24.1 旋转同步练习（含解析）
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24.1旋转 沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，以点为中心，把逆时针旋转，得到，若，则的度数为
( )
A. B. C. D.
2.平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，以为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为
( )
A. B. C. D.
4.如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转角度是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，把绕着点顺时针转，得到，若点恰好在边上，于点，则的大小是( )
A. B. C. D.
6.如图直角梯形中，，，，，将以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是( )
A. B. C. D. 不能确定
7.如图，在等边中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的周长的最小值是
( )
A. B. C. D.
8.如图，将绕其直角顶点按顺时针方向旋转后得到，连接，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线
10.如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
可以由绕点逆时针旋转得到；
点与的距离为；
；
；
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
11.如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是
( )
A. B. C. D.
12.如图，已知是正三角形，，，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在中，为直角顶点，，为斜边的中点，将绕着点逆时针旋转至，当恰为轴对称图形时，的值为______．
14.如图，平面内三点，，，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．
15.如图，已知中，，，，将绕顶点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为 ．
16.如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在等边中，点为边上的一动点，以点为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点作交的延长线于点，连接．
依题意补全图形；
用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
若点是线段的中点，连接，，线段与交于点，求的度数．
18.本小题分
如图，中，，，是内一点，连接，，以点为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接．
求证：；
连接，若，求的度数．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知．
画出与关于原点对称的；
以原点为中心，把逆时针旋转得到，画出
20.本小题分
如图，将射线按逆时针方向旋转，得到射线如果为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点在平面内的位置，并记作例如：在图中，如果，，那么点在平面内的位置记作．
如图，如果点在平面内的位置记作，那么的长为 ，的度数为 ．
如果点、在平面内的位置分别记作、，请画出示意图并求、两点之间的距离．
21.本小题分
如图，边长为的正方形中，是的中点，将绕点顺时针旋转得到，是上一点，且，连接．
求证：≌；
求点到的距离．
22.本小题分
如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上．
画出关于原点成中心对称的；
画出绕点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为 ；
若为轴上一点，求的最小值．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，将绕原点逆时针旋转后得到，其中、、分别与点、、对应．
画出旋转后的；
若轴上一点，满足的值最小，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标．
24.本小题分
已知：如图，在中，，，是边上任意一点，是边的中点，连接，，并将绕点逆时针旋转得到，连接．
求证：；
依题意补全图形；
用等式表示线段与的数量关系，并证明．
25.本小题分
如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，求证：
是的平分线；
．
若，，求正方形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查三角形的旋转变换，掌握旋转的性质即可得出结论．
【详解】解： 以点为中心逆时针旋转 得到 ，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：点关于中心对称的点的坐标为．
故选：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：由旋转的性质得：，，
；
故选：．
分析：由旋转的性质得出，，由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
到的旋转角度为：
故答案为：．
根据旋转的性质，将旋转到了的位置，再根据角度的关系即可求出旋转的度数．
本题考查了旋转的性质，求出一条边的旋转角度得出三角形的旋转角度是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
由旋转的性质得，，，则可求得，由，得，从而可求即可．
本题主要考查旋转的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是掌握旋转的性质．
【解答】
解：把绕着点顺时针转，得到，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明与全等，再根据全等三角形对应边相等可得的长，即的高，然后得出三角形的面积．
本题考查梯形的性质和旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：定点为旋转中心；旋转方向；旋转角度．
【解答】
解：如图所示，作交延长线于，作，
以为中心逆时针旋转至，
，，
又，
，
在与中，，
≌，
，
，，
，
，
的面积是：．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，作于，
是等边三角形，，
，．
在中，．
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长，
当最小，即时，的周长最小，
最小值．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：绕其直角顶点按顺时针方向旋转后得到，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：．
根据旋转的性质可得，，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了图形的旋转，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
证明，又，所以可以由绕点逆时针旋转得到，故结论符合题意；
由是等边三角形，可知结论符合题意；
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论符合题意；
，故结论不符合题意．
【解答】
解：如图，
由题意可知，，
，
又，，
，
又，
可以由绕点逆时针旋转得到，
故结论符合题意；
如图，连接，
，且，
是等边三角形，
．
故结论符合题意；
，
．
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，
是直角三角形，，
，
故结论符合题意；
，
故结论不符合题意；
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
根据旋转的性质得知，为旋转角等于，则可以利用三角形内角和度数为列出式子进行求解．
【解答】
解：将绕点逆时针旋转，
，，
，
，
，
，
，解得，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：是正三角形，
，
，
，
，
即旋转角是，
故选：．
根据等边三角形的性质求出，根据垂直求出，求出即可．
本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，能求出的度数是解此题的关键．
13.【答案】或或
【解析】解：恰为轴对称图形，
是等腰三角形，
如图，连接，
为斜边中点，，
，
，
当时，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
当时，如图，连接并延长交于，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
连接并延长交于，连接，
，为斜边中点，
，
垂直平分，
，
，
，
综上所述：当恰为轴对称图形时，的值为或或，
故答案为：或或．
如图，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图，连接并延长交于，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图，连接并延长交于，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到．
本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，将绕点顺时针旋转得到．
由旋转性质可知：，，，
是等腰直角三角形．
．
当的值最大时，的值最大．
．
的最大值为．
的最大值为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，根据旋转的性质，，，，由点是的中点，可求出、，因为，可求出，然后运用勾股定理求出．
【解答】
解：取的中点，连接，
根据旋转的性质可知，，，，
点是的中点，点是的中点，
，
，
，，
，，
，
，
根据勾股定理得．
16.【答案】或
【解析】解：由折叠得：，，
分三种情况：当时，
，
是的一个外角，
，
；
当时，
，
是的一个外角，
，
此种情况不成立；
当时，如图：
，
，
是的一个外角，
，
；
综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或，
故答案为：或．
根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换折叠问题，分三种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：如图，依题意补全图形
；
解：线段 ， 之间的数量关系是 ．
连接 ．
是等边三角形，
， ．
以 为中心线段 顺时针旋转 得到线段 ，
， ．
是等边三角形．
， ．
，
，
在 与 中，
．
．
解： ，
，
，点 ， ， 在一条直线上，
．
即 ．
， ，
，
．
又 为 的中点，
．
．
在 与 中，
．
．
设 与 交于点 ，
，
．
【解析】按题目要求补图即可；
连接 ，证明 是等边三角形，并结合等边 可得出 ， ， ，然后证明 即可少外出结论；
利用全等三角形的性质和角的和差可证 ，利用含 的直角三角形的性质以及线段中点的定义可得 ，然后证明 ，得出 ，即可求解．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含 的直角三角形的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
18.【答案】证明： 以点 为中心，把线段 顺时针旋转 ，得到线段 ，
， ，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接 ，
，
由得 ，
，
，
， ，
，
．
【解析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，推出 是解此题的关键．
由旋转的性质可得 ， ，从而得到 ，证明 ，即可得证；
由得 ，则 ，由等腰直角三角形的性质可得 ，即可得到答案．
19.【答案】解：
解：
【解析】本题考查了画中心对称图形，旋转作图：
根据中心对称的性质找到 、 、 的对称点 、 、 ，顺次连接得到；
根据旋转对称的性质找到 、 、 的对称点 、 、 ，顺次连接得到．
20.【答案】【小题】
【小题】
画出示意图如图所示．
点、在平面内的位置分别记作、，，，，在中，由勾股定理，得、两点之间的距离为．
【解析】 略
略
21.【答案】解：证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
点，点，点三点共线，
，．
，
，
即，
，
在和中，
，
≌；
由得：，
正方形的边长为，是的中点，
，
设，则，．
在中，，
解得，即，则，
设点到的距离是，根据三角形面积关系可得：
，
点到的距离是．
【解析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理求出的长是解题的关键．
首先证明点，点，点三点共线，再利用即可证明≌；
设，则，在中，利用勾股定理得出关于的方程，再通过等积法即可得出答案．
22.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，的坐标为．
故答案为：；
如图，点即为所求．
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
23.【答案】见详解
见详解，
【解析】【分析】分别作出点、、绕点逆时针旋转后得到的点，然后顺次连接，即可画出 ；
确定 关于 轴对称的点的坐标为 ，再连接 ，交点即为点，即可得出点的坐标．
【详解】如图：
即为所求；
确定 关于 轴对称的点的坐标为 ，再连接 ，交点即为点，连接 ，
点即为所求；
、 关于 轴对称，
，
要使 的值最小，即 、 、 在一条直线上，
结合网格图形可得： ．
【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质．
24.【答案】解：，，
，
是边的中点，
，
是等边三角形，
．
图形如图所示：
线段与之间的数量关系为．
理由：连接，．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
≌，
，
．
【解析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
证明是等边三角形即可．
根据要求作出图形即可．
证明≌，推出，再证明≌，可得结论．
25.【答案】证明：将绕点顺时针旋转后，得到，
，，，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
是的平分线；
由得≌，
，
由题意可得，
在中，
，
又，
；
由得：，
，
，
，
正方形的面积．
【解析】此题主要考查了正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出≌是解题关键．
直接利用旋转的性质得出≌，进而得出，即可得出答案；
利用中所求，再结合勾股定理得出答案．
由得：，可得，即可得出正方形的面积．
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24.1旋转 沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，以点为中心，把逆时针旋转，得到，若，则的度数为
( )
A. B. C. D.
2.平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，以为中心，将顺时针旋转得到，边，相交于点，若，则的度数为
( )
A. B. C. D.
4.如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转角度是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，把绕着点顺时针转，得到，若点恰好在边上，于点，则的大小是( )
A. B. C. D.
6.如图直角梯形中，，，，，将以为中心逆时针旋转至，连、，则的面积是( )
A. B. C. D. 不能确定
7.如图，在等边中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的周长的最小值是
( )
A. B. C. D.
8.如图，将绕其直角顶点按顺时针方向旋转后得到，连接，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 赵爽弦图 B. 科克曲线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线
10.如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
可以由绕点逆时针旋转得到；
点与的距离为；
；
；
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
11.如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是
( )
A. B. C. D.
12.如图，已知是正三角形，，，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，得到，则旋转的角度是
( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在中，为直角顶点，，为斜边的中点，将绕着点逆时针旋转至，当恰为轴对称图形时，的值为______．
14.如图，平面内三点，，，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是 ．
15.如图，已知中，，，，将绕顶点顺时针旋转得到，是中点，连接，则的长为 ．
16.如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，在等边中，点为边上的一动点，以点为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，过点作交的延长线于点，连接．
依题意补全图形；
用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
若点是线段的中点，连接，，线段与交于点，求的度数．
18.本小题分
如图，中，，，是内一点，连接，，以点为中心，把线段顺时针旋转，得到线段，连接．
求证：；
连接，若，求的度数．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知．
画出与关于原点对称的；
以原点为中心，把逆时针旋转得到，画出
20.本小题分
如图，将射线按逆时针方向旋转，得到射线如果为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点在平面内的位置，并记作例如：在图中，如果，，那么点在平面内的位置记作．
如图，如果点在平面内的位置记作，那么的长为 ，的度数为 ．
如果点、在平面内的位置分别记作、，请画出示意图并求、两点之间的距离．
21.本小题分
如图，边长为的正方形中，是的中点，将绕点顺时针旋转得到，是上一点，且，连接．
求证：≌；
求点到的距离．
22.本小题分
如图，在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上．
画出关于原点成中心对称的；
画出绕点顺时针旋转得到的，直接写出的坐标为 ；
若为轴上一点，求的最小值．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，的三个顶点为，，，将绕原点逆时针旋转后得到，其中、、分别与点、、对应．
画出旋转后的；
若轴上一点，满足的值最小，在图中画出点的位置，并直接写出点的坐标．
24.本小题分
已知：如图，在中，，，是边上任意一点，是边的中点，连接，，并将绕点逆时针旋转得到，连接．
求证：；
依题意补全图形；
用等式表示线段与的数量关系，并证明．
25.本小题分
如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，求证：
是的平分线；
．
若，，求正方形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查三角形的旋转变换，掌握旋转的性质即可得出结论．
【详解】解： 以点为中心逆时针旋转 得到 ，
，
，
，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：点关于中心对称的点的坐标为．
故选：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：由旋转的性质得：，，
；
故选：．
分析：由旋转的性质得出，，由三角形的外角性质即可得出答案．
本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
到的旋转角度为：
故答案为：．
根据旋转的性质，将旋转到了的位置，再根据角度的关系即可求出旋转的度数．
本题考查了旋转的性质，求出一条边的旋转角度得出三角形的旋转角度是解题的关键．
5.【答案】
【解析】【分析】
由旋转的性质得，，，则可求得，由，得，从而可求即可．
本题主要考查旋转的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是掌握旋转的性质．
【解答】
解：把绕着点顺时针转，得到，
，，，
，
，
，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明与全等，再根据全等三角形对应边相等可得的长，即的高，然后得出三角形的面积．
本题考查梯形的性质和旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：定点为旋转中心；旋转方向；旋转角度．
【解答】
解：如图所示，作交延长线于，作，
以为中心逆时针旋转至，
，，
又，
，
在与中，，
≌，
，
，，
，
，
的面积是：．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，作于，
是等边三角形，，
，．
在中，．
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长，
当最小，即时，的周长最小，
最小值．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：绕其直角顶点按顺时针方向旋转后得到，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故选：．
根据旋转的性质可得，，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，由外角的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了图形的旋转，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
证明，又，所以可以由绕点逆时针旋转得到，故结论符合题意；
由是等边三角形，可知结论符合题意；
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论符合题意；
，故结论不符合题意．
【解答】
解：如图，
由题意可知，，
，
又，，
，
又，
可以由绕点逆时针旋转得到，
故结论符合题意；
如图，连接，
，且，
是等边三角形，
．
故结论符合题意；
，
．
在中，三边长为，，，这是一组勾股数，
是直角三角形，，
，
故结论符合题意；
，
故结论不符合题意；
故选A．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．
根据旋转的性质得知，为旋转角等于，则可以利用三角形内角和度数为列出式子进行求解．
【解答】
解：将绕点逆时针旋转，
，，
，
，
，
，
，解得，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：是正三角形，
，
，
，
，
即旋转角是，
故选：．
根据等边三角形的性质求出，根据垂直求出，求出即可．
本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，能求出的度数是解此题的关键．
13.【答案】或或
【解析】解：恰为轴对称图形，
是等腰三角形，
如图，连接，
为斜边中点，，
，
，
当时，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
当时，如图，连接并延长交于，
，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
连接并延长交于，连接，
，为斜边中点，
，
垂直平分，
，
，
，
综上所述：当恰为轴对称图形时，的值为或或，
故答案为：或或．
如图，连接，根据直角三角形的判定和性质得到，当时，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，当时，如图，连接并延长交于，根据线段垂直平分线的性质得到垂直平分，求得，根据等腰三角形的性质得到，当时，如图，连接并延长交于，连接，推出垂直平分，得到，根据三角形的内角和得到．
本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图，将绕点顺时针旋转得到．
由旋转性质可知：，，，
是等腰直角三角形．
．
当的值最大时，的值最大．
．
的最大值为．
的最大值为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，根据旋转的性质，，，，由点是的中点，可求出、，因为，可求出，然后运用勾股定理求出．
【解答】
解：取的中点，连接，
根据旋转的性质可知，，，，
点是的中点，点是的中点，
，
，
，，
，，
，
，
根据勾股定理得．
16.【答案】或
【解析】解：由折叠得：，，
分三种情况：当时，
，
是的一个外角，
，
；
当时，
，
是的一个外角，
，
此种情况不成立；
当时，如图：
，
，
是的一个外角，
，
；
综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或，
故答案为：或．
根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换折叠问题，分三种情况讨论是解题的关键．
17.【答案】解：如图，依题意补全图形
；
解：线段 ， 之间的数量关系是 ．
连接 ．
是等边三角形，
， ．
以 为中心线段 顺时针旋转 得到线段 ，
， ．
是等边三角形．
， ．
，
，
在 与 中，
．
．
解： ，
，
，点 ， ， 在一条直线上，
．
即 ．
， ，
，
．
又 为 的中点，
．
．
在 与 中，
．
．
设 与 交于点 ，
，
．
【解析】按题目要求补图即可；
连接 ，证明 是等边三角形，并结合等边 可得出 ， ， ，然后证明 即可少外出结论；
利用全等三角形的性质和角的和差可证 ，利用含 的直角三角形的性质以及线段中点的定义可得 ，然后证明 ，得出 ，即可求解．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含 的直角三角形的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
18.【答案】证明： 以点 为中心，把线段 顺时针旋转 ，得到线段 ，
， ，
，
，
，
，
，
；
解：如图，连接 ，
，
由得 ，
，
，
， ，
，
．
【解析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，推出 是解此题的关键．
由旋转的性质可得 ， ，从而得到 ，证明 ，即可得证；
由得 ，则 ，由等腰直角三角形的性质可得 ，即可得到答案．
19.【答案】解：
解：
【解析】本题考查了画中心对称图形，旋转作图：
根据中心对称的性质找到 、 、 的对称点 、 、 ，顺次连接得到；
根据旋转对称的性质找到 、 、 的对称点 、 、 ，顺次连接得到．
20.【答案】【小题】
【小题】
画出示意图如图所示．
点、在平面内的位置分别记作、，，，，在中，由勾股定理，得、两点之间的距离为．
【解析】 略
略
21.【答案】解：证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
点，点，点三点共线，
，．
，
，
即，
，
在和中，
，
≌；
由得：，
正方形的边长为，是的中点，
，
设，则，．
在中，，
解得，即，则，
设点到的距离是，根据三角形面积关系可得：
，
点到的距离是．
【解析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理求出的长是解题的关键．
首先证明点，点，点三点共线，再利用即可证明≌；
设，则，在中，利用勾股定理得出关于的方程，再通过等积法即可得出答案．
22.【答案】
【解析】解：如图，即为所求；
如图，即为所求，的坐标为．
故答案为：；
如图，点即为所求．
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．
23.【答案】见详解
见详解，
【解析】【分析】分别作出点、、绕点逆时针旋转后得到的点，然后顺次连接，即可画出 ；
确定 关于 轴对称的点的坐标为 ，再连接 ，交点即为点，即可得出点的坐标．
【详解】如图：
即为所求；
确定 关于 轴对称的点的坐标为 ，再连接 ，交点即为点，连接 ，
点即为所求；
、 关于 轴对称，
，
要使 的值最小，即 、 、 在一条直线上，
结合网格图形可得： ．
【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质．
24.【答案】解：，，
，
是边的中点，
，
是等边三角形，
．
图形如图所示：
线段与之间的数量关系为．
理由：连接，．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
≌，
，
．
【解析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
证明是等边三角形即可．
根据要求作出图形即可．
证明≌，推出，再证明≌，可得结论．
25.【答案】证明：将绕点顺时针旋转后，得到，
，，，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
是的平分线；
由得≌，
，
由题意可得，
在中，
，
又，
；
由得：，
，
，
，
正方形的面积．
【解析】此题主要考查了正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出≌是解题关键．
直接利用旋转的性质得出≌，进而得出，即可得出答案；
利用中所求，再结合勾股定理得出答案．
由得：，可得，即可得出正方形的面积．
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