14.2.1 平方差公式 课件(共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 14.2.1 平方差公式 课件(共29张PPT) |
|
|
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 52.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-05 05:45:32 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
第14章
整式的乘法
与因式分解
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
14.2.1
平方差公式
复习引入
新知探究
思考：
边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（bb
a
a
b
a2 b2
剩余纸片的面积为
新知探究
思考：
还有别的计算方法吗？
b
a
a
b
a
b
a-b
a2 b2
剩余纸片的面积为
新知探究
思考：
还有别的计算方法吗？
b
a
a
b
剩余纸片的面积为
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)
新知探究
平方差公式
(a + b)(a b) =
a2 b2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
1. (a – b)(a + b) = a2 – b2；
2. (b + a)(–b + a) = a2 – b2.
由于剩余纸片面积相等，于是有：
新知探究
平方差公式解读
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个
多项式等．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
顺序可以不同，只关注相同的符号
可以合理加括号，只关注相反的符号
新知探究
思考：
判断下列式子是否可用平方差公式？
(1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b)
(3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2)
(5)
(6) (1-x)(-x-1)
(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2)
符号都是相反
字母不对应
新知探究
积累：
常见的平方差公式及其变形
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = _________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
关注字母（或多项式）的符号
与顺序无关！
常见的公式和变形要熟记！
典例精析
例1
下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
两个字母符号相同，
不能运用公式
公式运用错误
符号识别错误
新知探究
公式再熟悉：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a + b)(a - b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
典例精析
例2
(1)(a+3b)(a– 3b)；
=4a2–9；
=4x4–y2.
原式=(2a+3)(2a–3)
=a2–9b2 ；
=(2a)2–32
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
计算：
(4) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
原式＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
新知探究
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，
另一项互为相反数；
(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
归纳总结
新知探究
①位置变化
②符号变化
③系数变化
④指数变化
⑤增因式变化
(x+y)(x-y)(-x-y)(-x+y)
=(x2-y2)(x2-y2)
⑥增项变化
⑦连用公式变化
(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4
典例精析
例3
运用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a － 3b);
(2) (3+2a)(－ 3+2a);
(3) 51 × 49;
(4) (3x+4)(3x－4)－(2x+3)(2x－3).
(1) 原式=a2－9b2；
(2) 原式=4a2－9；
(3) 原式=(50+1)(50-1)=502-12=2499；
(4) 原式=(3x)2－42－[(2x)2－32]=5x2－7.
解：
典例精析
例4
计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：
(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
典例精析
例5
解方程或不等式:
（1）(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1)
（2）求(x+5)(x+2)-(x+2)(x-2)<28的正整数解.
解:(1) 4x2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1
4x2-1+3x2-12= 7x2-6x-1
6x=12
x=2
(2) x2+7x+10-x2+4 <28
7x +14<28
x <2 因为x为正整数，所以不等式的解取1.
典例精析
例6
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．
理由如下：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了．
典例精析
例7
若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=——
解：(a+b)2-1=63
(a+b)2=64
a+b=±8
整体法
典例精析
例8
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，
典例精析
例9
已知 x≠1，计算：
(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，
(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4……
(1) 观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________
( n 为正整数)；
(2) 根据你的猜想计算：
① (1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______；
② 2＋22＋23＋…＋2n＝__________ (n 为正整数)；
③ (x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1－xn+1
－63
2n＋1－2
x100－1
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索：
① (a－b)(a＋b)＝_______；
② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
a2－b2
a3－b3
归纳总结
平方差公式
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
内容
当堂检测
1. 计算(2x+1)(2x–1)等于( )
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
A
2. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
3．计算：118×122＝________．
14396
4. 下列运算中，可用平方差公式计算的是 ( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
当堂检测
6.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
5.(x－y)(x+y)(x2+y2)；
解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
当堂检测
7. 利用平方差公式计算：
（1）(a－2)(a＋2)(a2＋4)；
解：原式 = (a2－4)(a2＋4)
= a4－16.
(2) (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).
解：原式 = (x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)
= (x4－y4)(x4＋y4)
= x8－y8.
当堂检测
8.计算:
(1) 20232－2022×2024;
(2) (y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) .
解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5)
= y2－22－(y2+4y－5)
= y2－4－y2－4y+5
= －4y + 1.
解：
20232－2022×2024
= 20232－(2023－1)(2023 + 1)
= 20232
－(20232－12 )
= 20232－20232 + 12
= 1.
当堂检测
9．先化简，再求值：
(1)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2；
解：原式＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，
原式＝－15；
(2)－4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(2x－5)，其中x＝－1.
解：原式＝8x2－21x.当x＝－1时，原式＝29.
当堂检测
10.对于任意的正整数 n，整式 (3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是 10 的整数倍吗？
即整式 (3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是 10 的整数倍.
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵ (10n2－10)÷10＝n2－1，
n 为正整数，
∴ n2－1 一定为整数.
第14章
整式的乘法
与因式分解
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
14.2.1
平方差公式
复习引入
新知探究
思考：
边长为a的正方形纸片，剪去边长为b（b
a
a
b
a2 b2
剩余纸片的面积为
新知探究
思考：
还有别的计算方法吗？
b
a
a
b
a
b
a-b
a2 b2
剩余纸片的面积为
新知探究
思考：
还有别的计算方法吗？
b
a
a
b
剩余纸片的面积为
b
a
a
b
1
2
(a+b)(a-b)
1
2
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)
新知探究
平方差公式
(a + b)(a b) =
a2 b2.
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.
公式变形：
1. (a – b)(a + b) = a2 – b2；
2. (b + a)(–b + a) = a2 – b2.
由于剩余纸片面积相等，于是有：
新知探究
平方差公式解读
平方差公式
注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个
多项式等．
(a + b)(a - b) = a2 - b2
相同为 a
相反为 b
顺序可以不同，只关注相同的符号
可以合理加括号，只关注相反的符号
新知探究
思考：
判断下列式子是否可用平方差公式？
(1)(-a+b)(a+b) (2) (-a+b)(a-b)
(3)(a+b)(a-c) (4)(2+a)(a-2)
(5)
(6) (1-x)(-x-1)
(7) (-4k3+3y2)(-4k3-3y2)
符号都是相反
字母不对应
新知探究
积累：
常见的平方差公式及其变形
(l) (－a + b)(a + b) =_________.
(2) (a－b)(b + a) = _________.
(3) (－a－b)(－a + b) = ________.
(4) (a－b)(－a－b) = _________.
a2－b2
a2－b2
b2－a2
b2－a2
关注字母（或多项式）的符号
与顺序无关！
常见的公式和变形要熟记！
典例精析
例1
下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
两个字母符号相同，
不能运用公式
公式运用错误
符号识别错误
新知探究
公式再熟悉：
a
b
a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
(0.3x)2－12
(a + b)(a - b)
(1 + x)(1 - x)
(-3 + a)(-3 - a)
(0.3x - 1)(1 + 0.3x)
(1 + a)(-1 + a)
典例精析
例2
(1)(a+3b)(a– 3b)；
=4a2–9；
=4x4–y2.
原式=(2a+3)(2a–3)
=a2–9b2 ；
=(2a)2–32
原式=(–2x2 )2–y2
原式=(a)2–(3b)2
(2)(3+2a)(–3+2a)；
(3)(–2x2–y)(–2x2+y).
计算：
(4) (－7m＋8n)(－8n－7m)．
原式＝(－7m)2－(8n)2
＝49m2－64n2.
新知探究
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，
另一项互为相反数；
(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
归纳总结
新知探究
①位置变化
②符号变化
③系数变化
④指数变化
⑤增因式变化
(x+y)(x-y)(-x-y)(-x+y)
=(x2-y2)(x2-y2)
⑥增项变化
⑦连用公式变化
(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4
典例精析
例3
运用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a － 3b);
(2) (3+2a)(－ 3+2a);
(3) 51 × 49;
(4) (3x+4)(3x－4)－(2x+3)(2x－3).
(1) 原式=a2－9b2；
(2) 原式=4a2－9；
(3) 原式=(50+1)(50-1)=502-12=2499；
(4) 原式=(3x)2－42－[(2x)2－32]=5x2－7.
解：
典例精析
例4
计算：
(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) .
解：
(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2
=a4－a2b2+a2b2
=a4;
(2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x)
=4x2－25－4x2+6x
=6x－25.
典例精析
例5
解方程或不等式:
（1）(2x+1)(2x-1)+3(x+2)(x-2)=(7x+1)(x-1)
（2）求(x+5)(x+2)-(x+2)(x-2)<28的正整数解.
解:(1) 4x2-1+3(x2-4)=7x2-6x-1
4x2-1+3x2-12= 7x2-6x-1
6x=12
x=2
(2) x2+7x+10-x2+4 <28
7x +14<28
x <2 因为x为正整数，所以不等式的解取1.
典例精析
例6
王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了．
理由如下：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵a2＞a2－16，
∴李大妈吃亏了．
典例精析
例7
若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=——
解：(a+b)2-1=63
(a+b)2=64
a+b=±8
整体法
典例精析
例8
先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
原式＝5×12－5×22＝－15.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2
＝5x2－5y2.
当 x＝1，y＝2 时，
典例精析
例9
已知 x≠1，计算：
(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，
(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4……
(1) 观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________
( n 为正整数)；
(2) 根据你的猜想计算：
① (1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝______；
② 2＋22＋23＋…＋2n＝__________ (n 为正整数)；
③ (x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；
1－xn+1
－63
2n＋1－2
x100－1
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索：
① (a－b)(a＋b)＝_______；
② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；
a2－b2
a3－b3
归纳总结
平方差公式
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2
2.抓住 “一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用
内容
当堂检测
1. 计算(2x+1)(2x–1)等于( )
A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1
A
2. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
3．计算：118×122＝________．
14396
4. 下列运算中，可用平方差公式计算的是 ( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
当堂检测
6.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______．
解析：A=(2+1)(22+1)(24+1)
=[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1)
=[(24－1)(24+1)]÷(2－1)
=(28－1)÷(2－1)
=28－1．
28－1
5.(x－y)(x+y)(x2+y2)；
解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4；
当堂检测
7. 利用平方差公式计算：
（1）(a－2)(a＋2)(a2＋4)；
解：原式 = (a2－4)(a2＋4)
= a4－16.
(2) (x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).
解：原式 = (x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)
= (x4－y4)(x4＋y4)
= x8－y8.
当堂检测
8.计算:
(1) 20232－2022×2024;
(2) (y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) .
解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5)
= y2－22－(y2+4y－5)
= y2－4－y2－4y+5
= －4y + 1.
解：
20232－2022×2024
= 20232－(2023－1)(2023 + 1)
= 20232
－(20232－12 )
= 20232－20232 + 12
= 1.
当堂检测
9．先化简，再求值：
(1)(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2；
解：原式＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，
原式＝－15；
(2)－4x(x2－2x－1)＋x(2x＋5)(2x－5)，其中x＝－1.
解：原式＝8x2－21x.当x＝－1时，原式＝29.
当堂检测
10.对于任意的正整数 n，整式 (3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是 10 的整数倍吗？
即整式 (3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n) 的值一定是 10 的整数倍.
解：原式＝9n2－1－(9－n2)
＝10n2－10.
∵ (10n2－10)÷10＝n2－1，
n 为正整数，
∴ n2－1 一定为整数.