2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 469.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-05 13:22:40 | ||
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文档简介
2023-2024学年辽宁省本溪市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则是
( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
4.已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是
A. B.
C. D.
6.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为，下底直径为，喉部中间最细处的直径为，则该塔筒的高为
( )
A. B. C. D.
7.将一个棱长为的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若直线过点且在两坐标轴上的 截距互为相反数，则直线的方程为
( )
A. B. C. D.
10.已知圆，圆，则下列说法正确的是
( )
A. 若点在圆的内部，则
B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是
C. 若圆外切，则
D. 过点作圆的切线，则的方程是或
11.已知，，且，则下列结论错误的是
( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的最小值是 D. 的最小值为
12.已知椭圆：过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是
( )
A. 的离心率为
B. 的方程为
C. 若，则
D. 若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知，则的值为______．
14.已知抛物线：的准线为，，点是上任意一点，过作，垂足为，则的最小值为______．
15.如图，在边长为的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是______．
16.已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知函数．
求函数 的 最小正周期；
将函数 的 图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域．
18.本小题分
已知半径为的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上．
求圆的方程；
已知直线与圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点．
求到的距离；
求与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小．
若是的内心，且，，求和．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，正三角形所在平面与平面垂直，分别为的中点．
求证：平面；
求二面角 的 平面角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆过点，离心率为．
求椭圆的方程；
已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】解不等式可得集合 与 ，进而可得 ．
解：因为 ， ，
所以 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据复数除法运算化简，然后由复数的模的公式可得．
解：依题意， ，
所以 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】由正弦边角关系得 ，设 ，应用余弦定理确定 的符号，结合 为最大内角，即可得答案．
解：因为 ，由正弦定理得 ，
设 ，则 ， ，
由余弦定理得 ，则 为锐角，
又 为最大内角，故 为锐角三角形．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】对于，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于，运用面面平行的传递性易得；
对于，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于，借助于两平面的法向量的垂直关系可得．
解：
对于，如图，在长方体 中，设平面 为平面 ，平面 为平面 ，
平面 为平面 ，显然满足 ，但是平面 与平面 不平行，故A错误；
对于，根据面面平行的传递性，若 ，则 成立，故B正确；
对于，若 ，则 ，又 ，所以 ，故C正确；
对于，设直线 的方向向量分别为 ，若 ，
则平面 的一个法向量分别为 ，且 ，所以 ，故D正确．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数和对数函数的图象，属于中档题．
根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案．
【解答】解：由对数函数且与二次函数可知，
当时，此时，对数函数为减函数，
而二次函数开口向下，且其对称轴为，故排除与；
当时，此时，对数函数为增函数，
而二次函数开口向上，且其对称轴为，故B错误，而符合题意．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可．
解：该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点 为原点，建立平面直角坐标系，
设与 分别为上，下底面对应点设双曲线的方程为 ，
因为双曲线的离心率为 ，所以 ．
又喉部中间最细处的直径为 ，所以 ，所以双曲线的方程为 ．
由题意可知 ，代入双曲线方程，得 ，
所以该塔筒的高为 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解．
解：由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，
正方体的体对角线长为
所以，此时圆柱的底面半径为 ，高为 ，
所以该圆柱体积的最小值为 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据解析式画出 草图，将问题化为 的图象与直线 ， 共有个交点，数形结合有 的图象与直线 有个交点，即可求参数范围．
解：作出函数 的图象如图所示，
函数 ，且 有个零点，
等价于 有个解，即 或 共有个解，
等价于 的图象与直线 ， 共有个交点．
由图得 的图象与直线 在个交点，
所以 的图象与直线 有个交点，则直线 应位于直线 下方，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】依题意可分截距为和不为两种情形讨论即可求解．
解：当截距为时，
则过点 和原点，
所以的方程为 ，即 ；
当截距不为时，
由直线过在两坐标轴上的截距互为相反数，
则设的方程为 ，
又过点 ，得 ，解得 ，
所以的方程为 ．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据点在圆的内部解不等式 即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确．
解：对于，由点 在圆 的内部，得 ，解得 ，故 错误；
对于，若 ，则圆 ，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是 ，故B正确；
对于，圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
若圆 外切，则 ，即 ，解得 ，故C正确；
对于，当 的斜率不存在时， 的方程是 ，圆心 到 的距离 ，满足要求，
当 的斜率存在时，设 的方程为 ，
圆心 到 的距离 ，解得 ，
所以 的方程是 ，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】选项A、根据基本不等式即可判断，选项C、，由条件可知 ，代入选项后再根据基本不等式即可判断．
解：对于选项A，因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号．
由 ，得 ，即 ，解得 ，即 ，故A正确；
对于选项B，由题可得 ，当且仅当 时取等号．
所以有 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 ，故B错误；
对于选项C，由 ，得 ，得 ，解得 ．
，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，因为 ，所以等号不成立，故C错误；
对于选项D， ，
当且仅当 时，即 时等号成立又 ，所以等号不成立，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】点差法的应用，以及点与椭圆位置关系的确定．
利用点差法确定 ， 关系 ，结合 ，有 求得离心率；根据椭圆过定点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆 上存在 ， 两点并设其中点坐标 利用点差法确定 ，验证 ，所以点 在椭圆 外，这与 是弦 的中点矛盾，所以椭圆 上不存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称．
解：设 ， ，则 ，即 ，
因为 ， 在椭圆 上，所以 ， ，两式相减，
得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，又 ，
所以 ，离心率 ，故A正确；
因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ，故B错误；
若 ，则直线 的方程为 ，由 得 ，所以 ， ， ，故C正确；
若 ，则直线 的方程为 假设椭圆 上存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，设 ， ， 的中点为 ，所以 ， 因为 ， 关于直线 对称，所以 且点 在直线 上，即 又 ， 在椭圆 上，所以 ， 两式相减得 ，即 ，所以 ，即 ，联立 解得 即 又 ，所以点 在椭圆 外，这与 是弦 的中点矛盾，所以椭圆 上不存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，故D错误．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解．
解： ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的定义 ，可知 的最小值为 进而可得．
解：
如图，抛物线 的焦点坐标为 ，
根据抛物线的定义 ，所以 ，
故当 ， ， 三点共线时， 取得最小值为 ，
，
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】以正方形 的中心 为原点建立平面直角坐标系，设以 轴非负半轴为始边， 为终边的角为 ，根据三角函数定义写出点的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标表示，结合余弦函数的有界性可得．
解：以正方形 的中心 为原点建立平面直角坐标系如图所示，
则点 ， ， ，
设以 轴非负半轴为始边， 为终边的角为 ，
易知外接圆的半径为 ，
所以点 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
即 的取值范围为 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知 也在双曲线的渐近线上，利用 求解．
解：根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知 也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知 轴，设 ，又 在渐近线 上，可得 ，利用 ， 和离心率的取值范围可得答案围．
【详解】由双曲线的对称性可知 也在双曲线的渐近线上，且 在第二象限，
由 轴，可知 轴，所以可设 ，
又 在渐近线 上，所以 ，所以 ，
因为 的离心率的取值范围是 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
故答案为 ： ．
17.【答案】解：
，
所以函数 的最小正周期 ．
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 在 上的值域为 ．
【解析】【分析】将 化简为 的 形式即可求解；
整体思想求值域．
18.【答案】解：由已知可设圆心 ，则 ，解得 或 舍，
所以圆 的方程为 ．
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或
【解析】【分析】根据直线与圆相切，根据点到直线距离公式求出圆心，再应用圆的标准方程即可
根据几何法求弦长，再结合面积公式计算即可．
19.【答案】解：以 为坐标原点 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
，
所以 到 的距离 ．
设平面 的一个法向量 ，则 ，即
令 ，解得 ， ，故 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【解析】【分析】以 为坐标原点，建系，由向量法得出 到 的距离；
由向量法得出直线 与平面 所成角的正弦值．
20.【答案】解：在 中，由正弦定理及 ，得 ，
即 ，
又 ，
因此 ，
又 ，即有 ，于是 ，而 ，
所以 ．
因为 是 的内心，则 分别平分 ，
于是 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，则 ，在直角 中， ，从而 ，
所以 ， ．
【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的 正弦化简作答．
利用三角形内心的性质求出 ，再利用余弦定理、三角形面积公式求解作答．
21.【答案】证明：因为 是正三角形， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以
如图，连接 ，
在直角梯形 中， ，
所以 ，
在平面 内过点 作 ，垂足为 ，则 ，
所以 ，所以 ，即 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
取 的中点 ，连接 ，
在直角梯形 中， 分别为 的中点，则 ，
又 ，所以 ，
由知 平面 ，又 平面 ，则 ，
以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为 ，
所以 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
【解析】【分析】由面面垂直得线面垂直坐得线线垂直 ，在直角梯形中由勾股定理逆定理证明 ，即可证明线面垂直；
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
22.【答案】解：依题意，得 又 ，解得
所以椭圆方程为 ．
因为 ，所以 ，
又 为线段 的中点，所以 ，因此 ．
根据题意可知直线 的斜率一定存在，设 的方程为 ，
联立 消去 ，
得 ，
根据韦达定理可得 ，
因为 ，
所以
，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ．
又直线 不经过点 ，所以 舍去，
于是直线 的方程为 ，恒过定点 ，该点在椭圆 内，满足 ，
所以直线 恒过定点，定点坐标为 ．
【解析】【分析】根据题意，列出关于 的方程，代入计算，即可得到结果；
根据题意，设 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.在中，若，则是
( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
4.已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是
( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象可能是
A. B.
C. D.
6.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为，下底直径为，喉部中间最细处的直径为，则该塔筒的高为
( )
A. B. C. D.
7.将一个棱长为的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若函数有个不同的零点，则实数的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若直线过点且在两坐标轴上的 截距互为相反数，则直线的方程为
( )
A. B. C. D.
10.已知圆，圆，则下列说法正确的是
( )
A. 若点在圆的内部，则
B. 若，则圆的公共弦所在的直线方程是
C. 若圆外切，则
D. 过点作圆的切线，则的方程是或
11.已知，，且，则下列结论错误的是
( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的最小值是 D. 的最小值为
12.已知椭圆：过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是
( )
A. 的离心率为
B. 的方程为
C. 若，则
D. 若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知，则的值为______．
14.已知抛物线：的准线为，，点是上任意一点，过作，垂足为，则的最小值为______．
15.如图，在边长为的正方形中，点是正方形外接圆上任意一点，则的取值范围是______．
16.已知分别是双曲线的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知函数．
求函数 的 最小正周期；
将函数 的 图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域．
18.本小题分
已知半径为的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上．
求圆的方程；
已知直线与圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，，为棱的中点．
求到的距离；
求与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小．
若是的内心，且，，求和．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，，，正三角形所在平面与平面垂直，分别为的中点．
求证：平面；
求二面角 的 平面角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆过点，离心率为．
求椭圆的方程；
已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】解不等式可得集合 与 ，进而可得 ．
解：因为 ， ，
所以 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】根据复数除法运算化简，然后由复数的模的公式可得．
解：依题意， ，
所以 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】由正弦边角关系得 ，设 ，应用余弦定理确定 的符号，结合 为最大内角，即可得答案．
解：因为 ，由正弦定理得 ，
设 ，则 ， ，
由余弦定理得 ，则 为锐角，
又 为最大内角，故 为锐角三角形．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】对于，借助于长方体模型，很容易判断结论错误；对于，运用面面平行的传递性易得；
对于，通过平行平面的性质和线面垂直的性质即得；对于，借助于两平面的法向量的垂直关系可得．
解：
对于，如图，在长方体 中，设平面 为平面 ，平面 为平面 ，
平面 为平面 ，显然满足 ，但是平面 与平面 不平行，故A错误；
对于，根据面面平行的传递性，若 ，则 成立，故B正确；
对于，若 ，则 ，又 ，所以 ，故C正确；
对于，设直线 的方向向量分别为 ，若 ，
则平面 的一个法向量分别为 ，且 ，所以 ，故D正确．
故选A．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数和对数函数的图象，属于中档题．
根据二次函数的开口方向，对称轴及对数函数的增减性，逐个检验即可得出答案．
【解答】解：由对数函数且与二次函数可知，
当时，此时，对数函数为减函数，
而二次函数开口向下，且其对称轴为，故排除与；
当时，此时，对数函数为增函数，
而二次函数开口向上，且其对称轴为，故B错误，而符合题意．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可．
解：该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点 为原点，建立平面直角坐标系，
设与 分别为上，下底面对应点设双曲线的方程为 ，
因为双曲线的离心率为 ，所以 ．
又喉部中间最细处的直径为 ，所以 ，所以双曲线的方程为 ．
由题意可知 ，代入双曲线方程，得 ，
所以该塔筒的高为 ．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，然后可解．
解：由题意知，当圆柱底面直径和高刚好等于正方体的的体对角线时体积最小，
正方体的体对角线长为
所以，此时圆柱的底面半径为 ，高为 ，
所以该圆柱体积的最小值为 ．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】根据解析式画出 草图，将问题化为 的图象与直线 ， 共有个交点，数形结合有 的图象与直线 有个交点，即可求参数范围．
解：作出函数 的图象如图所示，
函数 ，且 有个零点，
等价于 有个解，即 或 共有个解，
等价于 的图象与直线 ， 共有个交点．
由图得 的图象与直线 在个交点，
所以 的图象与直线 有个交点，则直线 应位于直线 下方，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】依题意可分截距为和不为两种情形讨论即可求解．
解：当截距为时，
则过点 和原点，
所以的方程为 ，即 ；
当截距不为时，
由直线过在两坐标轴上的截距互为相反数，
则设的方程为 ，
又过点 ，得 ，解得 ，
所以的方程为 ．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】根据点在圆的内部解不等式 即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确．
解：对于，由点 在圆 的内部，得 ，解得 ，故 错误；
对于，若 ，则圆 ，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是 ，故B正确；
对于，圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ，
若圆 外切，则 ，即 ，解得 ，故C正确；
对于，当 的斜率不存在时， 的方程是 ，圆心 到 的距离 ，满足要求，
当 的斜率存在时，设 的方程为 ，
圆心 到 的距离 ，解得 ，
所以 的方程是 ，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】选项A、根据基本不等式即可判断，选项C、，由条件可知 ，代入选项后再根据基本不等式即可判断．
解：对于选项A，因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号．
由 ，得 ，即 ，解得 ，即 ，故A正确；
对于选项B，由题可得 ，当且仅当 时取等号．
所以有 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 ，故B错误；
对于选项C，由 ，得 ，得 ，解得 ．
，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，因为 ，所以等号不成立，故C错误；
对于选项D， ，
当且仅当 时，即 时等号成立又 ，所以等号不成立，故D错误．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】点差法的应用，以及点与椭圆位置关系的确定．
利用点差法确定 ， 关系 ，结合 ，有 求得离心率；根据椭圆过定点确定椭圆标准方程；由弦长公式求弦长；假设椭圆 上存在 ， 两点并设其中点坐标 利用点差法确定 ，验证 ，所以点 在椭圆 外，这与 是弦 的中点矛盾，所以椭圆 上不存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称．
解：设 ， ，则 ，即 ，
因为 ， 在椭圆 上，所以 ， ，两式相减，
得 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，又 ，
所以 ，离心率 ，故A正确；
因为椭圆 过点 ，所以 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ，故B错误；
若 ，则直线 的方程为 ，由 得 ，所以 ， ， ，故C正确；
若 ，则直线 的方程为 假设椭圆 上存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，设 ， ， 的中点为 ，所以 ， 因为 ， 关于直线 对称，所以 且点 在直线 上，即 又 ， 在椭圆 上，所以 ， 两式相减得 ，即 ，所以 ，即 ，联立 解得 即 又 ，所以点 在椭圆 外，这与 是弦 的中点矛盾，所以椭圆 上不存在 ， 两点，使得 ， 关于直线 对称，故D错误．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式、二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解．
解： ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】根据抛物线的定义 ，可知 的最小值为 进而可得．
解：
如图，抛物线 的焦点坐标为 ，
根据抛物线的定义 ，所以 ，
故当 ， ， 三点共线时， 取得最小值为 ，
，
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】以正方形 的中心 为原点建立平面直角坐标系，设以 轴非负半轴为始边， 为终边的角为 ，根据三角函数定义写出点的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标表示，结合余弦函数的有界性可得．
解：以正方形 的中心 为原点建立平面直角坐标系如图所示，
则点 ， ， ，
设以 轴非负半轴为始边， 为终边的角为 ，
易知外接圆的半径为 ，
所以点 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
即 的取值范围为 ．
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】解题的关键点是根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知 也在双曲线的渐近线上，利用 求解．
解：根据双曲线的几何性质和平行四边形的性质可知 也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，从而由可知 轴，设 ，又 在渐近线 上，可得 ，利用 ， 和离心率的取值范围可得答案围．
【详解】由双曲线的对称性可知 也在双曲线的渐近线上，且 在第二象限，
由 轴，可知 轴，所以可设 ，
又 在渐近线 上，所以 ，所以 ，
因为 的离心率的取值范围是 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
故答案为 ： ．
17.【答案】解：
，
所以函数 的最小正周期 ．
将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故 在 上的值域为 ．
【解析】【分析】将 化简为 的 形式即可求解；
整体思想求值域．
18.【答案】解：由已知可设圆心 ，则 ，解得 或 舍，
所以圆 的方程为 ．
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 或
【解析】【分析】根据直线与圆相切，根据点到直线距离公式求出圆心，再应用圆的标准方程即可
根据几何法求弦长，再结合面积公式计算即可．
19.【答案】解：以 为坐标原点 ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
则 ， ，
，
所以 到 的距离 ．
设平面 的一个法向量 ，则 ，即
令 ，解得 ， ，故 ．
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【解析】【分析】以 为坐标原点，建系，由向量法得出 到 的距离；
由向量法得出直线 与平面 所成角的正弦值．
20.【答案】解：在 中，由正弦定理及 ，得 ，
即 ，
又 ，
因此 ，
又 ，即有 ，于是 ，而 ，
所以 ．
因为 是 的内心，则 分别平分 ，
于是 ，
在 中，由余弦定理得 ，即 ，
过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，则 ，在直角 中， ，从而 ，
所以 ， ．
【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的 正弦化简作答．
利用三角形内心的性质求出 ，再利用余弦定理、三角形面积公式求解作答．
21.【答案】证明：因为 是正三角形， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，所以
如图，连接 ，
在直角梯形 中， ，
所以 ，
在平面 内过点 作 ，垂足为 ，则 ，
所以 ，所以 ，即 ．
又 平面 ，所以 平面 ．
取 的中点 ，连接 ，
在直角梯形 中， 分别为 的中点，则 ，
又 ，所以 ，
由知 平面 ，又 平面 ，则 ，
以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，所以平面 的一个法向量为 ．
设二面角 的平面角为 ，
所以 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
【解析】【分析】由面面垂直得线面垂直坐得线线垂直 ，在直角梯形中由勾股定理逆定理证明 ，即可证明线面垂直；
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
22.【答案】解：依题意，得 又 ，解得
所以椭圆方程为 ．
因为 ，所以 ，
又 为线段 的中点，所以 ，因此 ．
根据题意可知直线 的斜率一定存在，设 的方程为 ，
联立 消去 ，
得 ，
根据韦达定理可得 ，
因为 ，
所以
，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ．
又直线 不经过点 ，所以 舍去，
于是直线 的方程为 ，恒过定点 ，该点在椭圆 内，满足 ，
所以直线 恒过定点，定点坐标为 ．
【解析】【分析】根据题意，列出关于 的方程，代入计算，即可得到结果；
根据题意，设 的方程为 ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由
，代入计算，即可得到结果．
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