第1章 空间向量与立体几何 单元复习卷（含答案）

第1章 空间向量与立体几何单元复习卷
一．选择题（共8小题）
1．在空间直角坐标系中，点A（1，﹣1，1）与点B（﹣1，﹣1，﹣1）关于（　　）对称
A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．原点
2．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱CC1上一动点，点O是面AC的中心，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．不确定
3．空间向量＝（　　）
A． B． C． D．
4．若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知直线l∥平面α，且l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则实数m的值为（　　）
A．2或﹣3 B．﹣2 C．3 D．﹣2或3
6．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝++λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1，BC∥AD，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为30°，则△ADQ面积的最大值是（　　）
A． B． C． D．
8．一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm，40cm，容积为190L（厚度忽略不计），则该油槽的侧棱与底面所成角的正切值为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
9．设（1，﹣2，﹣1），（3，﹣1，2）是空间直线l上的两点，则直线l的一个方向向量的坐标可以是（　　）
A．（2，1，3） B．（4，1，6）
C．（﹣，﹣，﹣） D．（2，﹣4，﹣2）
10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别为棱AB，A1D1的中点，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（　　）
A．与是共线向量
B．直线AB的一个方向向量是（2，1，0）
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5）
12．下面四个结论正确的是（　　）
A．向量，若，则
B．若空间四个点P，A，B，C，，则A，B，C三点共线
C．已知向量，，若，则为钝角
D．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
三．填空题（共4小题）
13．已知＝（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，点A（1，4，2），B（3，k，﹣2）在平面α内，则k＝　 　．
14．如图四棱锥O﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，，则x+y+z＝　 　．
15．二面角α﹣l﹣β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝4，则CD的长 　 　．
16．由空间向量基本定理可知，空间任意向量可由三个不共面的向量唯一确定地表示为，则称（x，y，z）为基底下的广义坐标．特别地，当为单位正交基底时，（x，y，z）为直角坐标．设分别为直角坐标系中x，y，z正方向上的单位向量，则空间直角坐标（1，2，3）在基底下的广义坐标为 　 　．
四．解答题（共6小题）
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设＝，＝，＝．
（1）试用，，表示向量；
（2）求BM的长．
18．已知向量＝（1，3，2），＝（﹣2，1，4），＝（5，1，x）．
（Ⅰ）若⊥，求实数x的值；
（Ⅱ）求|2﹣|；
（Ⅲ）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数x的值．
19．已知点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），＝，＝．
（1）若，且，求的坐标；
（2）求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积．
20．在空间直角坐标系中，已知A（0，1，2）、B（3，﹣2，﹣1）、D（1，1，1）．
（1）若点P满足，求；
（2）求△ABD的面积．
21．已知空间中三点A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3）．设，．
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
22．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为边AD的中点，AB＝2，PA＝PD＝，PB＝．
（1）证明：PD⊥OB；
（2）试判断线段PC上是否存在点M使得二面角M﹣OB﹣C的余弦值为，若存在求出点M的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8BADAA AAD
二．多选题（共4小题）
9．AC
10．ABC
11．BCD
12．ABD
三．填空题（共4小题）
13．1
14．1
15．4
16．（）．
四．解答题（共6小题）
17．解：（1）∵M是PC的中点，∴．
∵，，∴，
又＝，＝，＝，
∴＝；
（2）∵AB＝AD＝1，PA＝2，∴||＝||＝1，||＝4，
又AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，
由（1）知
＝
＝，
∴，
即BM的长等于．
18．解：（Ⅰ）因为⊥，且＝（1，3，2），＝（5，1，x）
所以＝0，即5+3+2x＝0，解得x＝﹣4；
（Ⅱ）因为向量＝（1，3，2），＝（﹣2，1，4）
所以＝2（1，3，2）﹣（﹣2，1，4）＝（4，5，0），
所以；
（Ⅲ）因为，，不能构成空间向量的一组基底，
所以向量与向量共面，
故存在唯一的数对（m，n），使得＝m+n，
即（5，1，x）＝m（1，3，2）+n（﹣2，1，4）＝（m﹣2n，3m+n，2m+4n），
解得x＝﹣6．
19．解：（1）∵点A（﹣2，0，2），B（﹣1，1，2），C（﹣3，0，4），＝，＝．
∴，
，
∴λ＝2或λ＝﹣2，
∴或．
(2)
，
∴，
∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为．
20．解：（1）设P（x，y，z），
∵A（0，1，2）、B（3，﹣2，﹣1）、D（1，1，1），
∴＝（x，y﹣1，z﹣2），＝（3﹣x，﹣2﹣y，﹣1﹣z），
∵，
∴，解得，
∴P（2，﹣1，0），
∴＝（1，﹣2，﹣1），
∴＝＝；
（2）∵A（0，1，2）、B（3，﹣2，﹣1）、D（1，1，1），
∴＝（3，﹣3，﹣3），＝（1，0，﹣1），＝（﹣2，3，2），
∴cos∠BAD＝＝＝，
∴sin∠BAD＝＝，
∴△ABD的面积S＝sin∠BAD＝＝．
21．解：（1）∵A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3），，，
∴，，
于是，
∴．
（2）∵，
，
又与互相垂直，
∴，
即（﹣2k﹣2）（2k﹣1）+（4k+2）（2﹣2k）+（﹣2k﹣2）（2k﹣1）＝0，
∴，解得．
22．（1）证明：连接PO，因为，所以PO⊥AD，
因为底面ABCD是菱形，，所以，
因为O为边AD的中点，所以，
∴，
因为∠BAD＝60°，
所以，
因此PO2+BO2＝4+9＝13＝PB2，即PO⊥OB，
又因为OA2+OB2＝3+9＝AB2＝12，所以AD⊥OB，
又AD∩PO＝O，AD 平面PAD，PO 平面PAD，
所以OB⊥平面PAD，又AD 平面PAD，
所以OB⊥PD，即PD⊥OB；
（2）解：由（1）知OA，OB，OP两两垂直，故以O为坐标原点，
OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图示空间直角坐标系，
则O（0，0，0），，B（0，3，0），P（0，0，2），，
于是，，，
令，
则，
取平面OBC的一个法向量为，
设平面OBM的一个法向量为，
则有，令x＝1，可得y＝0，z＝，
故平面OBM的一个法向量为，
又二面角M﹣OB﹣C为锐二面角且设为θ，
所以cosθ＝||＝，
即，解得（负值舍去），
故存在点M使得二面角M﹣OB﹣C的余弦值为，此时点M满足