26.3 用频率估计概率同步练习（含解析）

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26.3用频率估计概率沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列说法错误的是( )
A. 在“双减”政策下，某校为了解八年级名学生的睡眠时间，随机选择了该年级名学生进行调查，则样本容量是
B. “画一个正六边形，它的外角和是”属于必然事件
C. 调查江苏卫视大型科学竞技真人秀最强大脑节目的收视率，应采用全面调查
D. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是个
2.某事件发生的概率为，则下列说法不正确的是
( )
A. 无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右
B. 无数次实验中，该事件平均每次出现次
C. 每做次实验，该事件就发生次
D. 逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近
3.如图所示，一张纸片上有一个不规则的图案图中的小兔子，小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果，她将若干次有效试验的结果绘制成了图所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为( )
A. B. C. D.
4.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是
( )
A. 袋中装有大小和质地都相同的个红球和个黄球，从中随机取一个，取到红球
B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D. 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是或超过
5.随机抛掷一枚瓶盖次，经过统计得到“正面朝上”的次数为次，则可以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为
( )
A. B. C. D.
6.某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为( )
A. B. C. D.
7.下图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果．
下面有三个推断：
当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是
随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是
若再次用计算机模拟此试验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是其中合理的是( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示符合这一结果的实验可能是( )
A. 从一装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率．
B. 掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率．
C. 抛一枚硬币，出现正面的概率．
D. 任意写一个整数，它能被整除的概率．
9.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如下图所示．符合这一结果的试验可能是( )
A. 掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率
B. 抛一枚硬币，出现正面的概率
C. 任意写一个整数，它能被整除的概率
D. 从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率
10.掷一枚质地均匀的硬币．硬币落地后，会出现如图的两种情况．
图是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图下面判断正确的是( )
A. 当抛掷的次数为次时，正面朝上的次数大于次
B. 当抛掷的次数为次时，记录数据为，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为
C. 当抛掷的次数在次以上时，“正面朝上”的频率总在附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为
D. 当抛掷次数大于次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为
11.绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数
发芽的粒数
发芽的频率
下面有三个推断：
当时，绿豆发芽的频率为，所以绿豆发芽的概率是；
根据上表，估计绿豆发芽的概率是；
若为，估计绿豆发芽的粒数大约为粒．
其中推断合理的是 ( )
A. B. C. D.
12.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是( )
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃
C. 袋子中有个红球和个黄球，它们除颜色外都相同，从中任取一球是黄球
D. 掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数是偶数
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示：
抽取瓷砖数
合格品数
合格品频率
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是______精确到
14.在一个不透明的布袋中，装有红色、黑色、白色玻璃球共个，它们除颜色外都相同，每次充分摇匀的前提下，通过多次摸球试验发现，摸到红色、黑色球的频率分别稳定在和，则口袋中白色球的个数可能是______ 个
15.在一个不透明的盒子中装有个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其他都相同小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是______ ．
16.近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回．经过一段时间后观察发现，只种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地有 只种候鸟．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
上表中的
“摸到白球”的概率的估计值是 精确到
试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个
18.本小题分
在件同型号的产品中，件不合格品，件合格品在这件产品中加入件合格品后，随机抽取件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，共抽取产品次，其中抽到合格品次，请你估计的值．
19.本小题分
在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
按表格数据格式，表中的______；______；
请估计：当次数很大时，摸到白球的频率将会接近______精确到；
请推算：摸到红球的概率是______精确到；
试估算：这一个不透明的口袋中红球有______个．
20.本小题分
一个盒子里有标号分别为，，的三个小球，这些小球除标号数字外都相同，每次摸出一个小球，然后放回充分摇匀后再摸，在实验中得到下表中部分数据：
试验次数
出现号小球的频率
从上表中可以估计摸到“号小球”发生的概率是____精确到
甲、乙两人用这三个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若再次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．
21.本小题分
在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
表中的 ______ ；
从袋中随机摸出一个球，“摸到白球”的概率的估计值是______ 精确到；
如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的小球？
22.本小题分
在件同型号的产品、、中，为不合格产品，其余件为合格产品在这件产品中加入件合格品后，进行如下试验：随机抽取件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在，则可以推算出的值大约是多少？
23.本小题分
某校测量了九年级同学的身高单位：，根据测量数据绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
填空：样本容量为______，______．
把频数分布直方图补充完整；
随机抽取该校九年级的名学生，估计这名学生身高不低于的概率．
24.本小题分
某公司计划购买台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元，三年后如果备件多余，每个以元回收现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图频数分布直方图记表示台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买台机器的同时购买的易损零件数．
以台机器为样本，请利用画树状图或列表的方法估计不超过的概率；
以这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为决策依据，在与之中选其一，当为何值时，选比较划算？
25.本小题分
在一个不透明的口袋中装有除颜色外无其他差别的黑、白两种颜色的球共个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近________．
假如你去摸一次，你摸到白球的概率约是________，摸到黑球的概率约是________．
试估算，口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
解答了上面的问题，小明同学突然想到，过去一个悬而未决的问题有办法解答了．这个问题是：在一个不透明的口袋中装有若干个相同的白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数可以借助其他工具及用品？请你应用统计与概率的思想和方法解答这个问题，写出解答这个问题的主要步骤及估算方法．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、在“双减”政策下，某校为了解八年级名学生的睡眠时间，随机选择了该年级名学生进行调查，则样本容量是，正确，不符合题意；
B、“画一个正六边形，它的外角和是”属于必然事件，正确，不符合题意；
C、调查江苏卫视大型科学竞技真人秀最强大脑节目的收视率，应采用抽样调查，错误，符合题意；
D、在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是个，正确，不符合题意，
故选C．
利用统计与概率的有关知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了利用频率估计概率、全面调查与抽样调查及统计的有关知识，解题的关键是了解有关定义，难度不大．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用频率估计概率、概率的意义，解题的关键是了解某事件发生的概率为，不一定试验次就一定有一次发生，利用概率的意义和利用频率估计概率分别判断后即可得出答案．
【解答】
解：无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在左右，故正确，不符合题意；
B.无数次实验中，该事件平均每次出现次，故正确，不符合题意；
C.每做次试验，该事件不一定发生一次，故错误，符合题意；
D.逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和逐渐接近，故正确，不符合题意．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：根据题中折线统计图可得，小球落在不规则图案内的频率趋近于，
故小球落在不规则图案内的概率为，
估计此不规则图案的面积大约为，
故选：．
运用频率和概率之间的关系即可解答．
该题主要考查了频率和概率之间的关系，掌握频率和概率之间的关系是解答该题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、袋中装有大小和质地都相同的个红球和个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是或超过的概率为，符合题意．
故选D．
根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
本题考查利用频率估计概率，频率分布折线图．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用得到“反面朝上”的次数除以抛掷总次数即可．
【解答】
解：随机抛掷一枚瓶盖次，经过统计得到“正面朝上”的次数为次，
所以由此估计抛掷这枚瓶盖出现“反面朝上”的概率为 ．
6.【答案】
【解析】解：这种树苗成活的频率稳定在，则成活的概率估计值约是．
故选：．
本题考查了利用频率估计概率．由图可知，成活频率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为．
7.【答案】
【解析】【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：不合理，是“钉尖向上”的频率
易知合理
不合理．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．分析四个选项中的概率，为左右的符合条件．
【解答】
解：从一装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是；
B.掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率是；
C.抛一枚硬币，出现正面的概率；
D.任意写一个整数，它能被整除的概率，即为偶数的概率为．
由用频率去估计概率的统计图可知当试验次数到次时频率稳定在左右，故符合条件的只有．
故选A．
9.【答案】
【解析】见答案．
10.【答案】
【解析】解：、当抛掷的次数为次时，正面朝上的次数小于次，说法错误；
B、当抛掷的次数为次时，记录数据为，但不能说明随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为，说法错误；
C、当抛掷的次数在次以上时，“正面朝上”的频率总在附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为，说法正确；
D、当抛掷次数大于次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率不一定为，说法错误；
故选：．
根据概率的意义即可得出答案．
本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．
根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．
【解答】
解：当时，绿豆发芽的频率为，所以绿豆发芽的概率大约是，此时样本总量不足，无法确定绿豆发芽概率，此推断错误；
根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于，所以估计绿豆发芽的概率是，此推断正确；
若为，估计绿豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，正确求出各试验的概率是解题关键．利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案．
【解答】
解： 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意
B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽出一张的花色是红桃的概率为，不符合题意
C.袋子中有个红球和个黄球，它们除颜色外都相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合题意
D.掷一枚质地均匀的骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，符合题意．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：由合格品的频率都在上下波动，
所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是，
故答案为：．
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
14.【答案】
【解析】解：摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
摸到白球的频率为，
口袋中白色球的个数可能是个．
故答案为：．
先由频率之和为计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数计算即可．
此题考查利用频率估计概率．理解大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．同时也考查了概率公式的应用．
15.【答案】
【解析】解：设袋中有黄色乒乓球个，由题意得，
解得：．
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有黄色乒乓球个，列出方程求解即可．
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
16.【答案】
【解析】解：设该湿地约有只种候鸟，则，解得故答案为．
17.【答案】解：；
；白球：个，
黑球：个或个，
答：口袋中黑球有个，白球有个．
【解析】【分析】
本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定值附近左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
利用频率频数总次数即可得出的值；
根据统计数据，当很大时，“摸到白球”的概率的估计值是；
由可估计摸到白球的概率为，所以可估计口袋中白球的个数，然后可得黑球的个数．
【解答】
解：．
故答案为；
“摸到白球”的概率的估计值是．
故答案为；
见答案．
18.【答案】解：根据题意，可得，
解得：
经检验是分式方程的解，
的值为，
答：估计的值为．
【解析】根据频率概率的意义列方程解出即可．
本题考查频率概率的意义，解答中涉及分式方程的解法，能根据频率的意义列方程是解题的关键．
19.【答案】；；
；
；

【解析】【分析】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为．
根据频率频数样本总数分别求得、的值即可；
从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右；
摸到红球的概率为；
根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．
【解答】解：，；
故答案为；；
当次数很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为；
摸到红球的概率是；
故答案为；
设红球有个，根据题意得：，
解得：；
故答案为：．
20.【答案】解：；
列表如下：

共有种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶有种，
，，
，
这个游戏对甲、乙两人是不公平的．
【解析】【分析】
本题考查了游戏公平性，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，正确列出所有可能是解题关键．
用大量重复试验中事件发生的频率稳定到某个常数来表示该事件发生的概率即可；
画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的情况数以及两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】
解：大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到附近，
估计摸到“号小球”发生的概率是，
故答案为；
见答案．
21.【答案】
【解析】解：，
故答案为：；
“摸到白球的”的概率的估计值是；
故答案为：；
个．
答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球．
利用频率频数样本容量直接求解即可；
根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近；
根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其他颜色的球的个数．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
22.【答案】解：根据题意得，
解得，
经检验是分式方程的解，
所以的值大约是．
【解析】根据题意得，解之即可得出答案．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23.【答案】解：，
样本容量为：，
，即，
故答案为：，；
组的人数有：人，
补全统计图如下：
学生身高不低于的有：人，
所以这名学生身高不低于的概率为：．
【解析】本题考查了利用频数估计概率、用样本估计总体、频数分布直方图、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识．
根据组频数和在扇形图中的圆心角的度数求出样本容量，再用总人数减去其他身高的人数，求出组的人数，从而得出所占的百分比；
根据样本容量求出组频数即可补充直方图；
根据频率估计概率的方法即可求解．
24.【答案】解：如下图：
由题可知所有结果出现的可能性相同，所以不超过的概率为：；
由中树状图可得的可能取值为，，，，，，，且取各值时出现的次数如下表，
出现的次数
设为该公司购买易损零件所需的费用，
当时，则有
；
当时，则有
；
依题意得，解得，
当时，选比较划算．
【解析】先画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案；
设为该公司购买易损零件所需的费用，购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出时和时，与的函数关系式，再根据即可得到结果．
本题考查利用频率估计概率，频率分布直方图等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：当很大时，摸到白球的频率将会接近；
摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是；
估计白球有只，估计黑球有只；
把个黑球装入口袋中，将黑球、白球混合搅匀，做摸球试验，随机摸出一个球记下颜色，再放回口袋中，不断重复，可得到摸到黑球的频率，由于黑球有个，则设白球的数量为，得，解得．
【解析】见答案
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