(3) (-2x-3)2
解 (-2x-3)2
= (-2x)2+2·(-2x)·(-3)+9
= 4x2+12x+9.
(4) (2x+3)2
解：原式=
= 4x2+12x+9.
典例精析
例4
(1) 2022；
解： 2022
= (200 + 2)2
= 40000 + 800 + 4
= 40804.
(2) 9.82.
解：9.82
= (10 – 0.2)2
= 100 - 4 + 0.04
= 96.04.
运用完全平方公式计算：
运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
典例精析
例5
利用乘法公式计算：
(1) 20232－2022×2024；
(2) 20232－2023×4042＋20222.
＝(2023－2022)2＝1.
解：(1) 原式＝20232－(2023＋1)(2023－1)
＝20232－20232＋1＝1.
(2) 原式＝20232－2×2022×2023＋20222
典例精析
例6
已知 x－y＝6，xy＝－8. 求：
(1) x2＋y2 的值； (2) (x＋y)2 的值.
＝36－16＝20.
解：(1) ∵ x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴ x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2) ∵ x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴ (x＋y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
典例精析
例7
图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形。
图（2）
图（1）
2a
2b
（1）图（2）中阴影部分的正方形的边长是_______；
（2）请用两种不同的方法求图（2）中阴影部分的面积：
方法一：__________；方法二：_______________.
（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据第（3）题中的等量关系解决如下问题：
若 ， ，则 =_______。
28
新知探究
思考：
从例6和例7中，你能得到什么启发？
完全平方公式的常见变形
去括号与添括号
新知探究
a + (b + c) = a + b + c；
a – (b + c) = a – b – c.
a + b + c = a + (b + c)；
a – b – c = a – (b + c).
去括号：
把上面两个等式的左右两边反过来，
就得到添括号法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.
去括号与添括号
新知探究
将等号左右两边对换，等式仍然成立.
a+b+c=a+(b+c)
a b c=a (b+c)
符号不变
符号不变
添上“+( )”，括号里的各项都不变符号.
符号改变
符号改变
添上“ ( )”，括号里的各项都改变符号.
典例精析
例8
计算：(1) (a－b＋c)2；
(2) (1－2m＋n)(1＋2m－n)．
＝1－4m2＋4mn－n2.
解：(1) 原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.
(2) 原式＝[1－(2m－n)][1＋(2m－n)]
＝12－(2m－n)2
归纳总结
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2 = a2±2ab + b2
1. 项数、符号、字母及其指数
2. 不能直接应用公式进行计算的
式子，可能需要先添括号，变
形成符合公式的形式才行
常用
结论
3. 弄清完全平方公式和平方差公
式的不同（从公式结构特点及
结果两方面）
a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab；
4ab = (a + b)2 - (a - b)2.
当堂检测
1.计算：(2x-y)2=（ ）
A. 4x2-4xy+y2
B. 4x2-2xy+y2
C. 4x2-y2
D. 4x2+y2
(2x)2 -2·2x·y+y2
4x2 -4xy+y2
A
2.将1052变形正确的是（ ）
A. 1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5)
C. 1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52
C
当堂检测
3.若(3x-a)2=9x2-bx+16，则a+b的值为（ ）
A.28 B.-28 C.24或-24 D.28或-28
D
解：因为(3x-a)2=9x2-6ax+a2，
所以9x2-6ax+a2=9x2-bx+16.
则a2=16，6a=b,
解得a=±4.
当a=4时，b=24；当a=-4时，b=-24.
所以a+b=28或-28.
4.
已知(m+n+1)(m+n 1)=63，则m+n= .
解：∵ (m+n+1)(m+n 1)=(m+n)2 12=63
∴(m+n)2=64 ∴m+n= 8
8
当堂检测
5.利用完全平方公式计算：
(1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2.
(3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2.
(2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
(4) (-4a+5b)2 =(5b-4a)2 =(5b)2-2·5b·4a+(4a)2=25b2-40ab+16a2 ；
(5) (x+7y)2 =x2+2·x·7y+(7y)2=x2+14xy+49y2 .
(4) (-4a+5b)2 ； (5) (x+7y)2 .
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6．利用完全平方公式计算：
(1)5012; (2)2992；
(3)1992－202×198; (4)472－94×27＋272.
解：(1)原式＝(500+1)2=5002+2×500×1+12=251 001.
(2)原式＝(300-1)2=3002-2×300×1+12=89 401.
(3)原式＝(200-1)2-(200+2)(200-2)
=2002-2×200×1+12-(2002-22)= -395.
(4)原式＝(47-27)2= 400.
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7.运用乘法公式计算：
(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； (2) (a + b + c)2.
原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
解：(1)
(2) 原式 = [(a + b) + c]2
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9.
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2.
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8.已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 .
分析：先将m2+n2，(m-n)2变形为用m+n, mn表示的式子，然后将已知整体代入求值.
解：因为m+n=8，mn=6，
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52，
m2-n2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40.