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第8章 整式乘法与
因式分解
知识结构图
整式乘法
幂的运算
单项式的乘法
因式分解
同底数幂相乘
积的乘方
幂的乘方
同底数幂相除
多项式的乘法
乘法公式
提公因式法
公式法
知识点归纳
一、幂的运算性质
(1)am·an=_______(m，n都是正整数)；
(2)(am)n=_______(m，n都是正整数)；
(3)(ab)n=_______(n是正整数)；
(4)am÷an=_______(a≠0，m，n都是正整数)；
am+n
amn
anbn
am-n
对点练习1
（1） 下列运算正确的是 （ ）
A.a·a2=a2 B.(x2)4=x6
C.(-m2n)3=m6n3 D.b2÷b=b
（2）(- )2014·(-2.5)2015=_____.
（3） .
D
-2.5
1
二、整式乘法
单项式的乘法：①单项式×单项式
（单项式÷单项式）；
②单项式×多项式
（多项式÷单项式）.
多项式的乘法.
上述运算的法则分别是什么？
？
乘法公式：
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
注意：公式中的字母可以代表一个数，
一个字母，还可以代表一个式子.
对点练习2
1.化简求值：2x(x2-x+1)-(x-1)(2x2+x),
其中x= .
解：原式=2x3-2x2+2x-2x3-x2+2x2+x
=-x2+3x.
当x= 时，原式=-( )2+3×
= .
2. 已知：(a+b)2=4，(a-b)2=2，求：a2+b2与ab的值.
解：由已知，得 a2+2ab+b2=4①
a2-2ab+b2=2②.
①+②，得 2a2+2b2=6，
∴ a2+b2=3.
①-②，得 4ab=2，
∴ ab= .
三、因式分解
方法：提公因式法
公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
步骤：一提 ——提公因式
二套 ——套用公式
三查——检查是否彻底分解完
注意：因式分解与整式乘法是互逆的变形过程
对点练习3
1. 把多项式12a2b(a-b)-4ab2(a-b)2
分解因式时，应提取的公因式是 ____________.
2.分解因式：
①2x2- ；
②1-a2+2ab-b2.
4ab(a-b)
2.解：①2x2-
=2(x2- )
=2(x+ )(x- )；
②1-a2+2ab-b2
=1-(a2-2ab+b2)
=1-(a-b)2
=(1+a-b)(1-a+b)
学习方法总结
1.在学习幂的运算性质时，要灵活运用性质进行化简计算，特别是性质的逆运用.
2.整式乘法的学习以熟练掌握幂的运算性质为基础，同时深刻理解乘法分配律a(a+b)=ab+ac.
3.对于因式分解，首先要熟练掌握提公因式法和公式法，其次要根据多项式的特点灵活选用因式分解的方法.
易错题辨析
1.已知4x2-mxy+9y2是关于x、y的完全平方
式，则m的值为（ ）
A.6 B.±8 C.12 D.±12
错解：C
正解：D
辨析：造成错解的主要原因是以为m前面是“－”，m就为正.字母m既可以是正数也可以是负数.
2.分解因式：
x4-2x2y2+y4=_________________.
错解：(x2-y2)2
正解：(x+y)2(x-y)2
辨析：本题错解的原因是以为结果已是
乘积的形式就不再分解了.但x2-y2仍要分
解，且结果应写成(x+y)2(x-y)2.
典例讲解
例 已知一块正方形木板，它的边长为(a+4)cm，从中锯去一个边长为(a-2)cm的小正方形，则剩余木板的面积是多少？
思考：（1）原木板的面积是多少？
（2）锯去的木板面积又是多少？
（3）题中的等量关系是什么？
(a+4)2
(a-2)2
原木板面积-锯去木板面积=剩余木板面积
解：由题意，得
(a+4)2-(a-2)2
=a2+8a+16-(a2-4a+4)
=a2+8a+16-a2+4a-4
=12a+12(cm2).
答：剩余木板的面积为(12a+12)cm2.
解法二：由题意，得
(a+4)2-(a-2)2
=[(a+4)+(a-2)]·[(a+4)-(a-2)]
=(2a+2)×6
=12a+12(cm2).
答：剩余木板的面积为(12a+12)cm2.
解题方法总结
1.运用幂的性质解题时首先要分析清楚是运用哪一个或哪几个性质，同时要注意性质的逆运用.
2.在整式乘法的计算中，要按照法则进行或公式计算，并且要仔细，特别是符合不能弄错.
3.因式分解的题目中要注意第一步公因式要提尽，最后要到不能再分解为止.
综合小测试
1.已知3a=1,3b=2，则32a-3b=（ ）
A.8 B.9 C. D.
2.下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A.(a+1)(a-1)=a2-1 B.b2-2b+1=(b-1)2
C. x2-1=x(x- ) D.y2+3y-5=y(y+3)-5
C
B
3.某病毒分子的半径约为0.0000087m，
用科学记数法表示是_____________m.
4. 若x2-mx-24=(x+4)(x+n)，
则m+n=_______.
5.若x-x-1=2,则x2+x-2=__________.
6.计算：(2x2y-x)÷(-x)=___________.
7.解不等式：(2x+1)2-(x-1)2＞(3x+2)(x-3)
-4
6
8.7×10-6
1-2xy
解： (2x+1)2-(x-1)2＞(3x+2)(x-3)
4x2+4x+1-x2+2x-1＞3x2-7x-6
3x2+6x＞ 3x2-7x-6
3x2-3x2+6x+7x＞-6
13x＞-6
x＞-
能力拓展
已知 ，
试分解因式：(x2+m)2-nx2.
解：由已知，得
解得m=9，n=36.
∴原式=(x2+9)2-36x2
=(x2+6x+9)(x2-6x+9)
=(x+3)2(x-3)2
课堂小结与作业
本章主要知识点有哪些？
幂的运算性质
整式乘法与乘法公式
因式分解
你还有什么疑惑？
作业：P85 A组 6、7、12登陆21世纪教育 助您教考全无忧
第8章 整式乘法与因式分解 学案
【学习目标】
1.掌握幂的四种运算性质及零指数幂，负整数指数幂.
2.熟练运用整式乘法法则和乘法公式进行整式的运算.
3.灵活运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.本章的主要内容有哪些？学习的关键在哪些地方？
【合作学习，课内探究】
对点练习1
（1）下列运算正确的是 （ ）
A.a·a2=a2 ( http: / / www.21cnjy.com ) B.(x2)4=x6 C.(-m2n)3=m6n3 D.b2÷b=b
（2）(-)2014·(-2.5)2015=_____.
（3）.
对点练习2
1.化简求值：2x(x2-x+1)-(x-1)(2x2+x),其中x=.
2.已知：(a+b)2=4，(a-b)2=2，求：a2+b2与ab的值.
对点练习3
1.把多项式12a2b(a-b)-4ab2(a-b)2分解因式时，应提取的公因式是____________.
2.分解因式： ①2x2-；②1-a2+2ab-b2.
易错题辨析
1.已知4x2-mxy+9y2是关于x、y的完全平方式，则m的值为 （ ）
A.6 B.±8 C.12 D.±12
错解：
正解：
辨析：
2.分解因式：x4-2x2y2+y4=_________________.
错解：
正解：
辨析：
典例讲解
例 已知一块正方形木板，它的边长为(a+4)cm，从中锯去一个边长为(a-2)cm的小正方形，则剩余木板的面积是多少？21世纪教育网版权所有
思考：（1）原木板的面积是多少？
（2）锯去的木板面积又是多少？
（3）题中的等量关系是什么？
解：
解题方法总结：
综合小测试
1.已知3a=1,3b=2，则32a-3b ( http: / / www.21cnjy.com )= （ ）
A.8 B.9 C. D.
2.下列从左到右的变形属于因式分解的是 （ ）
A.(a+1)(a-1)=a2-1 B.b2-2b+1=(b-1)2
C. x2-1=x(x-) D.y2+3y-5=y(y+3)-5
3.某病毒分子的半径约为0.0000087m，用科学记数法表示是_____________m.
4. 若x2-mx-24=(x+4)(x+n)，则m+n=_______.
5.若x-x-1=2,则x2+x-2=__________.
6.计算：(2x2y-x)÷(-x)=___________.
7.解不等式：(2x+1)2-(x-1)2＞(3x+2)(x-3)
能力拓展
已知，试分解因式：(x2+m)2-nx2.
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还什么疑惑？
参考答案
对点练习1
（1）D，（2）-2.5，（3）1.
对点练习2
1.解：原式=2x3-2x2+2x-2x3-x2+2x2+x=-x2+3x.当x=时，原式=-()2+3×=.
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易错题辨析
1.D；2. (x+y)2(x-y)2
典例讲解
解：由题意，得(a+4)2-(a-2)2=a2+8a+16-(a2-4a+4)
=a2+8a+16-a2+4a-4
=12a+12(cm2).
答：剩余木板的面积为(12a+12)cm2.
解法二：由题意，得(a+4)2-(a-2)2=[(a+4)+(a-2)]·[(a+4)-(a-2)]21教育网
=(2a+2)×6
=12a+12(cm2).
答：剩余木板的面积为(12a+12)cm2.
综合小测试
1. C 2. B 3.8.7×10-6 4. -4 5. 6 6.1-2xy
7.解： (2x+1)2-(x-1)2＞(3x+2)(x-3)
4x2+4x+1-x2+2x-1＞3x2-7x-6，
3x2+6x＞3x2-7x-6
3x2-3x2+6x+7x＞-6
13x＞-6
x＞-
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