2023-2024学年山东省潍坊、东营市高二上学期期中考试数学试题（含解析）

2023-2024学年山东省潍坊、东营市高二上学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知直线经过点和，则的倾斜角为
A. B. C. D.
2.已知圆：，圆：，则与的位置关系是
( )
A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交
3.已知直线和平面，则下述命题中正确的是
A. 若与斜交，则内不存在与垂直的直线
B. 若，则内的所有直线与都垂直
C. 若与斜交，则内存在与平行的直线
D. 若，则内的所有直线与都平行
4.已知直线：；：，
A. 若与相交，则 B. 若与平行，则
C. 若与垂直，则 D. 若与重合，则
5.在棱长为的正方体中，点到平面的距离为
( )
A. B. C. D.
6.如图，等腰梯形是圆台的轴截面，，为下底面上的一点，且，则直线与平面所成的角为
A. B. C. D.
7.已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为
A. B. C. D.
8.已知正四面体的棱长为，棱上的一点满足，若点到面和面的距离分别为，，则
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列结论正确的是
A. 已知向量，，若，则
B. 已知向量，，则在上的投影的数量为
C. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为
D. 为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面
10.在正方体中，下列结论正确的是
A. B. 平面
C. 直线与所成的角为 D. 二面角的大小为
11.已知圆：和圆：的交点为，，直线：与圆交于，两点，则下列结论正确的是
A. 的取值范围是
B. 圆上存在两点和，使得
C. 圆上的点到直线的最大距离为
D. 若，则
12.已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，，且以为圆心、为半径的圆分别交，于，两点，点是劣弧上的动点，其中，则
( )
A. 弧上存在点，使得与所成的角为
B. 弧上存在点，使得平面
C. 当时，点与动点的所有连线围成的图形面积为
D. 当时，以点为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知向量，，若，则________．
14.若直线是圆的一条对称轴，则 ．
15.如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的最小值为________．
16.已知菱形边长为，，沿对角线将折起到的位置，当时，二面角的大小为 ，此时三棱锥的外接球的半径为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在菱形中，，，．
求直线的方程及直线的倾斜角；
求对角线所在的直线方程．
18.本小题分
如图，在长方体中，，分别是，的中点，，且．
求并求直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知的圆心在轴上，经过点，并且与直线相切．
求的方程；
过点的直线与交于，两点，
(ⅰ)若，求直线的方程；
(ⅱ)求弦最短时直线的方程．
20.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
证明： 平面；
求二面角的余弦值．
21.本小题分
边长为的正方形所在平面与半圆弧所在平面垂直，四边形是半圆弧的内接梯形，且 ．
证明：平面平面；
设，且二面角与二面角的大小都是，当点在棱包含端点上运动时，求直线和平面所成角的正弦值的取值范围．
22.本小题分
已知圆与圆：关于直线对称．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为，记四边形的面积为，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了斜率公式，考查直线的倾斜角，是基础题．
根据斜率公式求出的值，从而求出倾斜角即可．
【解答】
解：若直线经过，两点，
则，
故直线的倾斜角为．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题．
根据圆的标准方程，求出圆心距，再与半径之和、半径之差进行比较可得答案．
【解答】
解：圆 ，圆表示以为圆心，以为半径的圆，
圆表示以为圆心，以为半径的圆，
两圆的圆心距，
又，
故两圆相交，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题。
利用线面垂直的性质，线面平行的性质，逐一判断即可。
【解答】
解：若直线与平面斜交，则直线与平面内的直线存在异面垂直或相交垂直的情况，故A错误
若直线平面，则直线垂直于平面内的所有直线，故B正确
若平面内存在与平行的直线，则由线面平行的判定定理可得直线与平面平行，与已知矛盾，所以C正确，
若直线平面，则直线与平面内的所有直线平行或异面，故D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线位置关系的判断，属于基础题．
根据直线平行和垂直的条件逐项判断即可求解．
【解答】
解：令，解得或，
经验证，当或时，
若与相交，则且，故A，，D错误，
若，则，解得，故C正确，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点到平面的距离，属于基础题．过作，垂足点为，由题意易得线段的长度即为所求．
【解答】
解：如图，过作，垂足点为，
又易知平面，且平面，，
又，，且与都在平面内，所以平面，
即的长就是点到平面的距离，
而．
故选B．
6.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查线面所成角的大小，圆台的结构特征，属于基础题．
由题意可得是直线与平面所成的角，解直角三角形即可求解．
【解答】解：连接、、，
因为，为中点，
所以，
又底面，底面，
则，、平面，，
则平面，
所以是直线与平面所成的角，
，，
在中，，，
直线与平面所成的角为．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆的方程的应用，涉及了直线与圆位置关系的应用、切线长公式的应用、点到直线距离公式的运用，属于中档题．
根据圆的方程求出圆心和半径，当最短时，四边形面积最小，求解即可得到答案．
【解答】
解：圆方程的圆心，半径，
要使四边形面积最小，只需最小，即最小，
，所以，
所以四边形面积的最小值为此时的值为，
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
过作底面，垂足点为，连接交于点，则易得到平面的距离，由正四面体的对称性可知到平面的距离等于到平面的距离，又，从而到平面等于到平面距离的，即，又到平面的距离等于到平面的距离的，即，从而得．
本题考查正四面体的性质，点面距的求解，化归转化思想，属中档题．
【解答】
解：如图，过作底面，垂足点为，
连接交于点，
又正四面体的棱长为，
易得，
由正四面体的对称性可知到平面的距离等于到平面的距离，
又，
到平面等于到平面距离的，
即，
又到平面的距离等于到平面的距离的，即，
则．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直的坐标表示、空间向量的投影的数量、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量共面定理，属于一般题．
由，得出，求出的值，即可判定；计算出，即可判定；由点关于轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可判定；由，则，计算出，即可判定．
【解答】
解：选项，因为，，，
所以，解得，故A正确；
选项，因为，，
所以，
，
所以在方向上的投影数量为：，故B错误；
选项，点关于轴的对称点为，故C错误；
选项，由，则，
则
，
即，
即，则、、、四点共面，故D正确．
故选AD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与直线垂直，线面平行的判定，异面直线所成角，二面角，属于中档题；
利用空间向量可判断，利用线面平行的判定定理可判断，把直线与所成的角转化为直线与所成的角，可判断， ，，可判断二面角的平面角为，可判断；
【解答】
解：如图，以正方体顶点为坐标原点，为，，轴方向向量建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设正方体棱长为，
对于，，，
， ，A正确；
对于，平面，B正确；
对于，，直线与所成的角即直线与所成的角，
为等边三角形，直线与所成的角为，
故直线与所成的角为， C正确；
对于， ，，
，在两个半平面内，均与棱垂直，
所以二面角的平面角为，D正确；
选项为，
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程与一般方程，能利用圆的几何性质解决直线与圆的位置关系问题，属于中档题．
根据直线与圆的位置关系及圆的标准方程与一般方程相关知识逐项计算判断即可．
【解答】
解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
直线与圆交于，两点，则直线与圆心为的距离，
所以，解得，故A正确．
圆心到直线的距离为，所以，
对于圆上的任意两点，，，项错误
圆上的点到直线的距离的最大值为，项正确
因为，所以圆心到直线的距离为，所以，
故或，项正确．
故选AC．
12.【答案】
【解析】 【分析】
本题考查线面垂直的判定，向量法求线线夹角，动点轨迹问题，考查运算能力，属于难题．
以点为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设，，得，，利用向量法可求出线线夹角余弦值的范围，判断求出，及平面的法向量，判断；当时，点与动点的所有连线围成的图形是底面半径为，高为的圆锥的四分之一侧面，由圆锥侧面积公式计算即可判断分别求出球与各面交线所对圆心角，利用弧长公式即可判断．
【解答】
解：如图，以点为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，
则，，
与所成的的余弦值为
，
又，所以A正确
，，，
设平面的法向量为，
则
令，则．
则时，，即，
又，，
所以存在点，使得平面，所以B正确
当时，点与动点的所有连线围成的图形是底面半径为，高为的圆锥的四分之一侧面，
其面积为，所以C正确
当时，，
设点为球心为半径的球面与，，依次交于点，，，
因为平面，，平面，
所以，．
又，，
所以，
所以．
因为，，，
所以，
所以．
在中，，，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以，
中，，
则．
因为，，
所以，
所以以点为球心，为半径的球面与该四棱锥各侧面的交线长为
，所以D正确．
故选ABCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量平行时的坐标关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，则存在实数使得，即可得出．
【解答】解：，存在实数使得，
，解得，，．
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，明确直线过圆心是关键，属基础题．
由圆的方程求得圆心坐标，代入直线方程即可求得值．
【解答】
解：圆的圆心坐标为，
直线是圆的一条对称轴，
圆心在直线上，可得，即．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点关于直线对称点的求法，以及两点间的距离公式，属于中档题．
求出关于直线轴的对称点为，以及关于直线的对称点为，根据两点间的距离公式即可得解．
【解答】
解：如图所示，关于直线的对称点为，
由，，得直线的方程为，
设关于直线的对称点为，
则 ，解得
所以关于直线的对称点为，
则光线所经过的路程为：
．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查三棱锥的外接球的半径的求法，二面角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
取的中点，连接，，即可得到为二面角的平面角，用余弦定理求解即可；
分别取，的重心为，，过点，分别作两个平面的垂线，交于点，点即为三棱
锥的外接球的球心，连接，，利用锐角三角函数求出，即可取出即外接球的半径．
【解答】
解：取的中点，连接，，因为为菱形，所以，，
故为二面角的平面角，则，当时，
，则；
由题意可知，为正三角形，则外接球球心位于过，的中心且
和它们所在面垂直的直线上，故分别取，的重心为，，过点，分别
作两个平面的垂线，交于点，点即为三棱锥的外接球的球心，

由题意可知，球心到面和面的距离相等，即，
连接，，则，菱形的边长为，
，，
，
即三棱锥的外接球的半径．
17.【答案】解：由，得，
所以直线的方程为，即，
由以上可知直线的倾斜角为，
又因为，四边形为菱形，
所以直线的倾斜角为．
由知，直线的斜率为，
由菱形的性质得直线的斜率为，直线过点，
所以对角线所在的直线方程为，
即．
【解析】本题主要考查直线斜率与倾斜角，直线方程，属于基础题．
求出，可得直线的倾斜角为，根据题意可得直线的倾斜角为；
由题意可得直线的斜率为，利用点斜式得对角线所在的直线方程．
18.【答案】解：连结，由题意可得，平面，所以，
在直角三角形中，，
所以，解得，
以为坐标系原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，，
所以，，
则，，
所以，．
故直线与所成角的余弦值为．
由知，，设平面的一个法向量为，
则
可取，
设点到平面的距离为，
则．
【解析】本题考查线面垂直的应用，线面角的向量求法，利用向量解决点到平面的距离问题。
由长方体的结构特征，平面，所以，根据勾股定理求得，建立空间直角坐标系，分别写出，，再求出两个向量夹角余弦值，可得直线与所成角的余弦值．
由题求得平面的法向量，根据点到平面的距离公式即可求得．
19.【答案】解：由题意，设的方程为，
因为过点，所以
因为与直线相切，所以
联立解得，，
所以的方程为．
当直线的斜率不存在时，，此时，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则，
因为，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得，此时直线的方程为，
所以直线的方程为或．
设圆心到直线的距离为，因为，
要使得弦最短，只需最大，此时，
因为，所以的斜率为，
所以直线的方程为，即．
【解析】本题考查求圆的方程，求直线与圆相交弦所在直线方程，弦长最短时直线方程，属于中档题．
设出圆的方程代点列出方程，点到直线距离列出方程解得，，即可得到的方程．
对斜率存在与不存在讨论，通过待定系数法以及点到直线的距离公式，求得直线的方程为或．
要使得弦最短，只需最大，此时，由此求得求弦最短时直线的方程．
20.【答案】证明：连接，
因为，分别为，的中点，
所以，
因为平面，平面
所以平面．
解：取的中点，连接，
因为，，
所以和是全等的等边三角形，
所以，则和是全等的直角三角形，
所以，所以，
所以，
又因为，，，平面，所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
令得，，
设平面的法向量为，则，
令得，，
所以，
设二面角的大小为，由图可知为钝角，
所以二面角的余弦值为．
【解析】本题考查空间线面的位置关系及空间向量求空间角，属于中档题．
先证，从而证得结果．
先证平面，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，即可求得二面角的余弦值．
21.【答案】证明：由题意知，平面平面，交线为，
因为，平面，
所以平面，平面，故AD，
又是上异于，的点，且为直径，所以，
又，、平面，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
解：过作，垂足为，
由知平面，．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由知平面，
故为二面角的平面角，
故，四边形是等腰梯形，
则，
由以上可得，，，，，，
所以，，，
，
令，，
所以，，
设是平面的法向量，则
即，所以可取，
记直线和平面所成的角为，
则，，
当时，，
当时，
故，当且仅当时等号成立，所以，
所以直线和平面所成的角的正弦值的取值范围为．

【解析】【分析】本题主要考查了面面垂直的判定，线面角，是较难题．
由已知利用面面垂直的判定进行证明；
由已知建系，利用向量法求得直线和平面所成角的正弦值，再求解其范围．
22.【答案】解：因为圆的方程为，即，
设圆的圆心坐标为，
由题意得，，解得，
又因为两圆关于直线对称，所以圆的半径为，
所以圆的标准方程为；
当直线与轴垂直时，，
所以四边形面积，
当直线与轴不垂直时，
设直线方程为，即，
则直线方程为，即，
点到直线的距离为，所以，
点到直线的距离为，所以，
所以四边形面积，
令当时四边形不存在，
所以，
所以
综上：四边形面积的取值范围为
【解析】本题考查圆的标准方程，圆中的面积问题，属于难题．
设出圆的圆心坐标，则，再求出半径，即可得解；
分直线与轴垂直，直线与轴不垂直时两种情况讨论．
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