2023-2024学年山西省太原市高二上学期期中学业诊断数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年山西省太原市高二上学期期中学业诊断数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 270.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-05 13:19:59 | ||
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文档简介
2023-2024学年山西省太原市高二上学期期中学业诊断数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点坐标为
( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心坐标为
( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则实数( )
A. B. C. D.
5.直线与直线之间的距离是
( )
A. B. C. D.
6.已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是
( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
7.如图，正方体的棱长为，是的中点，则点到直线的距离为
( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，点的坐标为，则的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆与圆关于直线对称，则下列说法正确的是
( )
A. B. 圆与圆相交
C. 直线的方程为 D. 直线的方程为
10.已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是
( )
A. 的最小值为 B. 椭圆的离心率
C. 面积的最大值为 D. 的最大值为
11.已知直线，则下列说法正确的是
( )
A. 直线与相交于点
B. 直线和轴围成的三角形的面积为
C. 直线关于原点对称的直线方程为
D. 直线关于直线对称的直线方程为
12.已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是
( )
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为
D. 过作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.直线在轴上的截距为_______．
14.已知，则向量与的夹角为________．
15.已知点是直线上的动点，点在线段上是坐标原点，且满足，则动点的轨迹方程为_________．
16.已知椭圆的左，右顶点分别为，动点在上异于点，点是弦的中点，则的最大值为________．
四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知的三个顶点，分别是的中点．
求直线的一般式方程；
求边的垂直平分线的斜截式方程．
18.本小题分
如图，四面体各棱的棱长都是，是的中点，是的中点，记．
用向量表示向量；
利用向量法证明：．
19.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且经过和两点．
求圆的一般方程；
求圆与圆的公共弦的长．
20.本小题分
已知椭圆的离心率是，且经过点．
求椭圆的方程；
若过点 的 直线与椭圆相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．
21.本小题分
如图，在几何体中，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，平面，．
若，求证：平面；
若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据直线的斜率求得倾斜角．
解：直线 的斜率为 ，
所以直线的倾斜角为 ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求得，从而确定正确答案．
解：椭圆的焦点在轴上，
，
所以焦点坐标为．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标．
解：圆 可化为 ，
所以圆心坐标为 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得 的值．
解：由于 ，所以 ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案．
解：依题意，直线 与直线 之间的距离是：
．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可．
解：已知直线 ，变形为 ，
由 ，即直线恒过定点 ，
代入圆的方程的左端有 ，即点在圆内，
所以直线与圆相交，
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案．
解：建立如图所示空间直角坐标系，
，
所以点 到直线 的距离为 ．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的定义转化 ，结合三点共线来求得 的取值范围．
在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解．
解：依题意， ， ， ，
， ，
所以 ，当 位于线段 与椭圆交点 处时等号成立．
根据椭圆的定义可知 ，
如图所示，设 的延长线与椭圆相交于 ，
则当 位于 时， 取得最大值为 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：圆的圆心为，半径，
圆即，
根据对称性可知，解得，所以选项错误．
此时，圆心为，半径．
，
由于，所以两圆相交，选项正确
直线的方程，所以选项错误．
线段中点坐标为，直线斜率为，
所以直线的方程为，所以选项正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：椭圆，，，
设，，，则，
则，
函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以选项正确．
椭圆的离心率，所以选项错误．
由于为定值，所以当位于椭圆的左右顶点时，
三角形的面积取得最大值为，所以选项错误．
设，
，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，
当取得最小值时，取得最大值，此时为锐角，，
所以此时也取得最大值，且的最大值为，所以选项正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：由解得，所以交点坐标为，选项正确．
直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为，
所以选项错误．
由上述分析可知，直线关于原点对称的直线过点，
所以直线关于原点对称的直线方程为，
所以选项正确．
点关于直线的对称点是；
点关于直线的对称点是，
所以直线关于直线对称的直线方程为，
即，所以选项错误．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
求解直线和圆的位置关系有关题目，主要的方法是数形结合的数学思想方法，根据图象以及圆的几何性质来对问题进行研究求解圆与圆相交所得弦长，可利用两个圆的方程相减来求得相交弦所在直线方程．
解：圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，直线和圆相离，
所以的最小值为，选项正确．
由于是直线上任意一点，所以没有最大值，选项错误．
对于选项，由于直线与直线的夹角为，
所以等于到直线的距离的倍，
所以的最大值为，选项正确．
对于选项，设，的中点为，
，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由、两式相减并化简得，
即直线的方程为，
到直线的距离为，
所以，
对于函数，
所以恒成立，当时，
取得最小值为，
所以，所以，
所以，所以选项正确．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】根据截距的知识求得正确答案．
解：由，令，解得，
所以直线在轴上的截距为．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案．
解：，
则为锐角，所以．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】设出两点的坐标，由以及三点共线求得正确答案．
解：设，设，依题意可知，
由于三点共线，所以，则，
由于，所以，
整理得
故答案为：
16.【答案】或
【解析】【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值．
在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用三角换元，然后结合基本不等式来求还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解
解：依题意，设，
根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设，
，则，即，
所以
由于，所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立．
故答案为：
17.【答案】解：由于分别是的中点，所以，
所以，直线的方程为，即．
，所以边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的斜截式方程为．
【解析】【分析】求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程．
求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程．
18.【答案】解：连接，则
，
所以
，
所以．
【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案．
通过证明来证得结论成立．
19.【答案】解：设，由得，解得，则，
，所以圆的标准方程为，半径为，
所以圆的一般方程为．
圆即，圆心为，半径为，
两点的距离为，而，所以两圆相交，
由、，
两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以公共弦长为．
【解析】【分析】通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程．
先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的 距离公式以及勾股定理求得公共弦长．
20.【答案】解：依题意，解得，
所以椭圆的方程为．
依题意，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，
画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，则，
而，所以直线的方程为，令，解得，
同理可求得，
则
，
所以线段的中点为定点．
【解析】【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程．
设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点．
21.【答案】解：证明：取的中点，连接，
是的中点，，
平面，平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
，，，
，，，
，平面，故平面；
设，则，显然是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则
取，则，，，
，
或，
当时，，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
当时，，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】【分析】取的中点，连接，易证平面，然后以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，论证，即可；
设，则，易知是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求得，再利用线面角公式求解．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点坐标为
( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心坐标为
( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则实数( )
A. B. C. D.
5.直线与直线之间的距离是
( )
A. B. C. D.
6.已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是
( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
7.如图，正方体的棱长为，是的中点，则点到直线的距离为
( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，点的坐标为，则的取值范围为
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知圆与圆关于直线对称，则下列说法正确的是
( )
A. B. 圆与圆相交
C. 直线的方程为 D. 直线的方程为
10.已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是
( )
A. 的最小值为 B. 椭圆的离心率
C. 面积的最大值为 D. 的最大值为
11.已知直线，则下列说法正确的是
( )
A. 直线与相交于点
B. 直线和轴围成的三角形的面积为
C. 直线关于原点对称的直线方程为
D. 直线关于直线对称的直线方程为
12.已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是
( )
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为
D. 过作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.直线在轴上的截距为_______．
14.已知，则向量与的夹角为________．
15.已知点是直线上的动点，点在线段上是坐标原点，且满足，则动点的轨迹方程为_________．
16.已知椭圆的左，右顶点分别为，动点在上异于点，点是弦的中点，则的最大值为________．
四、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知的三个顶点，分别是的中点．
求直线的一般式方程；
求边的垂直平分线的斜截式方程．
18.本小题分
如图，四面体各棱的棱长都是，是的中点，是的中点，记．
用向量表示向量；
利用向量法证明：．
19.本小题分
已知圆的圆心在轴上，且经过和两点．
求圆的一般方程；
求圆与圆的公共弦的长．
20.本小题分
已知椭圆的离心率是，且经过点．
求椭圆的方程；
若过点 的 直线与椭圆相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．
21.本小题分
如图，在几何体中，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，平面，．
若，求证：平面；
若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据直线的斜率求得倾斜角．
解：直线 的斜率为 ，
所以直线的倾斜角为 ．
故选：
2.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求得，从而确定正确答案．
解：椭圆的焦点在轴上，
，
所以焦点坐标为．
故选：
3.【答案】
【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而求得圆心坐标．
解：圆 可化为 ，
所以圆心坐标为 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】根据向量垂直列方程，化简求得 的值．
解：由于 ，所以 ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案．
解：依题意，直线 与直线 之间的距离是：
．
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可．
解：已知直线 ，变形为 ，
由 ，即直线恒过定点 ，
代入圆的方程的左端有 ，即点在圆内，
所以直线与圆相交，
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案．
解：建立如图所示空间直角坐标系，
，
所以点 到直线 的距离为 ．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的定义转化 ，结合三点共线来求得 的取值范围．
在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解．
解：依题意， ， ， ，
， ，
所以 ，当 位于线段 与椭圆交点 处时等号成立．
根据椭圆的定义可知 ，
如图所示，设 的延长线与椭圆相交于 ，
则当 位于 时， 取得最大值为 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：圆的圆心为，半径，
圆即，
根据对称性可知，解得，所以选项错误．
此时，圆心为，半径．
，
由于，所以两圆相交，选项正确
直线的方程，所以选项错误．
线段中点坐标为，直线斜率为，
所以直线的方程为，所以选项正确．
故选：
10.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：椭圆，，，
设，，，则，
则，
函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以选项正确．
椭圆的离心率，所以选项错误．
由于为定值，所以当位于椭圆的左右顶点时，
三角形的面积取得最大值为，所以选项错误．
设，
，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，
当取得最小值时，取得最大值，此时为锐角，，
所以此时也取得最大值，且的最大值为，所以选项正确．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
解：由解得，所以交点坐标为，选项正确．
直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为，
所以选项错误．
由上述分析可知，直线关于原点对称的直线过点，
所以直线关于原点对称的直线方程为，
所以选项正确．
点关于直线的对称点是；
点关于直线的对称点是，
所以直线关于直线对称的直线方程为，
即，所以选项错误．
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
求解直线和圆的位置关系有关题目，主要的方法是数形结合的数学思想方法，根据图象以及圆的几何性质来对问题进行研究求解圆与圆相交所得弦长，可利用两个圆的方程相减来求得相交弦所在直线方程．
解：圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，直线和圆相离，
所以的最小值为，选项正确．
由于是直线上任意一点，所以没有最大值，选项错误．
对于选项，由于直线与直线的夹角为，
所以等于到直线的距离的倍，
所以的最大值为，选项正确．
对于选项，设，的中点为，
，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，
由、两式相减并化简得，
即直线的方程为，
到直线的距离为，
所以，
对于函数，
所以恒成立，当时，
取得最小值为，
所以，所以，
所以，所以选项正确．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】根据截距的知识求得正确答案．
解：由，令，解得，
所以直线在轴上的截距为．
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案．
解：，
则为锐角，所以．
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】设出两点的坐标，由以及三点共线求得正确答案．
解：设，设，依题意可知，
由于三点共线，所以，则，
由于，所以，
整理得
故答案为：
16.【答案】或
【解析】【分析】设出点坐标，求得坐标，进而求得的表达式，并利用三角恒等变换、基本不等式等知识求得的最大值．
在椭圆中，求解最值有关问题，如线段长度、面积、角度等量的最值，可考虑先求得其表达式，然后根据表达式的结构选取合适的求最值的方法来进行求解，如本题中，利用三角换元，然后结合基本不等式来求还可以考虑二次函数的性质、函数的单调性等知识来进行求解
解：依题意，设，
根据椭圆的对称性，以及题目所求“的最大值”，不妨设，
，则，即，
所以
由于，所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立．
故答案为：
17.【答案】解：由于分别是的中点，所以，
所以，直线的方程为，即．
，所以边的垂直平分线的斜率为，
所以边的垂直平分线的斜截式方程为．
【解析】【分析】求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程．
求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程．
18.【答案】解：连接，则
，
所以
，
所以．
【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案．
通过证明来证得结论成立．
19.【答案】解：设，由得，解得，则，
，所以圆的标准方程为，半径为，
所以圆的一般方程为．
圆即，圆心为，半径为，
两点的距离为，而，所以两圆相交，
由、，
两式相减并化简得，
到直线的距离为，
所以公共弦长为．
【解析】【分析】通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程．
先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的 距离公式以及勾股定理求得公共弦长．
20.【答案】解：依题意，解得，
所以椭圆的方程为．
依题意，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，
画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，则，
而，所以直线的方程为，令，解得，
同理可求得，
则
，
所以线段的中点为定点．
【解析】【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程．
设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点．
21.【答案】解：证明：取的中点，连接，
是的中点，，
平面，平面，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
，，，
，，，
，平面，故平面；
设，则，显然是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则
取，则，，，
，
或，
当时，，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
当时，，
，，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】【分析】取的中点，连接，易证平面，然后以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，论证，即可；
设，则，易知是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求得，再利用线面角公式求解．
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