2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一上学期11月月考数学试题（含解析）

2023-2024学年河北省沧州市部分学校高一上学期11月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.下列表示同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
4.已知幂函数的图象过点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则( )
A. B. C. D.
7.若存在正实数，满足，且使不等式有解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列函数有最小值的是( )
A. B.
C. D.
10.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.若，则函数的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.已知函数，且，则
( )
A. 有两个零点 B. 不可能为偶函数
C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数则 ．
14.函数且的图象恒过定点是 ．
15.请写出“”的一个必要不充分条件： ．
16.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：
18.本小题分
已知集合，，
若，求实数取值范围
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
求函数的解析式；
讨论关于的方程的根的个数．
20.本小题分
已知是上的奇函数．
求的值
若不等式对恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这种新材料的含量单位：克的关系为：当时，是的指数函数当时，是的二次函数性能指标值越大，性能越好，测得数据如下表部分
单位：克
求关于的函数关系式
求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳．
22.本小题分
已知函数．
求的定义域，并证明的图象关于点对称；
若关于的方程有解，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合并集运算，属基础题目．
分别化简集合，，再利用并集运算求解即可．
【解答】
解：， ，
所以，
故选A．
2.【答案】
【解析】【分析】
考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，以及区间表示集合的方法，属于基础题．
要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．
【解答】
解：要使函数有意义，则；
解得；
的定义域为：．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
根据两个函数相同的两要素定义域和对应法则逐一判断即可．
【解答】
解：对于，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故A错误；
对于，的定义域为的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B错误；
对于，，
这两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，故是同一个函数，故C正确；
对于，与的定义域和对应法则都不同，不是同一个函数，故D错误．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．由题意，利用幂函数的定义和性质，求得函数的解析式．
【解答】解：设幂函数，根据它的图象过点，
则，，故，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数的单调性，考查运算求解能力，是基础题．
先求出，，利用对数函数的性质，可得，，进而得，即可比较．
【解答】
解：由题意可知，
，
，
所以，故．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二分法的应用，关键是掌握由二分法求函数零点的步骤，属于基础题．
根据题意，由二分法求函数零点的步骤，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，对于函数，
计算可得：，，
则其中一个零点，
第二次应计算，即的值．
所以．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查不等式有解及利用基本不等式求最值，属于中档题．
将不等式有解，转化为求，利用“”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案．
【解答】
解：不等式有解，
，
两个正实数满足，
，
当且仅当，即时取等号，
，
故，解得．
实数的取值范围是．
故选D．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图像与单调性，主要考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力．
根据函数图像与单调性分析求解即可．
【解答】
解：因为函数，
函数单调递增，
故函数大致图象如下：
由图可知：对于正数，
当时， 不成立，
故，
即对于任意恒成立，
即等价于恒成立，
设，，则，
即对于任意恒成立，
令，则当时取最大值，
，
则，
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值、对数函数的单调性与最值，属于一般题．
对、：利用基本不等式分析判断；对：结合分离常数法分析判断；对：先根据复合函数的单调性判断的单调性，再根据单调性求最值．
【解答】
解：对于：
，当且仅当，即时等号成立，故，A正确；
对于：
当时，则，当且仅当，即时等号成立；
当时，则，当且仅当，即时等号成立，故；
的值域为，无最小值，B错误；
对于：
的值域为，无最小值，C错误；
对于：
由题意可得的定义域为．
在定义域内单调递增，在定义域内单调递增，
在定义域内单调递增，
则，故有最小值，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查指数幂的运算，属于基础题．
解答本题的关键是知道指数幂运算的法则，根据此法则计算即可．
【解答】
解：对于，原式，A正确
对于，原式，B正确
对于，原式，C错误
对于，原式，D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查判断指数函数的图象，属于一般题．
分和两种情况讨论，结合对数函数单调性解，再根据指数函数单调性分析判断．
【解答】
解：由，可得：
当时，在定义域内单调递减，
，
此时，且在定义域内单调递减，成立，D错误；
当时，在定义域内单调递增，
，
此时，且在定义域内单调递增，A错误，成立．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数的单调性与最值、判断函数的奇偶性、函数零点的个数，属于一般题．
由函数可知，定义域为，故为非奇非偶函数，令，根据对数的运算法则可计算出方程的根，去绝对值，把函数写成分段函数，分类讨论求函数的单调区间．
【解答】
解：对于，令，则或，所以或有两个零点，A正确；
对于，的定义域为为非奇非偶函数，B正确；
对于，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，同理当时，的单调区间与时相同，C错误，D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求分段函数的函数值，是基础题．
先得出，再代入计算即可．
【解答】
解：，
．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了指数型函数恒过定点问题，是基础题．
令，结合即可求出定点的坐标．
【解答】
解：当，即时，为定值，此时，
故且的图象恒过定点．
15.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查了充要条件的判断，是基础题．
根据充要条件的判断可得结论．
【解答】
解：对于，两边平方可得，
即“”是“”的必要条件
对于，两边开平方可得
即“”不是“”的充分条件，
所以“”是“”的必要不充分条件．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查新定义的理解，属于中档题．
根据给定的欧拉函数定义分析计算即可．
【解答】
解：在中，的倍数共有个，
的倍数共有个，的倍数共有个，
所以．
17.【答案】解：原式．
原式．
【解析】直接利用指数幂的运算法则化简得解；
利用对数的运算法则化简得解．
本题考查实数指数幂以及对数运算，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：若 ，则 ，解得 ，
即实数 的取值范围
由题知， ， ，
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，
即 ，解得 ，
经检验，此范围内，两个集合并不相等，
故实数的取值范围是 ．

【解析】本题考查元素与集合的关系，以及充分不必要条件的应用，属于基础题．
将元素代入集合中的不等式中，解不等式求解即可．
根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．
19.【答案】解：由图可知，解得，
所以当时，，
设，则，
，
函数是定义在上的偶函数，
，
．
作出函数的图象如图所示：
易知，
方程的根的个数等价于与函数的图象交点的个数，
由图可知，当时，关于的方程的根的个数为，
当或时，关于的方程的根的个数为，
当时，关于的方程的根的个数为，
当时，关于的方程的根的个数为．
【解析】本题考查偶函数的性质，函数与方程之间的关系，解题中注意转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．
由图可知，解得，因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，求出当时，函数的解析式，即可求出函数在上的解析式．
作出函数的图象，得，问题可转化为与函数的图象交点的个数，结合图像可得答案．
20.【答案】解：是上的奇函数，
，可得，
经检验，此时为奇函数，满足题意．
．
，在上单调递增，
又为上的奇函数，
由，得，
，即恒成立，
当时，不等式为不可能对恒成立，故不合题意
当时，要满足题意，需解得．
实数的取值范围为
【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于一般题．
利用对恒成立即可求解，注意要检验
由知，求出单调性，将不等式转化为恒成立，然后利用二次函数的性质进行求解可得．
21.【答案】解：当时，是的指数函数，设且，
由数表知，满足指数函数解析式，于是得，
即当时，
易知时，．
当时，是的二次函数，设，
显然，，满足二次函数解析式，即
解得，，，
即当时，．
所以关于的函数关系式
当时，，则当时，取得最大值
当时，，则当时，取得最大值，而．
因此当时，取得最大值．
综上可知，当这种新材料的含量为克时，该产品的性能达到最佳．
【解析】本题考查了指数函数的概念、函数模型的应用，是中档题
由指数函数的概念可解得的值，再结合待定系数法可得二次函数解析式，故可得关于的函数关系式
分和讨论可求得答案
22.【答案】解：由题设可得，解得，故的定义域为，
而，
故的图象关于点对称．
法一：因为关于的方程，即有解，
故在上有解．
下面求在上有解时实数的取值范围．
因为与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上也是减函数，
所以时，的取值范围是．
令，解得．
因此，所求实数的取值范围是．
法二：，即，
因为有解，故在上有解，
整理得到在上有解，
设，显然，则，
解得．
故实数的取值范围为．

【解析】本题考查对数型函数的定义域、值域，函数零点、方程根的分布，属于较难题．
直接根据，即可得定义域，通过可得对称性；
法一、根据题意转化方程为在上有解，通过的单调性得其范围，进而得的取值范围；
法二、根据题意转化方程为在上有解，根据一元二次方程根的分布列出不等式组得出的范围．
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