24.4直线与圆的位置关系 沪科版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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24.4直线与圆的位置关系沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与相交于点若的半径为，点的坐标是则点的坐标是
( )
A. B. C. D.
3.的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是
( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
4.如图，为的直径，弦于点，直线切于点，延长交于点，若，，则的长度为
( )
A. B. C. D.
5.如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，切点为，若大圆的半径是，小圆的半径是，则的长为
( )
A. B. C. D.
6.
如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切，切点为，若大圆的半径是，小圆的半径是，则的长为
( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，是的直径，、是的两条弦，是过点的切线，且，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，以为直径的交于点，，连接若添加一个条件，使是的切线，则下列四个条件不符合的是( )
A. B.
C. D.
9.在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆上有且仅有两点到轴的距离为，则圆的半径的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在中，，，以为圆心作一个半径为的圆，下列结论中正确的是．( )
A. 点在内 B. 点在上
C. 直线与相切 D. 直线与相离
11.如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点若的半径为，则的长为
( )
A. B. C. D.
12.如图，是的直径，，分别切于点，，弦当的度数为时，则的度数为
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，直线，垂足为，点在直线上，，为直线上一动点，若以为半径的与直线相切，则的长为 ．
14.在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，若与坐标轴有三个公共点，则的半径为 ．
15.如图，分别与相切于，两点，且，若点是上异于点，的一点，则的大小为_____．
16.如图，已知直线，，都与相切，且，，，，的直径为，其中和都是有理数，则 ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，为的直径，点在上，直线与相切，切点为求证：．
18.本小题分
如图所示，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接，过点作于．
求证：；
求证：为的切线．
19.本小题分
如图，在中，，于点，点为上的一点，且，连接并延长交于点．
请补全图形；
写出与的数量关系和位置关系并证明．
20.本小题分
如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
直线与相切吗？并说明理由．
若，，求的长．
21.本小题分
如图，在中，为的直径，过点作射线，，点为弧的中点，连接，，点为弧上的一个动点不与，重合，连接，，，．
若，判断射线与的位置关系；
求证：．
22.本小题分
如图，点，，在圆上，是的直径，平分，与相交于点连接，与相交于点．
求的度数．
如图，过点作的切线，与的延长线相交于点，过点作，与相交于点若，，求的长．
23.本小题分
如图，已知是的外接圆，是的直径，是延长线的一点，交的延长线于，于，且．
求证：是的切线；
若，，求和的长．
24.本小题分
如图，是的直径，点在的延长线上，平分交于点，过点作，垂足为点．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径以及线段的长．
25.本小题分
如图，内接于，为优弧上的点，弦与相交于点，且，延长到点，使得．
求证：是的切线；
若是的中点，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：为的直径，弦于点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
直线切于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
根据垂径定理求得，，即可得到，则是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，进而即可求得．
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，
则轴，轴，
，
四边形是矩形，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
设与、轴相切的切点分别是、点，连接、、，延长与交于点，证明四边形为正方形，求得，再根据垂径定理求得，进而得、，便可得点坐标．
本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理，勾股定理，关键是求出的长度．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于圆心到直线的距离，则直线与的位置关系是相交．
【解答】
解：的半径为，圆心到直线的距离为，
直线与的位置关系是相交．
故选A．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得是解题的关键．
根据垂径定理求得，，即可得到，则是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到，得到是等腰直角三角形，进而即可求得．
【解答】
解：为的直径，弦于点，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
直线切于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．
连接、，如图，先根据切线的性质得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【解答】
解：连接、，如图，
为小圆的切线，
，
，
在中，，，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接、，如图，
为小圆的切线，
，
，
在中，，，
，
故选：
连接、，如图，先根据切线的性质得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．
7.【答案】
【解析】解：连接，，交于点，
是过点的切线，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
连接，，交于点，先利用切线的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】略
10.【答案】
【解析】解：过点作于，如图，
，
，
在中，，
，
点在外，所以选项不符合题意；
，
点在外，所以选项不符合题意；
，，
直线与相切，所以选项符合题意，选项不符合题意．
故选：
过点作于，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对选项和选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对选项和选项进行判断．
本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，若直线和相交；直线和相切；直线和相离也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接，
是的切线，
．
四边形 为菱形，
．
，
，
为等边三角形，
，
，
，
由勾股定理得，．
故选 C．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的性质，全等三角形的判定和性质以及四边形内角和定理．准确作出辅助线是解此题的关键．连接，，，，先证明，进一步求得的度数，根据切线性质和四边形的内角和得出，代入即可解决问题．
【解答】
解：连接，，，，如图
，，
，
，
，
≌，
，
的度数为，
，
，
，分别切于点，，
，，
，
，
，
．
故选：．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题这组要考查直线与圆的位置关系，掌握切线的性质以及分类讨论思想的运用是解题的关键．
根据题意画出图形，分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况分别求出即可．
【解答】
解：直线，为直线上一动点，
与直线相切时，切点为，
，
当点在点的左侧，与直线相切时，如图所示：
；
当点在点的右侧，与直线相切时，如图所示：
；
与直线相切时，的长为或，
故答案为：或．
14.【答案】或
【解析】点的坐标为，
点到轴的距离为，到轴的距离为，
当与轴相切时，与轴有个交点，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时；
当经过原点时，圆与坐标轴恰好有三个公共点，此时．
综上所述，的值为或．
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形的内角和，圆内接四边形，解答本题的关键是掌握利用切线的性质和圆周角定理求角的度数的思路与方法；首先由切线的性质求得，由四边形的内角和求得，然后根据点的位置分两种情况：点在优弧上，根据圆周角定理求出的度数；点在劣弧上，根据圆周角定理，圆内接四边形的性质进行解答，求出此时的度数；综合上述情况，即可求解．
【解答】
解：、切于点、，
，
，，
，
点是上异于点，的一点，
点的位置分两种情况：
点在优弧上，如图：
根据圆周角定理可得，；
点在劣弧上，在优弧上取点，连接、，如图：
根据圆周角定理可得，；
四边形是的内接四边形，
，
；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
16.【答案】
【解析】解：如图，设直线，，都与相切于点、点、点，则，，
在中，，，
，，
连接、，则，，
，，
四边形是正方形，
，
设，则，
，
，即，
，
，
直径为，
的直径为，即，
，
，
故答案为：．
根据切线的性质，切线长定理以及正方形的性质进行计算即可．
本题考查切线的性质，正方形的性质，掌握切线长定理以及正方形的性质是正确解答的前提
17.【答案】证明：直线与相切，
，
，
，
为的直径，
，
，
．
【解析】由切线的性质得出，则，由圆周角定理得出，则可得出结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
18.【答案】证明：是的直径，
．
又，
是的垂直平分线，
．
连接，
，，
是的中位线，
，
又，
，
是的切线．
【解析】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点．
根据线段垂直平分线的性质得；
要证为的切线，只要证明，连接，利用三角形中位线定理证明即可．
19.【答案】图见解析
， ，理由见解析

【解析】【分析】根据题设描述补全图形即可；
证明 得到 ， ，进而可证明 即可得出结论．
【详解】解：补全图形如图所示：
解： ， 理由：
于点 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、垂直定义，证明 是关键．
20.【答案】【小题】
直线与相切，理由如下：
连接，与相切于点，．
，，．
，，
．
又，，≌，
．
是的半径，直线与相切．
【小题】
设的半径为，
在中，，
，，，
．
由得≌，，
在中，，
，
，．

【解析】 见答案
见答案
21.【答案】解：与相切，理由如下：
为的直径，
，
，
，
，
，
直径，
为的切线．
证明：在上截取，连接，
点为弧的中点，，
，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，，
．
【解析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是通过作辅助线构造全等三角形．
由圆周角定理得到，因此，又，得到，于是直径，即可证明为的切线．
在上截取，连接，由圆心角、弧、弦的关系得到，又，即可证明≌，得到，由圆周角定理推出，于是得到，即可证明问题．
22.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
；
连接，如图：
是的直径，
，
设半径为，则，
，，，
在中，，
，
解得或舍去，
，，
是切线，
，
，
，
，
，
解得．
【解析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
23.【答案】解：证明：如图，连接
由题意知， ，
在 和 值








又 是半径
是 的切线．
解：




又

即
解得
，







解得 ，



的长为 ， 的长为．

【解析】略
24.【答案】证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
又，
，
是半径，
是的切线；
解：设，在中，由勾股定理得，，
即，
解得，即半径为
即，，
，，
，
，
．
【解析】本题考查切线的判定，勾股定理，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义是解决问题的关键．
根据等腰三角形的性质，角平分线的定义可得出，再根据，得出，进而得出结论；
利用勾股定理求出半径，进而得出，，再得出，进而得出，即可求解．
25.【答案】证明：连接，，与交与点，如图，
，
，
，
∽，
，
，
．
．
，
，
，
．
，
，
，
．
．
为的半径，
是的切线．
解：延长交于点，连接，，
是的直径，
，
．
，
．
，
．
．
，
∽．
．
．
是的中点，，
，
．
，
．
【解析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
连接，，与交与点，利用相似三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和垂径定理得到，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论；
通过延长交于点，连接、，可判断出∽，根据是的中点，，即可求出答案．
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