河南省南阳市第一名校2023-2024学年高一上学期第二次月考试题 数学（PDF版含答案）

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南阳市一中 2023 级秋期高一数学第二次月考 参考答案：
一、单选题 1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．C
1 1 b 1 a 1 17 1
b 1 a 1 0
．【详解】由 1
2 2
，可得
2

2 2 2 2
.

1 x
因为函数 y 在R 上单调递减，所以 0 a b 1 .
2
因为函数 y a x 在R 上单调递减，所以 ab aa .
a x a 0
因为函数 y a a R 在 上单调递减，所以 1,a
a ba .
b b b
综上， ab aa ba . 故选：C
1 1 2
8．【详解】因为 x 0， y 0，且 x 2 y 3 ，
x 2 y 3 x 2 y 1 1 3 y x 2

3 y x 2

所以 2
1 1 2 2 6 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y
，

y x 2
当且仅当 x 2 y ，即
y 3， x 1时取等号，所以 x y 4，因为 x y m2 3m恒

成立，所以m2 3m 4，即 m 1 m 4 0，解得 4 m 1，所以实数m 的取值范围
是 4,1 . 故选：C
二、多选题 9．AC 10．BD 11．BC 12．BC
11 f x 2
x 1 3 1
．【详解】根据题意知， y 1 2x
1 2x
x ， 在定义域R 上单调递4 4 1 2
1 3 1
增，且1 2x 1， y 在 1, 上单调递增，∴ f x x 在R4 1 2 上是增函数，故 Ax
正确；
∵ g 2 f 2
4 1 1 1


0， g 2 f 2 5 4
1， 5 4
∴ g 2 g 2 ， g 2 g 2 ，∴函数 g x 既不是奇函数也不是偶函数，故 B 错误；
∵ 2x
1 1
0，∴1 2x 1，0 x 1， 1
1 0 1 x ，∴ f x
3
，即 f x ,
3
1 2 1 2 4 4 4 4
，

∴ g x f x 1,0 ，故 C 错误，D 正确. 故选：BC
12．【详解】A： N xy 1，由M 2x y 2 2xy 2 2 x 2，当且仅当 , y 2 时等
2
号成立，错；
B：M N 2x y xy 6 2 2 xy xy ，当且仅当 x 1, y 2时等号成立，
即 xy 2 2 xy 6 ( xy 3 2)( xy 2) 0，可得0 xy 2 0 xy 2，所以 N
有最大值 2，对；
C：M 2x y 1 y 1 2x，则 N xy x 2x2 2(x
1
)2 1 ，
4 8
又 x ， y 0, 1，则1 2x 0，可得0 x ，所以0 N 1 ，对；
2 8
(2x y)2 3xy 1 3D：由题设 (2x y)2 1，即
8 (2x y)
2 8 2x y 2 10 ，
5 5
x 10当且仅当 , y 10 2 10 时等号成立，所以0 M ，错. 故选：BC
10 5 5
7
三、填空题 13．1 14． 1,3 （开闭区间均可） 15． ,5 16．[ , )
2
x215 f x 1．【详解】因为 ， x 3, ，令 t x 1，则 x t 1， t 2, ，
x 1
x2 t 1 2 1所以 f x 1 t 2 2，在定义域内单调递增，所以 f x f (3) 5，
x 1 t t
因为 x 3, ， f x m恒成立，所以m 5，即m ,5 .故答案为： ,5
x2 4x, 2 x 3
16．【详解】当 x 2,4 时， f x x2 2 可知 f x 在 2,3 上单调递减，在
,3 x 4 x
3, 4 f x 2,3 3,4 3,4 11, 9 上单调递增，所以 在 上的值域为 ，在 上的值域为 ， 3 2
所以 f x 2,4 在 上的值域为 3,
9
2
，

∵ a 0， g x 为增函数， g x ax 1在 2,1 上的值域为 2a 1,a 1 ，
3 2a 1
7 7
所以， 9 解得： a , ∴ a的取值范围是[ , )
a 1 2 2 2
四、解答题
17．(1) f x 1 6 （也可写成 f x x
6
） (2) 1,2
x
2 m 1
【详解】（1）由函数 f x m 3m 9 x 为幂函数得m2 3m 9 1，解得m 2 或
m 5，又函数在 0, 上是减函数，则m 1 0，即m 1，所以m 5，
f x x 6 1 6 ； x
1 1
（2）由（1）得m 5，所以不等式为 2 a 6 2a 1 6 ，
1

设函数 g x x 6 ，则函数 g x 的定义域为 0, ，且函数 g x 在 0, 上单调递减，
2 a 0,

所以 2a 1 0, 解得1 a 2 ，所以实数 a的取值范围是 1,2 .

2 a 2a 1,
3 3
18．(1) ( , ) (2) ( , ) [5, )
2 2
【详解】（1）解：由命题 p : x R, x2 2m 3 0为真命题，
即不等式 x2 2m 3 0 在 x R 上恒成立，即 x2 2m 3在 x R 上恒成立，
3
则满足 2m 3 0 m
3
，解得 ，即实数m 的取值范围为 ( , )2 . 2
（2）解：当 x 1时，可得 x 1 0 x 4 x 1 4 4，则 1 2 x 1 1 5，
x 1 x 1 x 1
4 4
当且仅当 x 1 时，即 x 3时，等号成立，所以 x 的最小值为5，
x 1 x 1
因为命题 q : x 1 m x
4
，使得 为真命题，所以m 5，由（1）知，命题 p 为真命
x 1
3
题时，得m 2 ，
当命题 p
3
为真命题，q为假命题时，可得m ；当命题q2 为真命题，
p 为假命题时，可
得m 5，
所以实数m
3
的取值范围为 ( , ) [5, ) .
2
x2 100x 1000,0 x 80

19．(1)W
x
10000
1750,80 x 150
x
(2)当年产量为 100 千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为 1550 万元.
【详解】（1）由题意知，当 x 10 时，R 10 102 10a 2100，所以 a 200，
当0 x 80时，W 300x x2 200x 1000 x2 100x 1000；
2
当80 x 150 时，W 300x 301x 2750x 10000 10000 1000 x 1750，
x x
x2 100x 1000,0 x 80

所以W
x 10000
；
1750,80 x 150 x
（2）当0 x 80时，函数W 在 0,50 上是增函数，在 50,80 上是减函数，
所以当 x 50 时，W 有最大值，最大值为 1500；
80 x 150 W x 10000 1750 2 x 10000当 时，由基本不等式，得 1750 1550，
x x
x 10000当且仅当 时取等号，所以当 x 100 时，W 有最大值，最大值为 1550；
x
因为1500 1550，所以当年产量为 100 千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为 1550
万元.
1
20．(1) f 0 ， f 2 1 ， f 1 2 ， f 3 1
3 6 5 10
(2) f x 1 4043 f 2 x ，证明见解析 (3)
2 4
【详解】（1）解： f (0)
1 1 f (2) 1 1 ， ， f ( 1)
1 2
，
1 2 3 22 2 6 2 1 2 5
f (3) 1 1 3 . 2 2 10
（2）解：猜想： f x f 2 x 1 ，
2
f (2 1 1 2
x 2x
∵ x) 证明： 对于任意的 x R ，都有 22 x 2 22 22 2 2x 2(2x 2)
2x
2
x
f (x) f (2 x) 2 2 1 f x f 2 x 1∴ . 故 .
2(2x 2) 2 2
1
（3）解：由（2）得 f x f 2 x ，
2
f ( 2020) f (2 2022) f ( 2020) f (2022) 1 f ( 2019) f (2021) 1故 ， ， ，
2 2
所以 f 2020 f 2019 f 0 f 1 f 2 f 2021 f 2022
f 2020 f 2022 f 2019 f 2021 f ( 1) f (3) f 0 f 2 f 1
2021 1 1 4043 .
2 4 4
2x 5 1
21．(1) f x 2 ， x 1,1 (2)增函数；证明见解析； (3) 0, 1 x 2
【详解】（1）函数 f x ax b 是定义在 1,1 上的奇函数，
1 x2
f x f x ax b ax b ax； 2 2 ，解得b 0，∴ f x 2 ，而 f 1 1，解得 a 2 ， 1 x 1 x 1 x
f x 2x∴ 2 ， x 1,1 ． 1 x
（2）函数 f x 2x
1 x2
在 1,1 上为减函数；
证明如下：任意 x1, x2 1,1 且 x1 x2，则
2x 2x 2 x x 1 x xf x1 f x

2
1 2 1 2 1 2
1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 2 1 2
因为 x1 x2，所以 x1 x2 0，又因为 x1, x2 1,1 ，所以1 x1x2 0，
所以 f x1 f x2 0，即 f x1 f x2 ，所以函数 f x1 f x2 在 1,1 上为减函
数．
（3 2）由题意， f t 1 f t f 0 ，又 f 0 0，所以 f t 1 f t 2 0，
f t 2 2即解不等式 f t 1 ，所以 f t f 1 t ，
1 t 2 1
1 1 5 1

所以 t 1 0 t 5 1，解得 ，所以该不等式的解集为 0, ．
t 2
2
1 t
2
22．(1) 1,1 (2) 4 2 2,2 2 .
【详解】（1）“对任意的 x a,a 2 ，都有 f x 5”等价于“在区间 a,a 2 上
[ f x ]max 5 ”.
t 1时， f x (x 1)2 1，由二次函数的性质知函数 f x 的图象开口向上，
所以 f x 在 a,a 2 上的最大值为 f a 或 f a 2 ，
f a 5 a2 2a 2 5
则 f a 2 5，即 2 ，解得： 1 a 1， a 2 2 a 2 2 5
故实数 a的取值范围为区间 1,1 .
（2）设函数 f x 在区间 0,4 上的最大值为M ，最小值为m ，
所以“对任意的 x1, x2 0, 4 ，都有 f x1 f x2 8”等价于“ M m 8”，
又 f x x t 2 t 2 2在 , t 上单调递减，在 t, 上单调递增，
①当 t 0时， f x 在 0,4 上单调递增，
则M f 4 18 8t ，m f 0 2，
即M m 18 8t 2 16 8t 8，解得 t 1，即 t ；
②当0 t 2, M f 4 18 8t,m f t 2 t 2 .
由M m 18 8t 2 t 2 8，解得： 4 2 2 t 4 2 2 ，即 4 2 2 t 2；
③当 2 t 4时，M f 0 2,m f t 2 t 2 .
2
由M m 2 2 t t 2 8，得 2 2≤t≤2 2 ，即 2 t 2 2 ；
④当 t 4时，M f 0 2,m f 4 18 8t .
由M m 2 18 8t 8t 16 8，得 t≤3，即 t .
综上， t 的取值范围为 4 2 2,2 2 .