24.3 圆周角同步练习（含解析）
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24.3圆周角沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在中，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，与轴交于点，，与轴的正半轴交于点若，则点的纵坐标为
( )
A. B. C. D.
3.若圆的一条弦把圆分成度数的比为：的两条弧，则弦所对的圆周角等于( )
A. B. C. D. 或
4.如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：；；平分；；；≌，其中一定成立的是
( )
A. B. C. D.
5.如图，的顶点在量角器外圈的刻度处时，点，所在位置对应的刻度分别为外圈和，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图，点，，，，都是上的点，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，中，半径弦于点，点在上，，，则半径等于( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形内接于，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是( )
A. B. C. D. 平分
10.如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是
．( )
A. B. C. D.
11.如图，为的直径，为上一点，弦平分，交于点，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
12.如图，已知，是的半径，、、是的弦，连接，若，则度数为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是______ ．
15.如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：；垂直平分；；所有正确结论的序号是 ．
16.如图，，，，是上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空保留作图痕迹．
步骤 作法 推断
第一步 在上任取一点，以点为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点，点，连接 ，理由是
第二步 过点作的垂线，交于点，交于点 ，
第三步 作射线 射线平分
射线为所求作．
18.本小题分
如图，是的直径，弦于点，且，点在上，经过圆心，连接．
若，求的半径；
若，求线段的长．
19.本小题分
如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
求证：点为的中点；
若，，求的长；
若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
20.本小题分
如图，中，，以为直径的交于，交于．
求证：；
若，求和的度数．
21.本小题分
如图，四边形内接于，是直径，为的中点，延长，交于，连结．
求证：；
当，时，求线段的长．
22.本小题分
在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________；
操作实践：如图，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且不写作法，保留作图痕迹；
迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围．
23.本小题分
如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结．
求证：∽．
当为等腰三角形时，求的长．
当时，求：的值．
24.本小题分
如图，在中，弦，相交于点，．
求证；
连接，若，则的度数为______
25.本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．
求证：；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据圆周角定理可得出的度数，再由，可求出的度数
本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：如图所示，连接、，
，，
，
都是半径，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，，过作于，轴于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，利用勾股定理得到，，根据勾股定理得到，求出，即可求解．
【解答】
解：连接，，，过作于，轴于，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，轴，，
四边形是矩形，
，，
，
，
点的纵坐标为，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．
圆的一条弦把圆分成度数之比为：的两条弧，则所分的劣弧的度数是，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于．
【解答】
解：如图，弦将分成了度数比为：两条弧．
连接、；则；
当所求的圆周角顶点位于点时，
这条弦所对的圆周角；
当所求的圆周角顶点位于点时，
这条弦所对的圆周角．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：因为是的直径，是上的点，
所以，故正确；
因为，，
当时，，
故错误；
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以平分，故正确；
因为，是中点，
所以是的中位线，则，
因此是中点，
所以，正确；
因为和中，没有相等的边，
所以与不全等，
故错误．
故选D．
本题考查圆周角定理及其推论，以及三角形的中位线定理．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．
连接、，根据角之间的数量关系，得出，再根据同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，即可得出答案．
【解答】
解：如图，连接、，
点，所在位置对应的刻度分别为外圈和，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
，
点、、、都是上的点，
，
故选：．
连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确得出是等腰直角三角形是解题关键．直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出是等腰直角三角形，进而得出答案．
【解答】
解：半径弦于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
则半径等于：．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
9.【答案】
【解析】解：为直径，
，
四边形为平行四边形，
，，
，所以选项正确；
由垂径定理得到
根据三角形的中位线得到，选项B正确；
，所以选项的结论错误；
，，
平分，所以选项的结论正确．
故选：．
利用圆周角定理得到，再根据平行四边形的性质得到，，利用，可对选项进行判断；利用垂径可判断为的中位线，则，可对选项进行判断；同时得到，则可对选项进行判断．
此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．
10.【答案】
【解析】【分析】由 为 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得 ，又由 ，得出 的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得 的度数．
【详解】解： 为 的直径，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．掌握圆周角定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，圆心角，弦，弧有关知识，连接、，由勾股定理先求出的长，再利用∽，得出，可解得的长，由求解即可得出答案．
解：如图，连接、，
，
为的直径，
，
，
弦平分，
，
，
，
在和中，
∽，
，即，
解得，
．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：，
，
和都对，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求的度数，再利用圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，利用直角三角形的两个锐角互余即可解答．
【解答】
解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题意圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心，则有，
解得，
圆心，
故答案为：
由题意圆心在线段的垂直平分线上，设圆心，根据半径相等构建方程求解即可．
本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】【分析】根据平行线的性质，等边对等角，得出 ，即可得出 ，进而根据 得出 ，即可判断，根据 不一定相等即可判断，根据圆周角定理，即可判断．
【详解】解：
又 ，则
，故正确；
连接 ， ，
，
，
又 ，则 ，
又
垂直平分 ，故正确；
当且仅当 时， ，故错误，
，故正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
连接，求出，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】
解：连接．
，
，
，
，，
，
故答案为．
17.【答案】解：补全的图形如图所示．
；
直径所对的圆周角是直角；
【解析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论
18.【答案】解：设的半径长为，
则，，
是的直径，弦于点，且，
，
，
即，
解得，，
即的半径是；
连接，
，，
，
是的直径，弦于点，且，
，，
≌，
，
设的半径长为，
则，
解得，或舍去，
．
【解析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；
根据三角形全等、勾股定理可以求得线段的长．
19.【答案】是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点；
解：，
，
而，
为的中位线，
，
；
解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，如图，
则，
在中，，
，
，
的最小值为．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；
证明为的中位线得到，然后计算即可；
作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
20.【答案】证明：连接．
是的直径，，
，
又，；
解：，，
，
是的直径，．
，．
，
四边形内接于，
．
又，
．
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，
连接，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
根据，求出，即可，证明即可．
21.【答案】证明：为的中点，
，
，
是直径，
，
，，
，
；
解：连接．
是直径，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【解析】主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
先根据圆周角定理的推论证明，再利用等角对等边证明即可．
利用勾股定理分别求出，，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
22.【答案】解：；
如图所示：点即为所求；
作的外接圆，
，，
当时，是直径最长，
，
，
，
当时，是等边三角形，
，
，
长的取值范围是．
【解析】【分析】
本题考查圆综合题、圆周角定理、作图一复杂作图、勾股定理、等边三角形的判定和性质，含度角是直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，
连接、，只要证明是等边三角形即可．
如图中，作的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作圆，交垂直平分线于点，则点
为所求．
作的外接圆，分两种情况讨论：当时，是直径最长；当时，是等边三角形即可解答．
【解答】
解：连接、，
，，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：。
见答案；
见答案．
23.【答案】解：，
，
，
∽．
∽，
，
当为等腰三角形时，分三种情况：
当时，由得．
连结，则，
根据等腰三角形三线合一得；
当时，由，得，
，
，
；
当时，由，得，
连结，
，
由等腰三角形三线合一得，
．
，
∽，
，
，
，
．
综上可得，当为等腰三角形时，长为或或．
∽，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形，圆周角定理等，熟练运用相应知识是关键．
根据平行线的性质及圆周定理证明两个角相等，即可证明两个三角形相似；
根据相似三角形的性质及等腰三角形的性质分类讨论解答即可；
首先证明是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质求得，及长，再证明∽，得到，求得长，最后求得答案．
24.【答案】
【解析】证明：，
，
，
；
连接，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；
根据圆周角定理得出，根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
25.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
；
解：连接，
，
，
，
而，
∽，
，即，
，
．
【解析】根据等腰三角形的三线合一即可解决问题；
只要证明∽，可得，由此即可解决问题．
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会填空常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
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24.3圆周角沪科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在中，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，与轴交于点，，与轴的正半轴交于点若，则点的纵坐标为
( )
A. B. C. D.
3.若圆的一条弦把圆分成度数的比为：的两条弧，则弦所对的圆周角等于( )
A. B. C. D. 或
4.如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：；；平分；；；≌，其中一定成立的是
( )
A. B. C. D.
5.如图，的顶点在量角器外圈的刻度处时，点，所在位置对应的刻度分别为外圈和，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图，点，，，，都是上的点，，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，中，半径弦于点，点在上，，，则半径等于( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，四边形内接于，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是( )
A. B. C. D. 平分
10.如图，是的直径，点，都是上的点，若，则的度数是
．( )
A. B. C. D.
11.如图，为的直径，为上一点，弦平分，交于点，，，则的长为
( )
A. B. C. D.
12.如图，已知，是的半径，、、是的弦，连接，若，则度数为( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，是的直径，弦交于点，连接，若，则 ．
14.如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过，，三点，则该圆的圆心的坐标是______ ．
15.如图，是直径，、是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：；垂直平分；；所有正确结论的序号是 ．
16.如图，，，，是上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空保留作图痕迹．
步骤 作法 推断
第一步 在上任取一点，以点为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点，点，连接 ，理由是
第二步 过点作的垂线，交于点，交于点 ，
第三步 作射线 射线平分
射线为所求作．
18.本小题分
如图，是的直径，弦于点，且，点在上，经过圆心，连接．
若，求的半径；
若，求线段的长．
19.本小题分
如图，是的直径，点、是上的点，且，分别与、相交于点、．
求证：点为的中点；
若，，求的长；
若的半径为，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
20.本小题分
如图，中，，以为直径的交于，交于．
求证：；
若，求和的度数．
21.本小题分
如图，四边形内接于，是直径，为的中点，延长，交于，连结．
求证：；
当，时，求线段的长．
22.本小题分
在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．
问题情境：如图，在中，，，则的外接圆的半径为________；
操作实践：如图，用无刻度直尺与圆规在矩形的内部作出一点，使得，且不写作法，保留作图痕迹；
迁移应用：已知，在中，，，，求的取值范围．
23.本小题分
如图，在中，直径，弦，点在的延长线上，线段交于点，过点作分别交，于点，，连结．
求证：∽．
当为等腰三角形时，求的长．
当时，求：的值．
24.本小题分
如图，在中，弦，相交于点，．
求证；
连接，若，则的度数为______
25.本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，交于点．
求证：；
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
根据圆周角定理可得出的度数，再由，可求出的度数
本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：如图所示，连接、，
，，
，
都是半径，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
连接，，，过作于，轴于，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，由垂径定理得到，利用勾股定理得到，，根据勾股定理得到，求出，即可求解．
【解答】
解：连接，，，过作于，轴于，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，轴，，
四边形是矩形，
，，
，
，
点的纵坐标为，
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．
圆的一条弦把圆分成度数之比为：的两条弧，则所分的劣弧的度数是，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于．
【解答】
解：如图，弦将分成了度数比为：两条弧．
连接、；则；
当所求的圆周角顶点位于点时，
这条弦所对的圆周角；
当所求的圆周角顶点位于点时，
这条弦所对的圆周角．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：因为是的直径，是上的点，
所以，故正确；
因为，，
当时，，
故错误；
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以平分，故正确；
因为，是中点，
所以是的中位线，则，
因此是中点，
所以，正确；
因为和中，没有相等的边，
所以与不全等，
故错误．
故选D．
本题考查圆周角定理及其推论，以及三角形的中位线定理．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．
连接、，根据角之间的数量关系，得出，再根据同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，即可得出答案．
【解答】
解：如图，连接、，
点，所在位置对应的刻度分别为外圈和，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接、，
点、、、都是上的点，
，
，
，
，
点、、、都是上的点，
，
故选：．
连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据圆内接四边形的性质计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确得出是等腰直角三角形是解题关键．直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出是等腰直角三角形，进而得出答案．
【解答】
解：半径弦于点，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
则半径等于：．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
先利用圆内接四边形的对角互补计算出的度数，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．
9.【答案】
【解析】解：为直径，
，
四边形为平行四边形，
，，
，所以选项正确；
由垂径定理得到
根据三角形的中位线得到，选项B正确；
，所以选项的结论错误；
，，
平分，所以选项的结论正确．
故选：．
利用圆周角定理得到，再根据平行四边形的性质得到，，利用，可对选项进行判断；利用垂径可判断为的中位线，则，可对选项进行判断；同时得到，则可对选项进行判断．
此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．
10.【答案】
【解析】【分析】由 为 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得 ，又由 ，得出 的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得 的度数．
【详解】解： 为 的直径，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．掌握圆周角定理是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，圆心角，弦，弧有关知识，连接、，由勾股定理先求出的长，再利用∽，得出，可解得的长，由求解即可得出答案．
解：如图，连接、，
，
为的直径，
，
，
弦平分，
，
，
，
在和中，
∽，
，即，
解得，
．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：，
，
和都对，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求的度数，再利用圆周角定理求解即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，利用直角三角形的两个锐角互余即可解答．
【解答】
解：连接，
是的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题意圆心在线段的垂直平分线上，
设圆心，则有，
解得，
圆心，
故答案为：
由题意圆心在线段的垂直平分线上，设圆心，根据半径相等构建方程求解即可．
本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】
【解析】【分析】根据平行线的性质，等边对等角，得出 ，即可得出 ，进而根据 得出 ，即可判断，根据 不一定相等即可判断，根据圆周角定理，即可判断．
【详解】解：
又 ，则
，故正确；
连接 ， ，
，
，
又 ，则 ，
又
垂直平分 ，故正确；
当且仅当 时， ，故错误，
，故正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
连接，求出，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】
解：连接．
，
，
，
，，
，
故答案为．
17.【答案】解：补全的图形如图所示．
；
直径所对的圆周角是直角；
【解析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论
18.【答案】解：设的半径长为，
则，，
是的直径，弦于点，且，
，
，
即，
解得，，
即的半径是；
连接，
，，
，
是的直径，弦于点，且，
，，
≌，
，
设的半径长为，
则，
解得，或舍去，
．
【解析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；
根据三角形全等、勾股定理可以求得线段的长．
19.【答案】是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点；
解：，
，
而，
为的中位线，
，
；
解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，如图，
则，
在中，，
，
，
的最小值为．
【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
利用圆周角定理得到，再证明，然后根据垂径定理得到点为的中点；
证明为的中位线得到，然后计算即可；
作点关于的对称点，交于，连接，如图，利用两点之间线段最短得到此时的值最小，再计算出，作于，如图，然后根据等腰三角形的性质和含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的最小值．
20.【答案】证明：连接．
是的直径，，
，
又，；
解：，，
，
是的直径，．
，．
，
四边形内接于，
．
又，
．
【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，
连接，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．
根据，求出，即可，证明即可．
21.【答案】证明：为的中点，
，
，
是直径，
，
，，
，
；
解：连接．
是直径，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
【解析】主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
先根据圆周角定理的推论证明，再利用等角对等边证明即可．
利用勾股定理分别求出，，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．
22.【答案】解：；
如图所示：点即为所求；
作的外接圆，
，，
当时，是直径最长，
，
，
，
当时，是等边三角形，
，
，
长的取值范围是．
【解析】【分析】
本题考查圆综合题、圆周角定理、作图一复杂作图、勾股定理、等边三角形的判定和性质，含度角是直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用圆周角等于同弧所对的圆心角的一半解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，
连接、，只要证明是等边三角形即可．
如图中，作的垂直平分线，交于点，以为圆心，为半径作圆，交垂直平分线于点，则点
为所求．
作的外接圆，分两种情况讨论：当时，是直径最长；当时，是等边三角形即可解答．
【解答】
解：连接、，
，，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：。
见答案；
见答案．
23.【答案】解：，
，
，
∽．
∽，
，
当为等腰三角形时，分三种情况：
当时，由得．
连结，则，
根据等腰三角形三线合一得；
当时，由，得，
，
，
；
当时，由，得，
连结，
，
由等腰三角形三线合一得，
．
，
∽，
，
，
，
．
综上可得，当为等腰三角形时，长为或或．
∽，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形，圆周角定理等，熟练运用相应知识是关键．
根据平行线的性质及圆周定理证明两个角相等，即可证明两个三角形相似；
根据相似三角形的性质及等腰三角形的性质分类讨论解答即可；
首先证明是等腰直角三角形，根据相似三角形的性质求得，及长，再证明∽，得到，求得长，最后求得答案．
24.【答案】
【解析】证明：，
，
，
；
连接，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可；
根据圆周角定理得出，根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键．
25.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
；
解：连接，
，
，
，
而，
∽，
，即，
，
．
【解析】根据等腰三角形的三线合一即可解决问题；
只要证明∽，可得，由此即可解决问题．
本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会填空常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
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