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15.3.1分式方程
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
新知导入
1．前面我们学习了什么方程？
2．什么是一元一次方程？
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
一元一次方程
二元一次方程
整式方程
新知讲解
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
解：设江水的流速为x千米/时.
仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？
分母中含有未知数．
新知讲解
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量.
解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么第二块试验田每公顷的产量是_________kg. 根据题意，可得方程：
______________ .
(x+3000)
新知讲解
观察：，
方程的分母中含未知数 ，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程．
注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
归纳总结
1.分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的（a为非零常数），分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程.
2.整式方程和分式方程的根本区别在于分母中是否含有未知数，分母中含有未知数的是分式方程，分母中不含未知数的是整式方程.
新知讲解
你能试着解分式方程 吗？
即90(30-v)=60(30+v)
解得v=6
解：方程两边同乘各分母的最简公分母(30+v)(30-v)
检验：将v=6代入上述分式方程 中，左边==右边，因此v=6是分式方程的解.
将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？
x=6是原分式方程的解吗？
归纳总结
解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”.
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.
“去分母法”解分式方程的步骤
简记为：“一化二解三检验”.
新知讲解
下面我们再解一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验:将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解.
新知讲解
上面两个分式方程中， 去分母后所得整式方程的解就是分式方程的解？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）．方程①两边乘 (30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解是v＝6．当 v＝6 时， (30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，分式方程两边乘了同一个不为 0 的式子，因此所得整式方程的解与分式方程的解相同．
新知讲解
为什么 去分母后所得整式方程的解却不是分式方程的解呢？
分式方程两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解是x＝5．当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，分式方程两边乘了同一个等于 0 的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象，因此这样的解不是分式方程的解．
归纳总结
（1）分式方程的增根：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根；
（2）产生增根的原因：分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为0.
检验分式方程的解时x使分母等于0，此时x不是原方程的解，叫方程的增根.
新知讲解
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
典例精析
例1 解方程＝ ．
解：方程两边同乘 x(x－3)，得
2x＝3x－9．
解得 x＝9．
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0 ．
所以，原分式方程的解为 x＝9．
典例精析
例2 解方程－1＝ ．
解：方程两边同乘 (x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3．
解得 x＝1．
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此 x＝1不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
归纳总结
分式方程
整式方程
x＝a
x＝a 是分式方程的解
x＝a 不是分式方程的解
去分母
解整式方程
检验
最简公分母不为0
最简公分母为0
目标
解分式方程的一般步骤
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2.把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（ ）
A． B．
C． D．
A
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如果方程，那么（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
B
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为___________．
a≤6且a≠3
5.若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A.或 B.C.且 D.且
A
课堂练习
【综合拓展类作业】
7、若关于的方程有增根，求实数的值．
解：该方程的最简公分母是x(x+1)，
该方程的增根为或，
方程两边同乘以x(x+1)得， 2mx-(m+1)=x+1，
当时， 2m×0-(m+1)=0+1，
解得；
当时， 2m×(-1)-(m+1)=-1+1，
，
实数的值为或．
课堂总结
分式
方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
步骤
（去分母法）
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
板书设计
1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解；
(4)写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
“2.去分母法”解分式方程的步骤：
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为( )
A．且 B．
C．且 D．且
2.关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为
________________．
4.关于x的分式方程＋2＝的解为正实数，则k的取值范围是
________________．
5.关于x的分式方程无解，则a的值是______．
且
k＞-2且k≠2
1或3
作业布置
【综合拓展类作业】
6．已知分式方程有解，其中“”表示一个数．
(1)若“”表示的数为，求分式方程的解；
（1）解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
作业布置
【综合拓展类作业】
6．已知分式方程有解，其中“”表示一个数．
(2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错了，导致找不到原题目了，但可以肯定的是“”是，这两个数中的一个．请你帮助嘉淇确定“”表示的数，并求原分式方程的解．
（2）解：若“”是，则有，
去分母得：，该方程无解，
分式方程无解；
若“”是，则有，
作业布置
【综合拓展类作业】
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为，
综上所述：“”表示的数是，分式方程的解为．
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十五章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念；2.能利用分式的基本性质进行约分和通分；3.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算；4.能解可以化为一元一次方程的分式方程.
内容分析 掌握数与式的运算，能够解释运算结果的意义；会用代数式、方程描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题；形成抽象能力、模型观念，进一步发展运算能力；探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型观念和数据观念.
学情分析 在七年级上册中，学生已经学习了整式，分式与整式一样也是代数式，因此研究与学习的方法与整式相类似;另一方面，“分式”是“分数”的“代数化”，学生可以通过类比进行分式的学习。另外，在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加,人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。
单元目标 教学目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式.2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算.4.结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质能用科学记数法表示小于1的正数.5.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想.6.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.(二)教学重点、难点教学重点：分式基本性质、分式运算、分式方程教学难点:分式的四则混合运算；分式方程的增根问题；列分式方程解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数15.1分式215.2分式的运算615.3分式方程2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务15.1分式1.了解分式的概念， 2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.会对分式进行判断，能利用分式的基本性质进行解题任务1.认识分式任务2.探究分式的基本性质 任务3.出示例题15.2分式的运算掌握分式的乘除，乘方，加减运算法则，并进行混合运算能熟练运用法则进行分式的混合运算任务1：分式的乘除运算法则任务2.分式的乘除法则任务3.分式的乘方法则15.3分式方程1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想.2.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.学生会解分式方程并理解分式方程增根问题；会利用分式方程解决实际问题。任务1.认识分式方程并探究解分式的步骤任务2.探究分式方程的增根问题任务3.出示实际问题体会分式方程的运用。
活动1：回顾旧知
活动2：通过填空的形式引出分式的概念
活动2：归纳分式乘除法则
活动3：例题
活动2：类比分数的混合运算进行分式的混合运算
活动1：复习引入本节课
15.2.2分式的加减（第2课时）
活动3：例题
活动2：通过类比分数的加减归纳出分式的加减法则
活动1：通过实际问题引入课题
15.2.2分式的加减（第1课时）
15.2.1分式的乘除（第2课时）
活动3：例题
活动2：根据乘方的意义归纳分式的乘方法则
活动3：例题
活动1：通过探究问题引入新课
活动4：例题
15.2.1分式的乘除(第1课时)
活动3：探究分式的约分和通分
活动2：类比分数的基本性质归纳分式的基本性质
15.1.2分式的基本性质
分式
活动1：引入课题
活动1：引入课题
15.1.1从分数到分式
活动4：例题
活动3：探究分式有意义以及分式为0的条件
活动1：复习幂的运算引入新课
活动2：通过探究归纳整数负指数幂的运算
15.2.3整数指数幂（第1课时）
活动3：探究负指数幂的运算法则
活动4：例题
活动2：通过探究较小数的科学记数法
活动1：复习引入新课
15.2.3整数指数幂（第2课时）
分式
活动3：例题
活动3：思考分式方程的增根问题
活动2：探究解分式方程的方法
活动1：通过引言问题引入新课
15.3分式方程（第1课时）
活动4：例题
活动1：引入新课
活动3：例题
活动2：探究分式方程的应用问题
15.3分式方程（第2课时）
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分课时教学设计
第一课时《15.3.1分式方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生已掌握了一元一次方程的解法、分式的四则运算等有关知识的基础上进行学习的。它既可看成是分式的有关知识在解方程中的应用；也可看成是进一步学习其它分式方程的基础，因此它有着承前启后的作用。
学习者分析 从认知状况来说，学生在此之前已学习了一元一次方程及二元一次方程组的解法，对分式方程也有了一定的初步认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于将分式方程转化为整式方程的理解，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应给予简单明白、深入浅出的分析。
教学目标 1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.
教学重点 解分式方程的基本思路和解法
教学难点 理解解分式方程时可能无解的原因.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 1．前面我们学习了什么方程？ 一元一次方程，二元一次方程都是整式方程 2．什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．学生活动1： 认真读题，积极思考回答活动意图说明：回顾旧知，引出新知环节二：新知探究教师活动2： 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 解：设江水的流速为x千米/时. 仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？ 分母中含有未知数． 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量. 解：设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那么第二块试验田每公顷的产量是_________kg. 根据题意，可得方程： ______________ . 观察：， 方程的分母中含未知数 ，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程． 注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中． 1.分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的（a为非零常数），分母中虽然含有字母a，但a不是未知数，所以该方程是整式方程. 2.整式方程和分式方程的根本区别在于分母中是否含有未知数，分母中含有未知数的是分式方程，分母中不含未知数的是整式方程. 学生活动2： 学生独立解答后，同桌讨论，归纳分式方程的概念活动意图说明：从学生已有的知识出发，利用多媒体，激发学生强烈的好奇心和求知欲，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程.环节三：新知讲解教师活动3： 你能试着解分式方程 吗？ 解：方程两边同乘各分母的最简公分母(30+v)(30-v) 即90(30-v)=60(30+v) 解得v=6 检验：将v=6代入上述分式方程 中，左边==右边，因此v=6是分式方程的解. 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”. “去分母法”解分式方程的步骤 1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。 4.写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. 下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得 x+5=10， 解得 x=5. 检验:将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程的解，实际上，这个分式方程无解. 上面两个分式方程中， 去分母后所得整式方程的解就是分式方程的解？ 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子（最简公分母）．方程①两边乘 (30＋v)(30－v)，得到整式方程，它的解是v＝6．当 v＝6 时， (30＋v)(30－v)≠0，这就是说，去分母时，分式方程两边乘了同一个不为 0 的式子，因此所得整式方程的解与分式方程的解相同． 为什么 去分母后所得整式方程的解却不是分式方程的解呢？ 分式方程两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解是x＝5．当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，分式方程两边乘了同一个等于 0 的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为 0 的现象，因此这样的解不是分式方程的解． 检验分式方程的解时x使分母等于0，此时x不是原方程的解，叫方程的增根. （1）分式方程的增根：将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根； （2）产生增根的原因：分式方程本身就隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程的时候，未知数的取值范围扩大了，因此就有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原分式方程，会使原分式方程的分母为0. 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.学生活动3： 学生先独立思考并完成解答，教师适当给予指导，最后进行统一讲解. 师生共同归纳解分式方程的步骤与产生增根的原因活动意图说明：通过探究引发学生的思考，让学生在自主探究合作交流中归纳总结解分式方程的基本思路和步骤，在合作交流中获得成功的快乐.环节四：典例精析教师活动4： 例1 解方程＝ ． 解：方程两边同乘 x(x－3)，得 2x＝3x－9． 解得 x＝9． 检验：当x＝9时，x(x－3)≠0 ． 所以，原分式方程的解为 x＝9． 例2 解方程－1＝ 解：方程两边同乘 (x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3． 解得 x＝1． 检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此 x＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解． 解分式方程的一般步骤 学生活动4：活动意图说明：对解分式方程的演练题，提高学生的应用能力
板书设计 1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程. “2.去分母法”解分式方程的步骤： (1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. (2)解这个整式方程. (3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解； (4)写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2.把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（ ） A． B． C． D． 3.下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.如果方程，那么（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 选做题： 5.若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A.或 B.C.且 D.且 6.若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为___________． 【综合拓展类作业】 7、若关于的方程有增根，求实数的值．
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为( ) A．且 B． C．且 D．且 2.关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 选做题 3.若关于x的分式方程有负数解，则m的取值范围为 ________________． 4.关于x的分式方程＋2＝的解为正实数，则k的取值范围是 ________________． 5.关于x的分式方程无解，则a的值是______． 【综合拓展类作业】 6．已知分式方程有解，其中“”表示一个数． (1)若“”表示的数为，求分式方程的解； (2)嘉淇回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错了，导致找不到原题目了，但可以肯定的是“”是，这两个数中的一个．请你帮助嘉淇确定“”表示的数，并求原分式方程的解．
教学反思 这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤. 在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错.
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