24.7 弧长与扇形面积同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
24.7弧长与扇形面积沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，正方形的边长为，以为圆心，为直径的半圆经过点，连接，相交于点，将正方形从与重合的位置开始，绕着点逆时针旋转，交点运动的路径长是
( )
A. B. C. D.
2.圆锥的底面圆半径是，母线长是，它的侧面展开图的圆心角是( )
A. B. C. D.
3.如图，在半径为，圆心角为直角的扇形中，分别以，为直径作两个半圆，则图中阴影部分的面积为
( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，分别以点，为圆心，线段长的一半为半径作圆弧，交，，于点，，，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
5.如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱单位：电镀时，如果每平方米用锌千克，电镀个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？的值取．( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，把分别绕直线、和旋转一周，所得几何体的表面积分别记作、、，则表面积最大的是
．( )
A. B. C. D. 无法确定
7.如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，中，，，，则阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，，和分别为内接正三角形，正四边形和正边形的一边，已知的半径是，以下说法：的值是十二；；；的长为；其中正确的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.量角器圆心为点，直径，一把宽为的直尺的一边过点且与量角器交于、两点，如图所示，则的长为( )
A. B. C. D.
11.如图所示，长为，宽为的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚顺时针方向，木板上点位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成角，则点翻滚到位置时共走过的路径长为( )
A. B. C. D.
12.如图，点为的边上的一点，经过点且恰好与边相切于点，若，，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，该圆锥的母线长，则扇形的圆心角度数为_______．
14.如图，是圆锥底面的直径，，母线，点为的中点，若一只蚂蚁从点处出发，沿圆锥的侧面爬行到点处，则蚂蚁爬行的最短路程为______ ．
15.如图，在菱形中，对角线，交于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______结果保留
16.如图，以矩形的顶点为圆心，线段长为半径画弧，交边于点；再以顶点为圆心，线段长为半径画弧，交边于点，若，，则、和围成的阴影部分面积是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，是的外接圆，，，交的延长线于，交于．
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．
18.本小题分

如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
判断直线与的位置关系，并说明理由
若，，求图中阴影部分的面积．

19.本小题分
在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，，拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为
如图，若，则______．
如图，现考虑在中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域，使之变成落地为五边形的小屋，其他条件不变，则在的变化过程中，当取得最小值时，求边的长及的最小值．
20.本小题分
某种冰激凌的外包装可以视为圆锥如图，制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，，，垂足为点，扇形围成圆锥的侧面，、恰好重合．已知圆锥底面圆的直径为．
求圆锥母线的长；
求加工材料剩余部分图中阴影部分的面积．结果保留
21.本小题分
如图，已知是的直径，为上一点，为的中点，过作交的延长线于点，交的延长线于点．
Ⅰ求证：为的切线；
Ⅱ若，，求的长．
22.本小题分
如图，的半径为，、是圆上任意两点，且，以为边作正方形点、在直线两侧若边绕点旋转一周，求边扫过的面积．
23.本小题分
如图，是的直径，切于点，交于点已知的半径为，．
求的度数．
求的长．结果保留
24.本小题分
如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接、．
给出下列信息：；；与相切．
请在上述条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明你选择的条件是______ ，结论是______ 填写序号，只需写出你认为正确的一种情形．
在的条件下，若，求图中阴影部分的面积．
25.本小题分
如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰好落在的延长线上，连接．
求证：；
若，，求，两点旋转所经过的路径长之和．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轨迹、正方形的性质、旋转变换、圆的有关知识、弧长公式等知识，如图，连接，首先证明，推出点在与为圆心的圆上，点的运动轨迹是，在上取一点，连接、、、，则，推出，因为，所以，根据弧长公式计算即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接．
是正方形，
，
，
是直径，
，
，
，
点在以为圆心的圆上，点的运动轨迹是，
在上取一点，连接、、、，则，
，
，
，
，
，
运动的路径长，
故选A
2.【答案】
【解析】【分析】
此题考查的是圆锥的计算，熟练掌握圆锥与侧面展开图的扇形的关系是关键，先求出圆锥侧面展开图的弧长，再根据弧长公式计算圆心角即可．
【解答】
解：圆锥侧面展开图的弧长是：，
设侧面展开图的圆心角的度数是度．
则，
解得：．
3.【答案】
【解析】【分析】
【分析】
本题主要考查了扇形的面积计算公式、圆的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
解答此题，设两个半圆相交于点，，连接，由，可得扇形的面积等于分别以、为直径作两个半圆的面积的和，由对称性可得：平分，即可得出要求的阴影部分的面积．
【解答】
【解答】
解：设两个半圆相交于点，，连接，．
，
扇形的面积等于分别以、为直径作两个半圆的面积的和，
由对称性可得：平分，
要求的阴影部分的面积．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积公式，正确熟记扇形的面积公式是解此题的关键，题目比较好，难度适中．阴影部分的面积等于的面积减去空白处的面积即可得出答案．
【解答】
解：在中，，，
，，
为中点，
，
阴影部分的面积．
5.【答案】
【解析】由图形可知圆锥的底面圆的半径为，圆锥的高为，
则圆锥的母线长为．
圆锥的侧面积，
圆柱的高为，
圆柱的侧面积，
浮筒的表面积
每平方米用锌，
一个浮筒需用锌：，
个这样的锚标浮筒需用锌：．
故选A．
6.【答案】
【解析】，，，
．
绕直线旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为底面圆面积加圆锥侧面积，即；
绕直线旋转一周，所得几何体为圆锥，底面半径为，此圆锥的表面积为底面圆面积加圆锥侧面积，即；
绕直线旋转一周，所得几何体为两个共底面的圆锥，底面半径为，此几何体的表面积为两个圆锥侧面积之和，即故选A．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，根据旋转的性质得到，推出是等边三角形，得到，推出是等边三角形，得到，得到，在底角为的等腰中，求得，到的距离为，则图中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】
解：连接，，
将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，
，
是等边三角形，
，，
点在上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
又，
在底角为的等腰中，，到的距离为，
图中阴影部分的面积
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
作，
，
，
根据勾股定理得，
，
，，
，
故选：．
连接、，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为度，即可求出半径的长，利用三角形和扇形的面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理，勾股定理等，明确是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接、、，
是内接正四边形的一边，
，
，
因此正确；
，
，
是内接正三角形的一边，
，
，
，
，
因此不正确；
，
，
即是内接正边形的一边，
因此正确；
的长为，
因此正确；
综上所述，正确的结论有：，共个，
故选：．
根据正多边形和圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算公式逐项进行判断即可．
本题考查正多边形和圆，弧长的计算方法，掌握正多边形和圆的性质以及弧长公式是正确解答的前提．
10.【答案】
【解析】如图，过点作，垂足为，直尺的宽度为，．直径，半径，，，的长故选D．
11.【答案】
【解析】解：如图，连结，B.
由题意得，．
长方形木板长为，宽为，
由勾股定理可得．
点的路径长
．
本题考查的是弧长的计算根据图形的特征可得第一次翻滚时走过的路径长为圆心角为半径为长的弧长，第二次翻滚时走过的路径长为圆心角为半径为长的弧长，求其和即可得到答案．
12.【答案】
【解析】解：连接，
与相切于，
半径，
，
，
，
，
，，
，
的面积，扇形的面积，
阴影的面积的面积扇形的面积
故选：．
连接，由切线的性质得到，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质求出，由锐角的正切求出长，求出的面积，扇形的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查切线的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是掌握切线的性质，扇形面积公式，
13.【答案】
【解析】【分析】根据扇形的弧长公式解题．
【详解】圆锥的底面周长即是侧面展开图扇形的弧长，
，解得
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的圆心角，涉及扇形的弧长公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，底面圆的直径，
故底面周长等于，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，
解得，
所以展开图中，
因为半径，，
故三角形为等边三角形，
又为的中点，
所以，在直角三角形中，，，
根据勾股定理求得，
所以蚂蚁爬行的最短距离为．
故答案为：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是扇形面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键由菱形的性质可得，，，，，可证，是等边三角形，由等边三角形的性质可求，由扇形的面积公式与等边三角形的面积，运用面积的和差关系可求解．
【解答】
解：如图，设以点为圆心，长为半径画弧，分别与，相交于，，连接，，
四边形是菱形，，
，，，，，
是等边三角形，
，，
，
以点为圆心，长为半径画弧，
，
和是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接．
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，连接首先证明是等腰直角三角形，根据计算即可．
本题考查扇形的面积公式，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求阴影部分面积．
17.【答案】解：连接．
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
且，
，
即，
，
∽，
，
，
，
在中，
，
，
．
【解析】连接，根据平行线的性质得到，再根据圆周角定理得到，得到，由切线的判定即可得到结论；
根据等腰三角形的性质和已知条件证得，即可证得∽，根据相似三角形的性质求得，再根据勾股定理求得圆的半径，即可求得扇形的面积，根据面积的和差即可求得阴影部分的面积．
本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：与相切，
理由：连接，
，
，
，
，
在中，
，
，
即：，
，
又是半径，
与相切；
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积．

【解析】本题主要考查的是勾股定理，切线的判定，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质等有关知识．
根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则与相切；
根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
19.【答案】
【解析】解：如图，拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗可以活动的区域如图所示：
由图可知，小狗活动的区域面积为以为圆心、为半径的圆，以为圆心、为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的面积和，
，
故答案为：；
如图，
设，则，
，
当时，取得最小值，的最小值为，
．
小狗活动的区域面积为以为圆心、为半径的圆，以为圆心、为半径的圆和以为圆心、为半径的圆的面积和，据此列式求解可得；
此时小狗活动的区域面积为以为圆心、为半径的圆，以为圆心、为半径的圆、以为圆心、为半径的圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．
20.【答案】解：设圆锥母线长，
根据题意得，
，
答：圆锥母线的长为；
，，
，
又，
，
．
答：加工材料剩余部分的面积为．
【解析】本题考查的是弧长的计算，圆锥的计算，三角形的面积，扇形的面积有关知识．
利用弧长的公式计算；
先计算和扇形的面积，然后再利用计算．
21.【答案】解：Ⅰ证明：连接，．
为的中点，
．
，
，
．
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
Ⅱ四边形是的内接四边形，
，
又，
，
，
，
等边三角形，
，
又，
．
【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识点的综合运用，正确得出 等边三角形是解题关键．
Ⅰ连接，，只要证明即可．
Ⅱ根据已知结合圆内接四边形的性质得出，即可得出 等边三角形，再利用弧长公式计算得出答案．
22.【答案】连接、，过点作垂直于点，延长交于点，如图所示．
是上一弦，且，
．
在中，，，
．
四边形为正方形，
，．
又，，
，，．
在中，，，
．
若边绕点旋转一周，则边扫过的图形为以为内圆半径、以为外圆半径的圆环，
．

【解析】见答案
23.【答案】解：切于点，
，
，
；
连接，
，
，
的长为
【解析】根据切线的性质求出，根据三角形内角和定理求出即可；
根据圆周角定理求出，根据弧长公式求出即可．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
24.【答案】
【解析】解：若，，则与相切．
理由如下：连接，如图，
，
，
，
，
，
与相切；
故答案为：，答案不唯一；
过点作于点，如图，则，
在中，，
，，
在中，，
，
图中阴影部分的面积
．
选取为条件，作为结论，连接，如图，先利用等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据切线的判定定理可判断与相切；
过点作于点，如图，则，再利用含角的直角三角形三边的关系计算出，，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算即可．
本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、扇形的面积公式和含度角的直角三角形三边的关系．
25.【答案】证明：由题意，≌，且，
，
是等边三角形，
，
，
．
解：由题意，，，，
，两点旋转所经过的路径长之和．
【解析】只要证明即可，
由题意，，，，利用弧长公式计算即可．
本题考查轨迹，全等三角形的性质，等边三角形的判定，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)