24.5 三角形的内切圆 沪科版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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24.5三角形的内切圆沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.三边长分别为、、的三角形的内切圆的半径长为( )
A. B. C. D.
2.如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若，则的度数是．( )
A. B. C. D.
3.如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，点为的内心，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
5.下列命题中正确的有( )
A. 长度相等的弧是等弧 B. 相等的圆心角所对的弦相等
C. 等边三角形的外心与内心重合 D. 任意三点可以确定一个圆
6.如图，点为的内心，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，，内切圆半径为，将绕点逆时针方向旋转得，连接交于点，则点到与点到的距离之比为( )
A. B. C. D.
8.如图，是的外接圆，是的内心，的延长线与圆相交于点，连接，，，则下列说法中错误的一项是( )
A. 线段绕点顺时针旋转一定能与线段重合
B. 线段绕点顺时针旋转一定能与线段重合
C. 绕点顺时针旋转一定能与重合
D. 线段绕点顺时针旋转一定能与线段重合
9.如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接，，，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
10.如图，是直角的内切圆，点，，为切点，点是上任意一点不与点，重合，则( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，内切于，切点分别为，，已知，，连接，，，，那么等于( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，点是的内心，也是的外心若，则的度数( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为、、，则内心的坐标为 ．
14.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形如图所示，若直角三角形的内切圆半径为，小正方形的面积为，则大正方形的面积为 ．
15.在九章算术卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何”其意思是：“今有直角三角形勾短直角边长为步，股长直角边长为步，问该直角三角形能容纳的圆内切圆的直径是多少步”根据题意，该内切圆的直径为 步
16.如图，在中，内切与边相切于点，，，，则的长是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，是的外接圆，点是的内心，的延长线交于点，交于点，连接，．
求证：；
若，，求的长．
18.本小题分
如图，是的内心，的延长线交的外接圆于点．
求证：；
求证：．
19.本小题分
已知：．
尺规作图：用直尺和圆规作出内切圆的圆心只保留作图痕迹，不写作法和证明
如果的周长为，内切圆的半径为，求的面积．
20.本小题分
如图，在中，，点、分别在、上，且，以为圆心，长为半径作圆，经过点，与、分别交于点、．
求证：是的切线．
若，，
求的半径；
若的内切圆圆心为，则______．
21.本小题分
如图，已知是的内心，连接，，若内切圆的半径为，的周长为，求的面积．
22.本小题分
如图，一个含有角的直角三角形内接于圆，点是上的点，，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
在图中作直角三角形的外心；
在图中作直角三角形的内心．
23.本小题分
如图，的内接四边形中，，是它的对角线，的中点是的内心．求证：
是的外接圆的切线；
．
24.本小题分
如图，是的内切圆，切点分别为、、，，．
求的度数．
求的度数．
25.本小题分
如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径和的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：三角形的三边长分别为、、，
，
三角形是直角三角形，
三角形的内切圆半径
故选：
先根据勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，然后利用直角边为、，斜边为的三角形的内切圆半径为进行计算即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住直角边为、，斜边为的三角形的内切圆半径为
2.【答案】
【解析】如图，连接、，
的内切圆与、、分别相切于点、、，．
，．
，
故选C．
3.【答案】
【解析】解：如图，设的内切圆切三边于点，，，连接，，，
四边形是正方形，
由切线长定理可知：，
是的切线，
，，
，，，
，
是的内切圆，
内切圆的半径，
，
，
的周长．
故选：．
设的内切圆切三边于点，，，连接，，，得四边形是正方形，由切线长定理可知：，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
4.【答案】
【解析】解：过点作于点．
点为的内心，，
，
，
则，
，
，，
，
的面积，
故选：．
过点作于点由点为的内心，，得，则，由，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】A.等弧必须是同圆或等圆中长度相等的弧，故本选项错误；在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；若一个三角形的外心与内心恰好重合，则这个三角形是等边三角形，故本选项正确；不在同一直线上的任意三点确定一个圆，故本选项错误．故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是三角形的内心，三角形内角和定理．根据三角形内角和定理得到，根据三角形的内心得到平分，平分，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：，
，
点为的内心，
平分，平分，
，
，
故选C．
7.【答案】
【解析】解：过点分别作，，边得垂线，垂足分别为，，，连接，如图，
内切圆，即点为的内心，亦即平分，
，，分别为，，于的切点，，
由切线长定理可知：，，
，
，
则，
，
，
四边形为正方形，
，
将绕点逆时针方向旋转得，
，
故：，，则，
，，
则点到与点到的距离之比为：．
故选：．
过点分别作，，边得垂线，垂足分别为，，，连接，如图，由内心和切线长定理可知，，，可得，进而可证四边形为正方形，由此得，由旋转可得，再利用含的直角三角形可得距离，进而求得比值．
本题考查三角形的内心，切线长定理，解直角三角形，利用切线长定理证明四边形为正方形是解决问题得关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
考查了三角形的内切圆和内心，圆的有关知识，旋转的性质，证明是本题的关键．
根据是的内心，得到平分，平分，由角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到．
【解答】
解：是的内心，
平分，平分，
，，
，
选项A，C正确
选项B正确
故选：．
9.【答案】
【解析】解：在中，，
，
点是的内心，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理可求，再根据三角形内心的定义可求，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求，再根据三角形内角和定理可求的度数．
本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到的度数．
10.【答案】
【解析】解：连接，，
是直角的内切圆，点，，为切点，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：．
连接，，由切线的性质易证四边形是矩形，则可得到的度数，由圆周角定理进而可求出的度数．
此题主要考查了圆周角定理以及切线的性质和四边形内角和定理等知识，得出是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，，，
，
内切于，切点分别为、、，
，
，
．
故选：．
根据三角形的内角和定理求出，根据多边形的内角和定理求出，根据圆周角定理求出即可．
本题考查了对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
点是的内心，，
，是，的平分线，
，，
，
点也是的外心，
，
则的度数为．
故选：．
连接，，根据点是的内心，，可得，再根据点也是的外心，和圆周角定理即可解决问题．
本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．
13.【答案】
【解析】解：如图：
所以内心的坐标为．
故答案为：．
本题考查了三角形的内切圆与内心、坐标与图形性质，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的内切圆的性质，正方形的性质及勾股定理的应用，同时也利用了完全平方公式和一元二次方程，综合性强，能力要求高．
设内切圆的圆心为，连接、，则四边形为正方形，然后利用内切圆和直角三角形的性质得到，，接着利用完全平方公式进行代数变形，最后解关于的一元二次方程解决问题．
【解答】
解：如图，设内切圆的圆心为，连接、，
则四边形为正方形，
，
，
，
，
，
而，
，
小正方形的面积为，
，
，
把代人中得
，
，
负值舍去，
大正方形的面积为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：根据勾股定理得：斜边，
其内切圆半径步
内切圆直径步，
故答案为：．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．
此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，解三元一次方程组的方法，根据切线长定理列方程是解题的关键．设，，，根据切线长定理列出方程，解方程组即可得到结论．
【解答】
解：设与相切于，与相切于，
是的内切圆，
设，，，
，，，
，
解得，
的长是，
故答案为：．
17.【答案】证明：点是的内心，
平分，平分，
，，
又与所对弧为，
．
，，
即，
故DB．
解：，，
∽，
，
，，设，
由可得，
则式化为，
解得：，不符题意，舍去，
则．
【解析】依据三角形内心的性质可得，，由圆周角定理的推论可得从而可证，根据等角对等边即可得结论；
由，，即可判定∽，所以，设，可化为，解得，从而可求的长．
本题考查了三角形内心的性质、圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键．
18.【答案】证明：点是的内心，
，
，
；
如图，连接，
点是的内心，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
【解析】根据圆周角定理和角平分线的定义即可得到结论；
要证明，只要求得即可．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键，有一定的难度．
19.【答案】解：如图，点即为所求；
由题意，的面积
【解析】作，的角平分线交于点，点即为所求；
的面积计算即可．
本题考查尺规作图作三角形的内切圆，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键掌握三角形的内心是角平分线的交点，属于中考常考题型．
20.【答案】，
，
，
∽，
，
，
点在上，
是的切线；
如图，过作于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
设的半径为，则，
，
，
在和中，
，，
∽，
，即，
，
的半径为；
．
【解析】证明：见答案；
见答案；
如图，过作于，过作于，
由得：，，
，
，
是的内心，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【分析】
证明∽，得，所以是的切线；
如图，作辅助线，构建矩形，设的半径为，表示和的长，证明∽，
列比例式代入可得结论；
如图，作辅助线，构建直角，分别求和的值，利用勾股定理可求的长．
本题考查了相似三角形的性质和判定、圆的切线的性质和判定、直角三角形内切圆的半径、切线长定理等知识，最后一问有难度，作辅助线，构建直角是关键，掌握直角三角形内切圆半径、是直角三角形的两直角边，为斜边．
21.【答案】解：设切点为，，，连接，，，
，
的周长为，
，
的面积为：．

【解析】设切点为，，，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果．
本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示．
22.【答案】解：如图中，点即为所求；
如图中，点即为所求．

【解析】连接，延长交于点，连接，延长交的延长线于点，连接，延长交与点，点即为所求；
同法作出点，连接，延长交于点，连接交与点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：，
，
．
同理，．
故点是的外心．
连接，，
是的中点，且，
，即．
是外接圆的切线．
由可得：
的中点是的内心，
，
又，
∽，
，
同理可得：
．
【解析】根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质，以及等角对等边即可证得是的外心，然后证得，即可证得是的外接圆的切线；
根据可以得到，，即可证得．
本题考查了圆的切线的证明，以及三角形的内心的计算，证得是的外心是关键．
24.【答案】解：是的内切圆，切点分别为、、，
，分别是和的角平分线，
，，
；
如图所示；连接，．
，，
．
是圆的切线，
．
同理．
．
．
．
【解析】由切线长定理可知，分别是和的角平分线，则和的度数可求出，进而可求出的度数；
连接，由三角形内角和定理可求得，由切线的性质可知：，，从而得到，故可求得由圆周角定理可求得．
本题主要考查的是切线的性质、切线长定理、三角形、四边形的内角和、圆周角定理，求得的度数是解题的关键．
25.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：如图，设的半径为，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半径为；
，，
∽，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【解析】连接，根据圆周角定理得，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，等边对等角及等量代换可得，根据切线的判定定理可得结论；
如图，设的半径为，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明∽，列比例式，设，则，根据勾股定理列方程可得的值，证明，列比例式可得结论．
本题考查的是切线的判定，平行线分线段成比例定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理是解题的关键，证明∽，确定和的关系是解题的关键．
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