2023-2024学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期11月期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 376.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-05 13:31:28 | ||
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文档简介
2023-2024学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二上学期11月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线
( )
A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交或异面
3.已知直线，互相垂直，则实数的值为
( )
A. B. 或 C. D. 或
4.若圆与圆恰有条公切线，则( )
A. B. C. D.
5.已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则( )
A. B. C. D.
6.当圆的圆心到直线的距离最大时，( )
A. B. C. D.
7.在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为
( )
A. B. C. D.
8.斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是
( )
A. B. C. 或 D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.以下命题中正确的是( )
A. 若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B. 若，则直线平面或平面
C. ，，三点不共线，对平面外任意一点，若，则，，，四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
10.已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是
( )
A. 的周长为 B.
C. 点到轴的距离为 D.
11.已知实数满足圆的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是，下列说法正确的有
( )
A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 的最大值是
C. 四边形面积的最小值为 D. 直线恒过定点
12.直四棱柱中，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确的是
( )
A. 当时，
B. 若，则的轨迹长度为
C. 若平面，则
D. 当时，若点满足，则的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______．
14.在正三棱锥中，是的中心，，则______．
15.已知为正方体表面上的动点，若，则当取最小值时，______．
16.已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为．
求边上的高所在的直线方程；
若的中点分别为，，求直线的方程．
18.本小题分
已知直线和圆．
判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
求过点且与圆相切的直线方程．
19.本小题分
如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于圆所在的平面，且．
求证：平面平面；
若异面直线和所成的角为，求平面与平面的夹角的正弦值．
20.本小题分
设分别是椭圆的左右焦点，的离心率为点是上一点．
求椭圆的标准方程；
倾斜角为且过点的直线与椭圆交于两点，求的面积．
21.本小题分
图是直角梯形，四边形是边长为的菱形并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图．
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
已知椭圆，长轴是短轴的倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点．
求椭圆的方程；
设过点 的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等？若存在，请求出常数的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解．
解： 的斜率为 ，
所以 ，故倾斜角为 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用空间向量判断线线的位置关系，属于基础题．
利用空间向量的数量积及不存在实数，使得，求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，所以这两条直线不垂直，
且不存在实数，使得，故不平行．
所以这两条直线相交或异面，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】根据两一般式直线相互垂直求 的值，注意验证求得 的值是否满足直线方程．
解：因为直线 ， 互相垂直，
所以 ，所以 或 ，
当 ，直线 不存在，故 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】由两圆公切线条数确定圆的位置关系，根据圆心距与半径间关系列方程求参数．
解：因为 与 恰有条公切线，所以 与 外切，
由 、 且半径分别为、，则 ，解得 ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】以向量 为基底向量，则 根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算即可．
解：
斜三棱柱 所有棱长均为
．
故选： ．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题．
求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为，求解即可．
【解答】
解：因为圆的圆心为，
又因为直线过定点，
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求点面距离，属于一般题．
求出平面的一个法向量 ，利用点 到平面的距离 即可得解．
【解答】
解：设平面的法向量为 ，
则 所以
若，则 ，，
所以 ，，是平面的一个法向量．
点 到平面的距离 ，
即该三棱柱的高为 ．
8.【答案】
【解析】【分析】由点在椭圆内有 求范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有 ， ，结合韦达定理有 ，即可求 的范围．
解：由题设， 在椭圆 内，则 ，
设直线 代入椭圆 ，
整理得 且 ，则 ，
由图知：直线斜率不可能为，所以 ，故 或 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量共面的性质，平面的法向量，四点共面的性质，基底，属于中档题．
由题意逐项利用空间向量的性质进行分析．
【解答】
解：若是直线的方向向量，，当时，不是平面的法向量，故A错误；
B.若，则直线平行于平面内的一条直线，所以直线平面或平面，故B正确；
C.因为，所以，，，四点不共面，故C错误；
D.因为是空间的一个基底，所以，，不共面，，则，，不共面，所以也是空间的一个基底，故D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的定义、椭圆内三角形的周长、面积、向量数量积运算等知识求得正确答案．
解：依题意 ， ，
所以三角形 的周长为 ，选项正确，
设 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，选项正确，
设 到 轴的距离为 ，则 ，选项正确，
，选项错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】根据点到直线的距离公式即可判定，根据点点距离的公式，即可判定，根据相切，结合勾股定理即可判断，根据两圆相减可得直线方程，根据直线过定点的求解即可判断．
解：圆心 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆 相离，
所以圆 上有个点 到直线 的距离为 ，故A错误，
对于， 表示圆 上一点到原点 的距离的平方，
故点 到原点 的距离最大，故 的最大值是为，故B错误，
对于，四边形 的面积为 ，
当 最小时，四边形 的面积最小，当 时，此时 最小， 的最小值为 ，故四边形 的面积的最小值为，故C正确，
设 ，则 在以 为直径的圆 上，又 在 上，
两圆相减可得 方程为 ，令 且 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】本题关键在于根据线面垂直关系、平行关系，结合空间向量推导出 的轨迹，进而求解对于，当 与 重合时，假设 成立，结合线面垂直关系推出矛盾，进而判断；
对于，分别取 ， 的中点 ， ，结合线面垂直关系推出 的轨迹是线段 ，进而求解判断；
对于，取 的中点 ，连接 ， ，结合线面平行关系推出 的轨迹是线段 ，进而求解判断；
对于，取 的中点 ，连接 交 于点 ，过 作 交 于点 ，结合 ，可知 的轨迹是线段 ，结合垂直关系得到点 为直线 与线段 的垂直平分线的交点，进而求解判断．
解：对于，由题意 ， ， ，当 与 重合时，
假设 ，则 ，
又 ， ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，
因为底面是菱形， ，
所以 为等边三角形，与 矛盾，则假设不成立，故A错误；
对于，分别取 ， 的中点 ， ，
因为底面是菱形，所以 ，
又 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，
因为四边形 为正方形，则 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 的轨迹是线段 ，而 ，故B正确；
对于，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
若 平面 ，则 的轨迹是线段 ，
因为 ，所以 ，故C正确；
对于，取 的中点 ，连接 交 于点 ，过 作 交 于点 ，
当 时， 的轨迹是线段 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ，
又 ，所以点 在直线 上，
在 中， ，则点 在线段 的垂直平分线上，
所以点 为直线 与线段 的垂直平分线的交点，
当 与 重合时，点 为 ；当 与 重合时，点 为 ；当 在线段 上时，点 在线段 上．
因为 ，所以 ， ，
因为 ， ，且 ，所以 的取值范围是 ，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】求出 ，得到圆 ，两圆相减得到相交弦方程．
解：圆 ： 的圆心坐标为 ，
因为圆 过圆 的圆心，所以 ，
所以 ，所以 ： ，
两圆的方程相减可得相交弦方程为 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】先得到正四面体，再根据空间向量的分解及空间向量的数量积运算直接计算即可．
解：如图所示，
，
因为 为正三棱锥且 ，所以 为正四面体，
作 中点 ，因为 是 的中心，
所以 三点共线且 ，
所以 ，
所以
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】根据垂直关系可判断点 的轨迹，即可根据球的性质求解．
解：由 可知点 以 为直径的球与正方体的交线上，球半径为，点 到球心 中点的距离为 ，故 的最小值为 ，
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的几何性质，涉及了椭圆离心率的求解、椭圆定义的应用，解题的关键是利用条件构造基本量，，之间的关系，属于中档题．
作出图象，设椭圆的左焦点为，利用，可知，再利用相似比、椭圆的定义、勾股定理进行分析，得到和的关系，从而求出离心率．
【解答】
解：圆，圆心，半径为，
由线段与圆相切于点，则，
设椭圆的左焦点为，作出图象如图所示，
则有，
所以，
根据，可知，
所以，且，
因为，所以，
根据椭圆的定义可知，，
则在中，，，，
由勾股定理可得，化简可得，
所以，
故．
故答案为．
17.【答案】解：由题意知 边上的高过 ， ，
因为 边上的高所在的直线与 所在的直线互相垂直，
故高线的斜率为，
所以 边上的高所在的直线方程为： ，即 ；
由已知点坐标为 ， ，故 的中点为 ，
是 的一条中位线，所以 ，
而 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为：
化简可得： ．
【解析】【分析】根据直线的垂直确定 边上的高所在的直线的斜率，即可求得答案；
求出 的中点坐标，根据 ，确定 的斜率，即可求得答案．
18.【答案】解：由圆 可得，圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆 相交，
直线 被圆 截得的弦长为 ．
若过点 的直线斜率不出在，则方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离为 ，满足题意；
若过点 且与圆 相切的直线斜率存在，
则设切线方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
综上，过点 且与圆 相切的直线方程为 或 ．
【解析】【分析】利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解．
19.【答案】解：证明：在矩形中，，
平面垂直于圆所在的平面，且两平面的交线为，平面，
垂直于圆所在的平面．
又在圆所在的平面内，
．
为圆的直径，
，，
又，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面；
取的中点，连接，
以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作与平行的直线为轴建立空间直角坐标系．
由异面直线和所成的角为，知，
，，
由题设可知，，
，．
设平面的法向量为，
则，即
取，得，，．
易知平面的一个法向量为，
．
故平面与平面的夹角的正弦值为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
先证平面，进而证明面面垂直；
取的中点，连接，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，进而结合异面直线所成角可得，再求平面的法向量，根据向量的夹角公式求解即可．
20.【答案】解：由题意知： ，又由 知： ，
椭圆 ；
由题意知： ，则直线 为 ，
到直线 的距离为 ，
联立方程 ，整理得 ，即有 ，
而 ，
的面积为 ．
【解析】【分析】由离心率、过定点并结合椭圆参数关系求椭圆标准方程；应用点线距离公式、弦长公式求得三角形对应的底和高，由面积公式求三角形面积．
由椭圆离心率、过定点，结合 求 、 ，写出椭圆方程．
由题意知直线 为 ，联立椭圆方程得 ，结合点线距、弦长公式求线段长，进而求 的面积．
21.【答案】解：如图所示：
，
在图中连接 ，交 于 ，
因为四边形 是边长为的菱形，并且 ，
所以 ，且 ，
所以在图中 ，如图所示，
，
所以 是二面角 的平面角，
因为 ，所以 ，
所以二面角 是直二面角，
即平面 平面 ；
由知 ，
所以分别以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
则 ，
所以 ，
，
设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
因为 到平面 的距离 ，
解得 ，
所以 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直得到 ，再得到二面角并根据边长关系求出二面角为直角，最后得到结论即可；
先有三边两两垂直建立空间直角坐标系，然后根据点到面的距离求出 ，最后根据线面角的正弦值的额公式代入求解即可．
22.【答案】解：解：依题意 ，即 ，所以椭圆 即 ，
又椭圆过点 ，
所以 ，解得 ，所以 ，所以椭圆方程为 ；
解：因为直线 不与 轴垂直，所以设直线 为 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，
，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，
即 ，解得 ．
【解析】【分析】依题意 ，即可得到椭圆 的方程即为 ，再将点 代入方程，求出 ，即可得到 ，从而得解；
设直线 为 ， ， ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，依题意 ，即可得到方程，解得即可．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
2.两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线
( )
A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交或异面
3.已知直线，互相垂直，则实数的值为
( )
A. B. 或 C. D. 或
4.若圆与圆恰有条公切线，则( )
A. B. C. D.
5.已知斜三棱柱所有棱长均为，点满足，则( )
A. B. C. D.
6.当圆的圆心到直线的距离最大时，( )
A. B. C. D.
7.在三棱柱中，，，，则该三棱柱的高为
( )
A. B. C. D.
8.斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为，则的范围是
( )
A. B. C. 或 D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.以下命题中正确的是( )
A. 若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B. 若，则直线平面或平面
C. ，，三点不共线，对平面外任意一点，若，则，，，四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
10.已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，则下列结论正确的是
( )
A. 的周长为 B.
C. 点到轴的距离为 D.
11.已知实数满足圆的方程，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是，下列说法正确的有
( )
A. 圆上恰有一个点到直线的距离为 B. 的最大值是
C. 四边形面积的最小值为 D. 直线恒过定点
12.直四棱柱中，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确的是
( )
A. 当时，
B. 若，则的轨迹长度为
C. 若平面，则
D. 当时，若点满足，则的取值范围是
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______．
14.在正三棱锥中，是的中心，，则______．
15.已知为正方体表面上的动点，若，则当取最小值时，______．
16.已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
在中，边所在的直线斜率为，其中顶点点坐标为，顶点的坐标为．
求边上的高所在的直线方程；
若的中点分别为，，求直线的方程．
18.本小题分
已知直线和圆．
判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；
求过点且与圆相切的直线方程．
19.本小题分
如图，是以为直径的半圆上异于、的点，矩形所在的平面垂直于圆所在的平面，且．
求证：平面平面；
若异面直线和所成的角为，求平面与平面的夹角的正弦值．
20.本小题分
设分别是椭圆的左右焦点，的离心率为点是上一点．
求椭圆的标准方程；
倾斜角为且过点的直线与椭圆交于两点，求的面积．
21.本小题分
图是直角梯形，四边形是边长为的菱形并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图．
求证：平面平面；
在棱上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值．
22.本小题分
已知椭圆，长轴是短轴的倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点．
求椭圆的方程；
设过点 的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等？若存在，请求出常数的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解．
解： 的斜率为 ，
所以 ，故倾斜角为 ，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了利用空间向量判断线线的位置关系，属于基础题．
利用空间向量的数量积及不存在实数，使得，求解即可．
【解答】
解：因为，
所以，所以这两条直线不垂直，
且不存在实数，使得，故不平行．
所以这两条直线相交或异面，
故选D．
3.【答案】
【解析】【分析】根据两一般式直线相互垂直求 的值，注意验证求得 的值是否满足直线方程．
解：因为直线 ， 互相垂直，
所以 ，所以 或 ，
当 ，直线 不存在，故 ．
故选：
4.【答案】
【解析】【分析】由两圆公切线条数确定圆的位置关系，根据圆心距与半径间关系列方程求参数．
解：因为 与 恰有条公切线，所以 与 外切，
由 、 且半径分别为、，则 ，解得 ．
故选：
5.【答案】
【解析】【分析】以向量 为基底向量，则 根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方运算即可．
解：
斜三棱柱 所有棱长均为
．
故选： ．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题．
求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为，求解即可．
【解答】
解：因为圆的圆心为，
又因为直线过定点，
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用空间向量求点面距离，属于一般题．
求出平面的一个法向量 ，利用点 到平面的距离 即可得解．
【解答】
解：设平面的法向量为 ，
则 所以
若，则 ，，
所以 ，，是平面的一个法向量．
点 到平面的距离 ，
即该三棱柱的高为 ．
8.【答案】
【解析】【分析】由点在椭圆内有 求范围，设直线方程联立椭圆整理为一元二次方程形式，则必有 ， ，结合韦达定理有 ，即可求 的范围．
解：由题设， 在椭圆 内，则 ，
设直线 代入椭圆 ，
整理得 且 ，则 ，
由图知：直线斜率不可能为，所以 ，故 或 ．
故选：
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了空间向量共面的性质，平面的法向量，四点共面的性质，基底，属于中档题．
由题意逐项利用空间向量的性质进行分析．
【解答】
解：若是直线的方向向量，，当时，不是平面的法向量，故A错误；
B.若，则直线平行于平面内的一条直线，所以直线平面或平面，故B正确；
C.因为，所以，，，四点不共面，故C错误；
D.因为是空间的一个基底，所以，，不共面，，则，，不共面，所以也是空间的一个基底，故D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】【分析】根据椭圆的定义、椭圆内三角形的周长、面积、向量数量积运算等知识求得正确答案．
解：依题意 ， ，
所以三角形 的周长为 ，选项正确，
设 ，
所以 ，
整理得 ，
所以 ，选项正确，
设 到 轴的距离为 ，则 ，选项正确，
，选项错误．
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】根据点到直线的距离公式即可判定，根据点点距离的公式，即可判定，根据相切，结合勾股定理即可判断，根据两圆相减可得直线方程，根据直线过定点的求解即可判断．
解：圆心 到直线 的距离为 ，所以直线 与圆 相离，
所以圆 上有个点 到直线 的距离为 ，故A错误，
对于， 表示圆 上一点到原点 的距离的平方，
故点 到原点 的距离最大，故 的最大值是为，故B错误，
对于，四边形 的面积为 ，
当 最小时，四边形 的面积最小，当 时，此时 最小， 的最小值为 ，故四边形 的面积的最小值为，故C正确，
设 ，则 在以 为直径的圆 上，又 在 上，
两圆相减可得 方程为 ，令 且 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】本题关键在于根据线面垂直关系、平行关系，结合空间向量推导出 的轨迹，进而求解对于，当 与 重合时，假设 成立，结合线面垂直关系推出矛盾，进而判断；
对于，分别取 ， 的中点 ， ，结合线面垂直关系推出 的轨迹是线段 ，进而求解判断；
对于，取 的中点 ，连接 ， ，结合线面平行关系推出 的轨迹是线段 ，进而求解判断；
对于，取 的中点 ，连接 交 于点 ，过 作 交 于点 ，结合 ，可知 的轨迹是线段 ，结合垂直关系得到点 为直线 与线段 的垂直平分线的交点，进而求解判断．
解：对于，由题意 ， ， ，当 与 重合时，
假设 ，则 ，
又 ， ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，
因为底面是菱形， ，
所以 为等边三角形，与 矛盾，则假设不成立，故A错误；
对于，分别取 ， 的中点 ， ，
因为底面是菱形，所以 ，
又 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，
因为四边形 为正方形，则 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 的轨迹是线段 ，而 ，故B正确；
对于，取 的中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
若 平面 ，则 的轨迹是线段 ，
因为 ，所以 ，故C正确；
对于，取 的中点 ，连接 交 于点 ，过 作 交 于点 ，
当 时， 的轨迹是线段 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ，
又 ，所以点 在直线 上，
在 中， ，则点 在线段 的垂直平分线上，
所以点 为直线 与线段 的垂直平分线的交点，
当 与 重合时，点 为 ；当 与 重合时，点 为 ；当 在线段 上时，点 在线段 上．
因为 ，所以 ， ，
因为 ， ，且 ，所以 的取值范围是 ，故D正确．
故选：．
13.【答案】
【解析】【分析】求出 ，得到圆 ，两圆相减得到相交弦方程．
解：圆 ： 的圆心坐标为 ，
因为圆 过圆 的圆心，所以 ，
所以 ，所以 ： ，
两圆的方程相减可得相交弦方程为 ．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】【分析】先得到正四面体，再根据空间向量的分解及空间向量的数量积运算直接计算即可．
解：如图所示，
，
因为 为正三棱锥且 ，所以 为正四面体，
作 中点 ，因为 是 的中心，
所以 三点共线且 ，
所以 ，
所以
故答案为：
15.【答案】
【解析】【分析】根据垂直关系可判断点 的轨迹，即可根据球的性质求解．
解：由 可知点 以 为直径的球与正方体的交线上，球半径为，点 到球心 中点的距离为 ，故 的最小值为 ，
故答案为：
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的几何性质，涉及了椭圆离心率的求解、椭圆定义的应用，解题的关键是利用条件构造基本量，，之间的关系，属于中档题．
作出图象，设椭圆的左焦点为，利用，可知，再利用相似比、椭圆的定义、勾股定理进行分析，得到和的关系，从而求出离心率．
【解答】
解：圆，圆心，半径为，
由线段与圆相切于点，则，
设椭圆的左焦点为，作出图象如图所示，
则有，
所以，
根据，可知，
所以，且，
因为，所以，
根据椭圆的定义可知，，
则在中，，，，
由勾股定理可得，化简可得，
所以，
故．
故答案为．
17.【答案】解：由题意知 边上的高过 ， ，
因为 边上的高所在的直线与 所在的直线互相垂直，
故高线的斜率为，
所以 边上的高所在的直线方程为： ，即 ；
由已知点坐标为 ， ，故 的中点为 ，
是 的一条中位线，所以 ，
而 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为：
化简可得： ．
【解析】【分析】根据直线的垂直确定 边上的高所在的直线的斜率，即可求得答案；
求出 的中点坐标，根据 ，确定 的斜率，即可求得答案．
18.【答案】解：由圆 可得，圆心 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆 相交，
直线 被圆 截得的弦长为 ．
若过点 的直线斜率不出在，则方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离为 ，满足题意；
若过点 且与圆 相切的直线斜率存在，
则设切线方程为 ，即 ，
则圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
所以切线方程为 ，即 ，
综上，过点 且与圆 相切的直线方程为 或 ．
【解析】【分析】利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；
利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解．
19.【答案】解：证明：在矩形中，，
平面垂直于圆所在的平面，且两平面的交线为，平面，
垂直于圆所在的平面．
又在圆所在的平面内，
．
为圆的直径，
，，
又，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面；
取的中点，连接，
以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作与平行的直线为轴建立空间直角坐标系．
由异面直线和所成的角为，知，
，，
由题设可知，，
，．
设平面的法向量为，
则，即
取，得，，．
易知平面的一个法向量为，
．
故平面与平面的夹角的正弦值为．
【解析】本题考查面面垂直的证明，考查平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
先证平面，进而证明面面垂直；
取的中点，连接，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，过点作与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，进而结合异面直线所成角可得，再求平面的法向量，根据向量的夹角公式求解即可．
20.【答案】解：由题意知： ，又由 知： ，
椭圆 ；
由题意知： ，则直线 为 ，
到直线 的距离为 ，
联立方程 ，整理得 ，即有 ，
而 ，
的面积为 ．
【解析】【分析】由离心率、过定点并结合椭圆参数关系求椭圆标准方程；应用点线距离公式、弦长公式求得三角形对应的底和高，由面积公式求三角形面积．
由椭圆离心率、过定点，结合 求 、 ，写出椭圆方程．
由题意知直线 为 ，联立椭圆方程得 ，结合点线距、弦长公式求线段长，进而求 的面积．
21.【答案】解：如图所示：
，
在图中连接 ，交 于 ，
因为四边形 是边长为的菱形，并且 ，
所以 ，且 ，
所以在图中 ，如图所示，
，
所以 是二面角 的平面角，
因为 ，所以 ，
所以二面角 是直二面角，
即平面 平面 ；
由知 ，
所以分别以 为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
则 ，
所以 ，
，
设 ，
则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
所以 ，
因为 到平面 的距离 ，
解得 ，
所以 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为
【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直得到 ，再得到二面角并根据边长关系求出二面角为直角，最后得到结论即可；
先有三边两两垂直建立空间直角坐标系，然后根据点到面的距离求出 ，最后根据线面角的正弦值的额公式代入求解即可．
22.【答案】解：解：依题意 ，即 ，所以椭圆 即 ，
又椭圆过点 ，
所以 ，解得 ，所以 ，所以椭圆方程为 ；
解：因为直线 不与 轴垂直，所以设直线 为 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，
，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，
即 ，解得 ．
【解析】【分析】依题意 ，即可得到椭圆 的方程即为 ，再将点 代入方程，求出 ，即可得到 ，从而得解；
设直线 为 ， ， ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，依题意 ，即可得到方程，解得即可．
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