2023-2024学年安徽省宿州市省、市示范高中高二上学期期中教学质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年安徽省宿州市省、市示范高中高二上学期期中教学质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.直线的倾斜角的大小是( )
A. B. C. D.
2.已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
3.“”是直线和圆相交的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知直线，，则直线，的夹角为( )
A. B. C. D.
5.在边长为的等边三角形中，于，沿折成二面角后，，此时二面角的大小为
( )
A. B. C. D.
6.若圆与圆有公共点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.在三棱锥中，是的重心，是上的一点，且，若，则( )
A. B. C. D.
8.在正方体中，、分别是棱、上的动点，且，当、、、共面时，直线和平面夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列结论正确的是( )
A. 直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B. 若直线与直线垂直，则
C. 过点，的直线的倾斜角为
D. 点关于直线的对称点的坐标为
10.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是( )
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量的坐标是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面一个法向量的坐标是
11.已知平面上一点，若直线上存在点使，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )
A. B. C. D.
12.已知圆，直线，下列说法正确的是( )
A. 直线与圆的位置关系与有关
B. 直线截圆所得弦长最短时，直线的方程是
C. 圆心到直线距离的最大值为
D. 直线截圆所得弦长范围是
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知，，，且，，共面，则 ．
14.不论取何值，直线恒过一定点，该定点坐标为 ．
15.已知直线及直线截圆所得的弦长均为，则圆的半径是 ．
16.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面点法式方程为，经过点且一个方向向量为的空间直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：若空间直线的方程是，直线是两个平面与的交线，则直线，夹角为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知的三个顶点分别为，，．
求边上的高所在直线的方程
求外接圆的方程．
18.本小题分
已知空间向量，．
若，且，求的坐标
若，且，，求的最大值．
19.本小题分
已知圆．
若圆的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线方程
从圆外一点向该圆引一条切线，切点是，若是原点，求的最小值及对应的点坐标．
20.本小题分
如图所示，三棱柱中，、分别是B、上的点，且，用空间向量解决如下问题：
若，，证明：
证明：平面．
21.本小题分
如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，平面平面，为的中点．
求点到平面的距离
求平面和平面所成锐二面角大小的余弦值．
22.本小题分
已知直线经过定点，是坐标原点，点在直线上，且．
当直线绕着点转动时，求点的轨迹的方程
已知点，过点的直线交轨迹于点、，且，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了斜率定义以及直线方程的相关问题，属于基础题．
将一般式转化为斜截式得到斜率，利用斜率定义即可得到倾斜角大小．
【解答】解：由题意可知，，
则，，故，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查直线的方向向量，直线的点斜式方程的应用，属于基础题．
根据直线的一个方向向量为，，得到其斜率为，写出直线方程．
【解答】解：因为直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为 ，
即．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线和圆的位置关系是解决本题的关键．
根据充分条件和必要条件的定义结合直线和圆的位置关系进行判断即可．
【解答】
解：因为圆：，所以圆的圆心坐标为，半径为，
故，解得，即，
因为，
故“”是“直线与圆：相交”必要不充分条件
所以选B．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查求两直线的夹角大小，属于基础题．
求得直线和的斜率，根据直线的夹角公式求解即可．
【解答】
解：直线的斜率为，
直线的斜率为，
设直线和直线的夹角为，
则，
所以．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的知识点是二面角的平面角的求法，属于基础题。
根据已知中于，易得沿折成二面角后，即为二面角的平面角，解三角形即可求出二面角的大小．
【解答】
解：
沿折成二面角后，
，
故即为二面角的平面角
又，，
则，
在中，
．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属中档题．
根据题意知：圆与圆有公共点，因此两圆圆心距大于等于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和，列出不等式组，解此不等式即可．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为，
，圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距 ，
由得 ，
解得 ，
即
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量基本定理和线性运算，属于一般题．
先取的中点，然后利用空间向量的线性运算求得 ，即可求和．
【解答】
解：如图所示：
取的中点，连接，
因为是的重心，
所以在上，
因为，
所以



，
所以
8.【答案】
【解析】【分析】本题考查线面角的正弦值的求法，属于中档题．
建立空间直角坐标系，由题意知：当，时，，，、共面，
由此利用向量法能求出直线和与平面所成角的正弦值．
【解答】
解：若 ， ， ， 共面，设平面为 ，且 平面 ， 平面，所以 ，又因为 所以，为中点，
以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为，知：当，时，，，、 共面，
设平面的法向量为 ，
，，，
， ，
则 ，取，得 ，
设直线和平面夹角为，
则 ，
直线和平面夹角的正弦值为 ．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率与倾斜角，直线垂直，点关于直线的对称，属于基础题．
对照选项，利用直线方程的性质，逐一判断即可．
【解答】
解：对于选项A，当倾斜角时，，当倾斜角时，，故A错误；
对于选项B，的斜率为，直线的斜率为，由题意，，解得，故B正确；
对于选项C，过点，的直线的斜率为，故直线倾斜角为，故C错误；
对于选项D，设关于直线的对称点的坐标为，从而，解得，故对称点为，D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
利用空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查空面向量坐标运算法则、共线向量、向量夹角公式、法向量等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
【解答】解：空间中三点，，，
对于，，，
与不是共线向量，故A错误；
对于，，，故B正确；
对于，，，
和夹角的余弦值是：
，故C正确；
对于，，，
设平面的法向量，
则，取，得，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点到直线的距离公式，属于中档题．
根据已知条件知点到直线的距离不大于，则该直线为“切割型直线”，再进行求解即可．
【解答】
解：由题意知，点到直线的距离不大于，则该直线为“切割型直线”．
对于，点到直线的距离为，故A正确；
对于，点到直线的距离为，故B错误；
对于，点到直线的距离为，故C正确；
对于，点到直线的距离为，故D错误．
故选AC．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
先判断直线恒过定点，再利用直线与圆的位置关系逐一判断选项即可．
【解答】
解：因为，
所以，所以直线恒过定点，
因为，所以点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故A选项错误；
因为圆心，直线恒过定点，当直线被圆截得的弦长最短时，，
可知直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以选项正确；
圆心到直线的距离的最大值为，所以选项正确；
结合选项可知直线被圆截得的弦长的最大值为直径等于，最小值为，
即直线被圆截得的弦长的取值范围为，所以D正确；
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量共面定理，属于基础题．
由于向量 ，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数，使得 ，解出即可．
【解答】
解：因为 、 、 共面，
设 ，其中 、 ，
所以 ，解得 ．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线系的应用，属于基础题．
直线：化为，令，解得即可．
【解答】
解：直线：化为，
令，解得
恒过一定点
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的半径的求解，利用直线和圆的位置关系，求出圆的半径是解决本题的关键．
判断两条直线为平行直线，求出两平行直线的距离，得到圆心到直线的距离，根据半径，半弦以及圆心距之间的关系求圆的半径即可．
【解答】
解：直线及直线平行，且截圆所得的弦长均为，
圆心到两直线的距离相等，
两平行直线的距离，
即圆心到直线的距离为，
则圆的半径
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线所成角的向量求法，属于中档题．
由空间直线的方程得出直线的方向向量，根据平面的方程求出法向量，继而可求出两个平面的交线的方向向量，再利用直线与直线的方向向量求出两个方向向量的夹角，继而可求出直线与的夹角．
【解答】
解：空间直线的方程是，
的方向向量为，
平面的法向量为 ，
平面的法向量为 ，
设两平面的交线的方向向量为，
由
取，则，，则，
设直线与直线所成角的大小为，，
则
，
又，则，
即直线与的夹角为．
故答案为：．
17.【答案】解：因为点，，则，
则边上的高所在直线的斜率为
所以边上的高所在直线方程为，即．
设外接圆的方程为 ，
则有，解得
所以所求圆的方程为．

【解析】【分析】
本题考查了两条直线垂直的判定和圆的一般方程，是基础题．
求出的斜率，即可知高所在直线的斜率，又知点坐标，利用“点斜式”求出边上的高所在的直线方程；
设圆的一般方程，利用待定系数法即可求的外接圆的一般方程．
18.【答案】解：，且，
，使得，
，即，
又，
，
．
，
，即，
又，，
，
当且仅当，时，等号成立，
的最大值是．
【解析】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了基本不等式求最值，属于中档题
利用向量共线定理，结合模长公式即可求解；
利用两向量垂直关系的判断结合基本不等式求解
19.【答案】解：圆的标准方程为，圆心，半径，
由已知，圆的切线斜率存在且不为，设切线方程是，
令，得令，得．
，解之得或
满足条件的圆的切线方程是或．
，，
化简，得，即点在直线上．
当取最小值时，即取最小值，此时直线，
，
．
又直线的方程为：，
解方程组得，
点的坐标为
【解析】本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，考查圆的切线方程，属于中档题．
由已知，圆的切线斜率存在且不为，设切线方程是，根据条件可得相关方程，求解即可；
由条件可得点在直线上，当取最小值时，即取最小值，此时直线，求出，即可求得，进一步可求得点的坐标．
20.【答案】解：，，
，
，
．
．
如图所示，
，
，
，
即，
，，共面
又平面，
平面．

【解析】本题考查了线线垂直的向量表示和线面平行的向量表示，是中档题
由，，得，再计算得，即可得证；
先得出，则，，共面，即可得证．
21.【答案】解：平面平面，平面平面，，平面，
平面．
以为坐标原点，分别以，的方向作为轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的法向量，则，即
令，得平面的一个法向量为
点到平面的距离．
由知，平面的一个法向量是轴的方向向量，
平面的一个法向量为
设平面和平面所成的锐二面角的大小为，
则，．
【解析】本题考查空间向量在求二面角、点到面的距离向量求法，属于中档题．
建立空间直角坐标系，由平面的法向量及，利用向量数量积的几何意义即可求解；
求出两平面的法向量，利用向量公式即可求解．
22.【答案】解：，
点的轨迹是以为直径的圆不含原点，圆心坐标为，半径．
轨迹的方程为．
设过点的直线方程为，
由消去得．
与轨迹相交，
，即．
设点，，则，，
．
，即，解得或舍去．
直线的方程为．
圆的圆心到直线的距离，
．
【解析】本题考查与圆相关的轨迹问题，直线与圆的位置关系，属于中档题．
由题可知点的轨迹为圆，可写出其轨迹的方程；
设出直线方程，与圆联立，得，根据韦达定理，得到，，则，再由，解出，得到直线的方程，结合点到直线的距离与勾股定理，得解．
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