24.2 圆的基本性质同步练习（含解析）

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24.2圆的基本性质沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度弧所对的弦的长，拱高弧的中点到弦的距离米，则求拱桥的半径为( )
A. B. C. D.
2.往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为，则圆柱形容器的截面直径为．( )
A. B. C. D.
3.如图，是的直径，弦，垂足为，若，则的半径的长是
( )
A. B. C. D.
4.如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是．( )
A. 是的外心，不是的外心
B. 是的外心，不是的外心
C. 是的外心，不是的外心
D. 是的外心，不是的外心
5.如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、关于原点对称，则的最小值为．( )
A. B. C. D.
6.中，，，，以点为圆心，为半径的圆与、分别交于点、，则的长为
( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，弦，圆心到的距离，则的半径长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，是的直径，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
9.下列说法中，正确的是( )
A. 相等的圆心角所对的弦相等 B. 等弧所对的弦相等
C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 相等的弦所对的弧相等
10.已知的直径为，弧的度数为，点是弧的中点，点在直径上移动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
11.如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
12.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则的度数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，使点、、三点都在圆外，则的取值范围是 ．
14.如图，为的直径，弦，垂足为点，连接，若，，则 ．
15.已知的半径为，弦，弦，则 ______ ．
16.如图，已知是半圆的直径，弦，，，则与之间的距离是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，是的弦，为的中点，的延长线与交于点，若，，求的半径．
18.本小题分
如图，是直径，是的一条弦，且于点，连接、和．
求证：；
若，，求的半径．
19.本小题分
如图，在内有折线，其中，，，求的长．
20.本小题分
如图，，分别是的弦，的中点，．
求证：．
21.本小题分
如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
若，则弧的度数为____．
若，，求的长．
22.本小题分
如图所示，已知是以为圆心，为直径的半圆上任一点，是弧的中点，于点，求证：．
23.本小题分
如图，在中，弦与相交于点，连结、，且求证：．
24.本小题分
如图，为的半径，弦于点．
若，．
求的半径长；
过点引的弦不与弦重合，该弦的长度为，则整数的值可以是_______．
若恰好为中点，试求此时与的数量关系．
25.本小题分
如图，在中，，，点从点向点运动，速度为，点从点向点运动，速度为，过作，交边于点、同时出发，运动时间为，当其中一个动点到达终点时，运动随之停止．
当时，_______；若平分的周长，则_________；
当为何值时，四边形的面积为；
是否存在某一时刻，使得点恰好在的外接圆上，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．用表示桥拱，的圆心为，半径为，经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点根据垂径定理和勾股定理列出，求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，用表示桥拱，的圆心为，经过圆心作弦的垂线，为垂足，与相交于点．
设半径为，
根据垂径定理得，是的中点，是的中点，就是拱高．
，，，
在中，由勾股定理得，
即：
解得．
拱桥的半径为．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意构造出直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．
由题意得，于，，再求出，设半径为，则，在中利用勾股定理求出，进而可得出答案．
【解答】
解：如图所示：
由题意得，于，，
，
，
设半径为，则，
在中，
，解得，
所以，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
设圆的半径为，则，根据垂径定理得，然后在中用勾股定理列出方程即可得解．
【解答】
解：连接，
设圆的半径为，
，
，
，，
，
在直角三角形中，，
即，
即，
解得．
4.【答案】
【解析】 如图，连接、、，
为锐角三角形的外心，
，
四边形为正方形，
，
．
，即是的外心，
，即不是的外心，
，即不是的外心，
，即是的外心，
，即是的外心，
，即不是的外心，
，即不是的外心．
故选 D．
5.【答案】
【解析】解：连接，
，
．
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值．
如图，连接，交于点，当点位于处时，取得最小值，
过点作轴于点，则，，
．
，
，
的最小值．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理，勾股定理，三角形的面积的有关知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．在中，由勾股定理可直接求得的长；过作，交于点，由垂径定理可得为的中点；在中，根据勾股定理得的长，从而得到的长．
【解答】
解：在中，
，，
，
过作，交于点，如图所示，
由垂径定理可得为的中点，
，且，，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，，
，，
在中，，
即的半径长为．
故选：．
由于，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．可求得，继而可求得的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求的度数．
【解答】
解：，，
，
．
又，
，
．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系．
根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
【解答】
解：错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；
B.正确；
C.错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
D.错误．弦所对的弧有两个，即使在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也不一定相等．
故选B．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、轴对称最短路线问题，正确找出点的位置是解题的关键，根据翻折的性质得到，，得到当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为，根据正弦的定义计算即可．
【解答】解：过点关于的对称点，连接交于点，延长交圆于点，连接．
点与点关于对称，
，，
当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为．
点是的中点，
．
．
．
故选：．
11.【答案】
【解析】如图，连接，，，，，，，在中，，，四边形的面积故选A．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形内角和，垂直平分线，三角形外心的知识，运用三角形内角和，垂直平分线，三角形外心的知识即可．
【解答】
连接、，
，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，，
，
是的垂直平分线，为的平分线，
点是的外心，，，
将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，
，，
在中，，
故选C．
13.【答案】
【解析】在直角 中， ， ，则 ．
点 、 、 三点都在圆外，
．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】或
【解析】解：分为两种情况：
当圆心在的内部时，如图，
过作于，于，连接，
、都过，弦，弦，
，，
，，
，，
，
；
当圆心在的内部时，如图，
过作于，于，连接，
此时，
所以；
故答案为：或．
分为两种情况，画出图形，根据垂径定理求出和，解直角三角形求出和，求出，再根据圆周角定理求出即可．
本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：连接，如图，设的半径为，则，，
点是弦的中点，半径与相交于点，
，
，
在中，，
，
解得，
答：的半径长为

【解析】连接，如图，设的半径为，则，，利用垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
18.【答案】见解析

【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等，得到 ，再根据等腰三角形的性质，得到 ；
设半径为 ，则 ，根据垂径定理可得 ，在 中，利用勾股定理列方程，即可解答．
【详解】证明： ，
，
，
；
解： 是 直径， ，
，
设半径为 ，则 ，
在 中，可得 ，
可得方程 ，
解得 ，
的半径为．
【点睛】本题考查了垂径定理，在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等，勾股定理，熟练利用勾股定理列方程是解题的关键．
19.【答案】解：延长交于点，过点作于点因为，所以为等边三角形，所以，，所以因为，，所以，所以，所以，所以．
【解析】见答案
20.【答案】证明：连，，如图，
，分别为，的中点，
，，
，
，
，
，
．

【解析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了垂径定理的推论和等腰三角形的性质．连接，，根据垂径定理的推论得到，，即，又，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到，进而得到弦心距，所以，于是．
21.【答案】解：；
如图，作于．
在中，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】
本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
连接，利用三角形的内角和定理求出，再利用等腰三角形的性质求出即可．
作于，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，利用垂径定理即可解决问题．
【解答】
解：连接．
，，
，
，
，
，
弧的度数为，
故答案为．
见答案．
22.【答案】证明：连接，交于点，
是弧的中点，为圆心，
垂径定理，
，
于点，
，
在与中，
，
≌，
，
．
【解析】连接，交于点，只要证明≌，推出，再根据垂径定理即可解决问题；
本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，，
，
即．
【解析】根据圆周角定理可得，利用定理可证明两三角形全等，进而解答．
本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆周角相等，全等三角形的对应边相等．
24.【答案】解：如图
连接
设的半径为，
则，，
弦于点．
，
，
，
，
即的半径长是；
；
恰好为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】
本题考查垂径定理，勾股定理．
连接，设的半径为，则，，利用勾股定理即可得解；
先求得的取值范围，即可得解；
根据是中点得，再利用勾股定理，得，又，即可得解．
【解答】
解：见答案；
弦于点．
是过点的最短的弦，最长的弦是直径等于，
整数的值可以是；
见答案．
25.【答案】解：；
；
，
四边形为梯形，且，
在中，，，
，
，
梯形的面积，
解得：或，
又，
当时，，停止运动，而，故舍去，
；
存在，的值为理由如下：
若点恰好在的外接圆上，则，
又，
四边形为矩形，
，即，
．
【解析】【分析】
本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理．
利用勾股定理求解即可；先求出，进而确定的周长，根据题意，列方程求解即可；
先判断四边形为梯形，再根据梯形的面积列方程求解即可；
根据题意可知，进而可以判断四边形为矩形，于是，即，即可求解．
【解答】
解：由题意可知：，，
，，
当时，，，
又，
；
，，
，
的周长，
平分的周长，
，
；
见答案．
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