14.3.1 提公因式法 课件（共28张PPT）

第14章
整式的乘法
与因式分解
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
14.3.1
提公因式法
情景引入
学校打算把操场重新规划一下，分为绿化带、运动场、主席台三个部分，如下图，计算操场总面积．
a
b
c
m
方法一：m(a + b + c)
方法二：ma + mb + mc
m(a + b + c) = ma + mb + mc
整式乘法
?
思考：
情景引入
思考：
算一算
你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
解：
新知探究
思考：
1. 运用整式乘法法则或公式填空：
(1) p(a + b + c) = ；
(2) (y + 1)(y - 1) = ；
(3) (a + b)2 = .
pa + pb + pc
y2 - 1
a2 + 2ab + b2
2. 根据等式的性质填空：
(1) pa + pb + pc = ( )( )；
(2) y2 - 1 = ( )( )；
(3) a2 + 2ab + b2 = ( )2.
p a + b + c
y + 1 x - 1
a + b
都是多项式化为几个整式的积的形式
比一比，这些式子有什么共同点？
新知探究
因式分解
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
互为相反的变形
多项式
几个整式的乘积
新知探究
思考：
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；
不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
ax + bx + c = x(a + b) + c
12x2y = 3x·4xy
p2－ 1 = (p + 1)(p－ 1)
(2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1
2a + 4b + 6c = 2(a + 2b + 3c)
最后不是积的形式
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
是因式分解
是因式分解
提公因式
新知探究
思考：
pa + pb + pc，
若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公共的因式 p
观察下列多项式，它们有什么共同特点？
公共的因式 m
新知探究
思考：
1) ac+ bc
2)3 x2 +9xy
3) a2b – 2ab2 + ab
4) 4xy2-6xy+8x3y
(1)下列各多项式中的公因式是什么？
c
3x
ab
2xy
(2)多项式中的公因式是如何确定的？
讨论：
新知探究
确定一个多项式的公因式的方法

01
02
03
提公因式
相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
定指数
字母取多项式各项中都含有的相同的字母．
定字母
公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数．
定系数
新知探究
思考：
指出下列各多项式中各项的公因式：
{EB9631B5-78F2-41C9-869B-9F39066F8104}多项式
公因式
典例精析
例1
把下列各式因式分解：　　
解：　　
典例精析
例2
　　把下列各式因式分解．　　
解：　　
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式
典例精析
提公因式法步骤
即将多项式化为两个因式的乘积.
是数学中一种重要而且常用的思想方法
找出公因式
提公因式
整体思想
典例精析
例3
把下列各式因式分解：
解：　　
(y-x)=-(x-y)
(n-m)2=(m-n)2
典例精析
例4
下面是小明同学的错题本，请你帮他订正.
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}日期：
原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析
□审题不清
□计算错误
□时间不足
□概念不清
□其他原因
原因及分析：
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
注意：公因式要提尽.
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
典例精析
例4
下面是小明同学的错题本，请你帮他订正.
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}日期：
原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析
□审题不清
□计算错误
□时间不足
□概念不清
□其他原因
原因及分析：
解：原式 = x(3x - 6y).
因式分解：3x2 - 6xy + x.
注意：某项提出莫漏 1.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x
= x(3x - 6y + 1)
典例精析
例4
下面是小明同学的错题本，请你帮他订正.
{2D5ABB26-0587-4C30-8999-92F81FD0307C}日期：
原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析
□审题不清
□计算错误
□时间不足
□概念不清
□其他原因
原因及分析：
因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式 = - (x2 - xy + xz)
= - x(x - y + z).
典例精析
归纳总结
①提取不尽
③疏忽变号
④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式．
(3)提取公因式的一般步骤：
①确定应提取的公因式：
②用公因式去除这个多项式，把所得的商作为另一个因式：
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
(2)提取公因式要彻底；注意易犯的错误：
②漏项
(1)当首项系数为负时，通常应提取负因数，在提取“－”号时，余下的各项都变号.
归纳总结
典例精析
例5
计算：
(1) 39×37－13×91；
(2) 29×20.23＋72×20.23＋13×20.23－20.23×14.
(2) 原式＝20.23×(29＋72＋13－14) ＝ 2023.
＝13×20＝260.
解：(1) 原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
归纳总结
典例精析
例6
已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
∴ a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵ a＋b＝7，ab＝4，
含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求式子进行因式分解，变形为能用 a±b 和 ab 表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入求解.
归纳总结
因式
分解
定义
am + bm + mc = m(a + b + c)
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号
归纳总结
各项有公先提公,
首项有负常提负,
某项提出莫漏一,
括号里面分到底.
当堂检测
D
2.分解-4x3+8x2+16x的结果是（ ）
（A）-x（4x2-8x+16） （B）x（-4x2+8x-16）
（C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）
1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
（A）-6ab2c （B）-ab2 （C）-6ab2 （D）-6a3b2C
C
3.下列用提公因式法分解因式正确的是（ ）
（A）12abc-9a2b2=3abc（4-3ab）
（B）3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
（C）-a2+ab-ac=-a（a-b+c）
（D）x2y+5xy-y=y（x2+5x）
C
当堂检测
4.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab， 那么另一个因式是（ ）
（A）-1-3x+4y （B）1+3x-4y
（C）-1-3x-4y （D）1-3x-4y
D
5.下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ ）
A. ????3?????+1 B. (?????????)?4(?????????)2
C. 11????2?????7????2 D.5????????+?????3????2(????+????)
?
A
6.把多项式3(?????????)2+2(?????????)3分解因式结果正确的是（ ）
A.?????????2(3?2?????2????) B.?????????2(3?2????+2????)
C.?????????2(3+2?????2????) D.?????????2(3+2?????2????)
?
B
当堂检测
7.因式分解：(?????????)2+????(?????????).
?
解法1：(?????????)2+????(?????????)
=(?????????)2?????(?????????)
=(?????????)(??????????????)
=(?????????)(?????2????).
?
解法2：(?????????)2+????(?????????)
=(?????????)2+????(???????)
=(?????????)(?????????+????)
=(?????????)(2?????????).
?
8.已知2????+????=3，5?????3????=?2，
求代数式2????+????2?????3????+3????(2????+????)的值.
?
解： 2????+????2?????3????+3????(2????+????)=2????+????2?????3????+3????
=2????+????5?????3????，
∵ 2????+????=3，5?????3????=?2， ∴原式=?6.
?
当堂检测
9.把下列各式分解因式：
(1)2x3+6x2
(2)3pq3+15p3q
(3)4x2-8ax+2x
(4)-3ab+6abx-9aby
解 ： 原式= 2x2(x+3)
解 ： 原式= 3pq(q2+5p2 )
解 ： 原式=2x(2x-4a+1)
解 ： 原式=-3ab(1-2x+3y)
当堂检测
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+????+????????+1+????(????+1)2
=(1+????)1+????+????(????+1)
=1+????21+????
=(1+????)3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
?
提公因式法
2
（2）若分解1+????+????????+1+????(????+1)2+…+????(????+1)2023，则需应用上述
方法 次；
（3）分解因式：
1+????+????????+1+????(????+1)2+…+????(????+1)????= （????为正整数）.
?
2023
(????+1)????+1