2023-2024学年山东湖南省邵阳市高二上学期11月期中数学试题（含解析）

2023-2024学年山东湖南省邵阳市高二上学期11月期中数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知直线与直线平行，则实数
A. B. C. D.
2.已知是坐标原点，是抛物线：的焦点，是上一点，则线段的长度为
A. B. C. D.
3.已知椭圆：，，，过作直线与交于，两点，则的周长为
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，双曲线：的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则的渐近线方程为
A. B. C. D.
5.在四面体中，点满足，为的中点，且，则实数
A. B. C. D.
6.已知是坐标原点，若圆：上有个点到的距离为，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
7.打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒数据均以外壁即塔筒外侧表面计算的上底直径为，下底直径为，喉部中间最细处的直径为，则该塔筒的高为
A. B. C. D.
8.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为
A. B. C. D.
10.已知曲线的方程为，则下列说法正确的是
A. 存在实数，使得曲线为圆
B. 若曲线为椭圆，则
C. 若曲线为焦点在轴上的双曲线，则
D. 当曲线是椭圆时，曲线的焦距为定值
11.已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是
A. 抛物线的方程为 B.
C. 直线的斜率为 D. 直线的方程为
12.已知椭圆：过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，则下列结论正确的是
A. 的离心率为
B. 的方程为
C. 若，则
D. 若，则椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知向量，，若，则_________．
14.已知抛物线：的准线为，，点是上任意一点，过作，垂足为，则的最小值为_________．
15.已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为_________．
16.已知，分别是双曲线：的上、下焦点，经过点且与轴垂直的直线与的一条渐近线相交于点，且在第四象限，四边形为平行四边形，若的离心率的取值范围是，则直线的倾斜角的取值范围是_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
求满足下列条件的双曲线的标准方程：
双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为；
双曲线与双曲线有共同的渐近线，并且经过点．
18.本小题分
已知半径为的圆与直线：相切，圆心在轴的负半轴上．
求圆的方程；
已知直线：与圆相交于，两点，且的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，直线经过抛物线：的焦点，且与相交于，两点，直线交的准线于点．
若，求直线的方程；
证明：直线平行于轴．
20.本小题分
已知椭圆的上顶点与左右焦点连线的斜率之积为．
求椭圆的离心率；
已知椭圆的左右顶点分别为，且，点是上任意一点与不重合，直线分别与直线交于点，为坐标原点，求．
21.本小题分
在矩形中，，点是线段的中点，将沿折起到位置如图，使得平面平面，点是线段的中点．
证明：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
22.本小题分
已知椭圆：过点，离心率为．
求椭圆的方程；
已知的下顶点为，不过的直线与交于点，，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直线平行的等价条件与应用问题，属于基础题．
根据两直线平行的等价条件即可求出的值．
【解答】
解：由两直线平行，得，解得，
当时，直线与直线平行，故．
故选B．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的标准方程，是基础题．
将代入抛物线得出，可得线段的长度．
【解答】
解：由是上一点，得，解得，
所以，
故选A．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的定义与性质，属于基础题．
根据椭圆的定义即可得出答案．
【解答】解：由椭圆方程可知，，则，所以，是椭圆的焦点，
所以的周长为．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质， 属于中档题．
利用双曲线的定义和直角三角形的性质得出与的关系式，求出双曲线的渐近线方程
【解答】解：由题意得：，，则，，
又，则，
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
由于为的中点，
所以，
整理得，，
由，
得，
即，，
根据的对应关系；所以．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系及判定，是基础题．
利用题意可得圆与圆相交，故得的不等式，解之即可
【解答】
解：将圆的方程化为标准方程得，所以．
因为圆上有个点到的距离为，所以圆与圆相交，
所以，
又，所以，
实数的取值范围为．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用双曲线方程解决实际问题，属中档题．
该塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，，设双曲线的方程为，由题意可得双曲线的离心率为，，从而可得双曲线的方程为又，代入双曲线方程可求，从而可求解．
【解答】解：该塔筒的轴截面如图所示，以为喉部对应点，以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，
设与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，所以，所以．
又喉部中间最细处的直接为，
所以，即，，
所以双曲线的方程为．
由题意可知，
代入双曲线方程可得，
所以该塔筒的高为．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间中的距离问题，利用向量法解析求解，属中档题．
利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解．
【解答】
解：如上图，取 的中点为 连接 、 、 ．
，点 是 的中点， ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 又 平面 ．
又底面 是矩形， 、 是 、 中点， ．
以点 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴
建立空间直角坐标系如图所示，由 ， ， ，
得 ， ．
， ， ，则 ， ，
设 ，则 ， ，
，
，
向量 的单位方向向量 ，
则 ，
因此点 到直线 的距离 ，
当 时， 取最小值 ，
线段 上的动点 到直线 的距离的最小值为 ．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，属于基础题．
分类讨论，分别用点斜式、截距式求得直线的方程．
【解答】
解：当截距为时，过点和原点，所以的方程为，即
当截距不为时，设的方程为，
由过点，得，解得，所以的方程为．
故选BD．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次曲线表示圆锥曲线的条件的应用，是基本知识的考查，属于基础题．
利用二次曲线，表示椭圆，圆，双曲线的条件，推出 的范围与取值，判断选项的正误即可．
【解答】
解：对于，当，即时，曲线的方程为，所以曲线为圆，故A正确
对于，由曲线为椭圆，得，且，解得，故B错误，对于，由曲线为焦点在轴上的双曲线，得，，解，故C正确，
对于，当曲线是焦点在轴上的椭圆时，，
，，所以曲线的焦距不是定值
当曲线是当曲线是焦点在轴上的椭圆时，，，，
所以曲线的焦距不是定值，故D错误．
故选AC
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的综合应用，属于一般题．
求出准线方程，得抛物线方程，再对选项逐个判断即可．
【解答】
解：因为在准线上，所以准线方程为，所以，抛物线的方程为，故A错误
设直线方程为，代入，得，
当直线与抛物线相切时，，即，
设，的斜率分别为，，易知，是上述方程的两根，
故，，所以，故B正确
设，，
则，分别是方程，的根，
所以，，
所以，故C正确
，，，
所以的中点为，直线的方程为，即，故D正确故选BCD．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，中点弦问题，直线与椭圆的位置关系的应用，属于较难题．
由题意利用离心率的定义，中点弦问题，点差法，互相垂直的直线的斜率之间的关系，逐项分析得出结果．
【解答】
解：设，则，即，
因为，在椭圆上，所以
两式相减得：，
即，
又，
所以即，所以，离心率，故A正确；
因为椭圆：过点，所以，解得：所以椭圆的方程为，故B错误；
若，则直线的方程为，由得，所以，，故C正确；
若，则直线的方程为，
假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，的中点，
所以，
因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即，
又，在椭圆上，
所以，两式相减得：，
则，即，
联立，解得：，即，又，所以点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，所以椭圆上不存在，两点，使得，关于直线对称，故D错误．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量垂直，属于基础题．
利用即可求解．
【解答】解：由，得，解得．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线中的最值问题，属于基础题．
利用即可求的最小值．
【解答】解：设抛物线的焦点为，
所以，
当且仅当，，三点共线，且点为线段与抛物线的交点时，等号成立，
即的最小值为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查与圆有关的最值问题，属于一般题．
求出圆心坐标和半径，由三角形的面积得，设，则，结合即可求解．
【解答】解：圆的标准方程为，圆心为，半径．
在中，，
所以，设，则，
所以当最小时，的值最大，此时最小，
又的最小值为点到直线的距离，即，
所以．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题重点考查双曲线的性质，属于一般题．
由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，设，由在渐近线上求得，结合离心率的取值范围即可求解．
【解答】解：由双曲线的对称性可知也在双曲线的渐近线上，且在第二象限，
由轴，可知轴，所以可设，
又在渐近线上，所以，所以，
因为的离心率的取值范围是，
所以，
又，所以
17.【答案】解：已知双曲线的焦点在轴上，
所以可设的标准方程为，
又的渐近线方程为，所以，即，
由的两顶点之间的距离为，得，所以，．
故双曲线的标准方程为．
因为与双曲线有共同的渐近线，
所以可设为，，
因为过点，则，解得，
故双曲线的标准方程为．
【解析】本题主要考查双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
根据渐近线得到，根据距离得到，得到答案．
设双曲线方程为，，代入点的坐标，计算得到答案．
18.【答案】解：由已知可设圆心，则，解得或舍，
所以圆的方程为．
设圆心到直线的距离为，则，，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或．
【解析】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式，考查分析与计算能力，属于中档题．
由已知可设圆心，则，求出，即可求解；
设圆心到直线的距离为，则，然后再由三角形的面积求出的值，再根据点到直线的距离公式求出的值，即可求出直线方程．
19.【答案】解：抛物线的焦点为，准线方程为，
设，，
由抛物线定义，得，所以，
当直线的斜率不存在时，，不符合要求，故直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程，得，则，解得，
所以直线的方程为或．
证明：设，，则直线的方程为，令，可得，
设直线的方程为，代入方程，得，所以，
所以，所以直线平行于轴．
【解析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
设出点，点，利用抛物线定义得到，易知直线斜率存在，设直线的方程为，与抛物线联立，即可得解；
得到直线的方程为，令，可得，再设直线的方程为，与抛物线联立，求得，即可证明．
20.【答案】解：根据题意可得，椭圆的上顶点的坐标为，左右焦点的坐标分别为 ，
由题意可知，即，
又，所以，即，
可得椭圆的离心率．
由，得，即，
所以椭圆的方程为 ．
如图所示：

设，则，即，
又，则直线的方程为，
直线的方程为；
因为直线分别与直线交于点，
可得，
所以
．
即．

【解析】本题考查椭圆的离心率计算，向量与椭圆的综合问题，属于较难题．
由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得，即可求出离心率；
设出点坐标，写出直线和的方程求出交点坐标，利用化简的表达式即可求得结果．
21.【答案】证明：设的中点为，连接和，
因为点，分别为，的中点，所以且，
在矩形中，点是线段的中点，
所以且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
解：在矩形中，，设，则，
所以，即，
取的中点，取的中点，连接，，所以，，
因为，点是线段的中点，所以，即，
又为的中点，所以，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
设平面的法向量为，又，，
则，即
令，则，所以平面的一个法向量为
设平面的法向量为，又，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，，
则，
即平面与平面所成角的余弦值为．

【解析】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求平面与平面的夹角，属于较难题．
设的中点为，连接和，推导出，根据线面平行的判定定理证明即可；
建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
22.【答案】解：依题意，得
又，解得负值舍去
所以椭圆方程为．
因为，，
所以，．
又为线段的中点，所以，因此．
根据题意可知直线的斜率一定存在，
设的方程为，，，
联立消去，得，
，
根据韦达定理可得，，
因为，所以
，
所以，
整理得，解得或．
又直线不经过点，所以舍去，
于是直线的方程为，恒过定点，该点在椭圆内，满足，
所以直线恒过定点，定点坐标为
【解析】本题考查椭圆的标准方程与离心率，考查直线与椭圆位置关系中的定点问题，属于难题．
由题意可得结合即可求解；
由题意可得，设的方程为，，，联立根据韦达定理求出，，利用求出的值，从而可得定点坐标．
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