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分课时教学设计
第一课时《15.3.2分式方程》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容是在学生已经学习了分式方程的概念并能够解简单的分式方程的基础上进行的，一是进一步巩固可化为一元一次方程的分式方程的解法，二是能够列分式方程解决简单的实际问题
学习者分析 八年级学生已经具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性仍相对薄弱，正确地理解问题情境，会借助图形、表格、式子等分析题意，设未知数找出相等关系，并能列出分式方程解决实际问题，对学生来说有一定的难度。
教学目标 1.理解数量关系正确列出分式方程. 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.
教学重点 实际生活中分式方程应用题数量关系的分析
教学难点 将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示，并进行归纳总结
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：引入新课教师活动1： 应用整式方程解实际问题的步骤： 那么如何运用分式方程解决实际问题呢？学生活动1： 学生思考，回答问题活动意图说明：回顾旧知，引出新知环节二：新知探究教师活动2： 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：本题是一道工程问题，可将总工程量记为 1． 数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间． 设乙单独完成这项工程需要 x 月. 借助列表分析，确定题目中的数量关系. 解：设乙单独完成这项工程需要 x 月，则乙队的工作效率是，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，6x≠0，故 x = 1 是原方程的解. 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月才可以完成任务的，可知乙队的施工速度快. 解决工程问题“两手都要抓” 解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”这一等量关系；二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”这一关系列方程求解． 列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系； （2）设：设出未知数； （3）列：根据相等关系列出方程； （4）解：解方程； （5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解； ②检验求得的解是否符合题意； （6）答：根据题意写出答案．学生活动2： 引导学生交流发言，列分式方程解应用题的步骤是什么活动意图说明：通过问题的探究学生积累了一定的活动经验，这一设计，让学生养成总结的习惯，提高分析问题和解决问题的能力．环节三：典例精析教师活动3： 例1、某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 行程问题：路程 = 速度×时间 类比探究一方法分析下这道题 解：设提速前列车的平均速度为x km/h． 根据题意，得 ． 两边同乘 x(x＋v)，得 s(x＋v)＝x(s＋50)． 解得 x＝ ． 检验：由 v，s 都是正数，得x＝ 时x(x＋v)≠0． 所以原分式方程的解为 x＝ ． 答：提速前列车的平均速度为km/h． 上面题目中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．列出的方程=是以 x 为未知数的分式方程，其中v，s 是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数． 根据字母的含义确定其取值范围不含负数和 0，从而确定分式方程的解，在解实际问题中是经常需要考虑的问题． 行程问题中常用的等量关系 行程问题属于典型应用题，其中路程、时间和速度三个量之间的关系是路程＝速度×时间．解这类应用题，首先分析出问题中的已知量，确定待求量，然后根据第三个量找出反映全部题意的等量关系，从而列出方程．学生活动3： 共同板书解答过程，强调检验 交流发言，引导学生完成解题过程． 活动意图说明：本题以列车提速为背景渗透建模思想，引导学生进行分析，根据“用相同时间”这个条件找到相等关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．教给学生用字母表示其已知量，学习含有字母系数的方程．让学生体验字母的实际意义，能根据实际意义确定字母的取值范围，从而确定实际问题解的情况．
板书设计 列分式方程解应用题的方法步骤: ①审: 弄清题意; ②设: 设一个恰当的未知数; ③列: 找出题中的相等关系, 列出方程； ④解: 解所列方程； ⑤验: 检验所求整式方程的解是否为分式方程的根, 并判断方程的根是否符合题意和实际； ⑥答: 作答.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.福建三明市套宁县发生山体滑坡后，周边市县为了应对，决定对4800米长的河堤进行加固，在加固工程中，该地驻军出色地完成了任务，它们在加固600米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了加固任务．求该地驻军原来每天加固大坝的米数？设原来每天加固x米，则下列所列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 2.武汉新冠肺炎疫情爆发后，某省紧急组织调运一批医疗物资，由车队送往距离出发地900千米的武汉，出发第一小时内按原计划速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，因此比原计划提前2小时到达目的地．设原计划速度为x千米/时，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 选做题： 3.某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 4.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的______倍. 【综合拓展类作业】 5. “四书五经”是一部被中国人读了几千年的教科书，是我们了解中国古代社会的一把钥匙. 某学校计划分阶段引导学生读这些书，决定先购买《论语》和《孟子》供学生阅读，已知用 1000 元购买《孟子》的数量是用 800 元购买《论语》的数量的 2 倍，《孟子》的单价比《论语》的单价少 15 元.则《论语》和《孟子》的单价各是多少元
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30 km到B地，甲比乙每小时少骑3 km，结果乙早到40分钟，若设乙每小时走 x km，则可列方程（ ） A. B. . C. . D. . 2.受疫情的影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用4000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场又用6750元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍，但每瓶单价贵了1元，则该商场第一批购进“84”消毒液每瓶的单价为______元． 选做题 3. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15 km，可早到10分钟，每小时骑12 km就会迟到5分钟．求他家到学校的距离．设他家到学校的距离是x km，则根据题意列出的方程是_________________． 4. 某工程队准备修建一条长1200 m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x m，则根据题意可列方程为___________________． 【综合拓展类作业】 5.根据城市规划, 某市工程队准备为该城市修建一条长4 800米的公路. 铺设600m后, 为尽量减少施工对城市交通造成的影响, 该工程队增加人力, 实际每天修建公路的长度是原计划的 2倍, 结果9天完成任务. 该工程队原计划每天铺设公路多少米
教学反思 在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式. 在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句、探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第十五章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念；2.能利用分式的基本性质进行约分和通分；3.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算；4.能解可以化为一元一次方程的分式方程.
内容分析 掌握数与式的运算，能够解释运算结果的意义；会用代数式、方程描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题；形成抽象能力、模型观念，进一步发展运算能力；探索在不同的情境中从数学的角度发现和提出问题综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，能运用几何直观、逻辑推理等方法解决问题，形成模型观念和数据观念.
学情分析 在七年级上册中，学生已经学习了整式，分式与整式一样也是代数式，因此研究与学习的方法与整式相类似;另一方面，“分式”是“分数”的“代数化”，学生可以通过类比进行分式的学习。另外，在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加,人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。
单元目标 教学目标1.以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，认识分式是一类应用广泛的重要代数式.2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算法则，能进行简单的分式加、减、乘、除运算.4.结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质能用科学记数法表示小于1的正数.5.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想.6.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.(二)教学重点、难点教学重点：分式基本性质、分式运算、分式方程教学难点:分式的四则混合运算；分式方程的增根问题；列分式方程解决实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数15.1分式215.2分式的运算615.3分式方程2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务15.1分式1.了解分式的概念， 2.类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，能利用分式的基本性质进行约分和通分，了解最简分式的概念.会对分式进行判断，能利用分式的基本性质进行解题任务1.认识分式任务2.探究分式的基本性质 任务3.出示例题15.2分式的运算掌握分式的乘除，乘方，加减运算法则，并进行混合运算能熟练运用法则进行分式的混合运算任务1：分式的乘除运算法则任务2.分式的乘除法则任务3.分式的乘方法则15.3分式方程1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想.2.结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型.学生会解分式方程并理解分式方程增根问题；会利用分式方程解决实际问题。任务1.认识分式方程并探究解分式的步骤任务2.探究分式方程的增根问题任务3.出示实际问题体会分式方程的运用。
活动1：回顾旧知
活动2：通过填空的形式引出分式的概念
活动2：归纳分式乘除法则
活动3：例题
活动2：类比分数的混合运算进行分式的混合运算
活动1：复习引入本节课
15.2.2分式的加减（第2课时）
活动3：例题
活动2：通过类比分数的加减归纳出分式的加减法则
活动1：通过实际问题引入课题
15.2.2分式的加减（第1课时）
15.2.1分式的乘除（第2课时）
活动3：例题
活动2：根据乘方的意义归纳分式的乘方法则
活动3：例题
活动1：通过探究问题引入新课
活动4：例题
15.2.1分式的乘除(第1课时)
活动3：探究分式的约分和通分
活动2：类比分数的基本性质归纳分式的基本性质
15.1.2分式的基本性质
分式
活动1：引入课题
活动1：引入课题
15.1.1从分数到分式
活动4：例题
活动3：探究分式有意义以及分式为0的条件
活动1：复习幂的运算引入新课
活动2：通过探究归纳整数负指数幂的运算
15.2.3整数指数幂（第1课时）
活动3：探究负指数幂的运算法则
活动4：例题
活动2：通过探究较小数的科学记数法
活动1：复习引入新课
15.2.3整数指数幂（第2课时）
分式
活动3：例题
活动3：思考分式方程的增根问题
活动2：探究解分式方程的方法
活动1：通过引言问题引入新课
15.3分式方程（第1课时）
活动4：例题
活动1：引入新课
活动3：例题
活动2：探究分式方程的应用问题
15.3分式方程（第2课时）
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15.3.2分式方程
人教版八年级上册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教学目标
1.理解数量关系正确列出分式方程.
2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题.
新知导入
应用整式方程解实际问题的步骤：
实际问题
审题
设未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
那么如何运用分式方程解决实际问题呢？
找等量关系
新知讲解
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？
分析：本题是一道工程问题，可将总工程量记为 1．
数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间．
新知讲解
设乙单独完成这项工程需要 x 月.
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
工作时间(月) 工作效率之和 工作总量
甲单独
两队合作
1
新知讲解
解：设乙单独完成这项工程需要 x 月，则乙队的工作效率是，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，6x≠0，故 x = 1 是原方程的解.
由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，对比甲队 1 个月才可以完成任务的，可知乙队的施工速度快.
归纳总结
解决工程问题“两手都要抓”
解决工程问题时，一要抓住“工作总量＝工作效率×工作时间”这一等量关系；二要抓住“所有队工作量之和＝总工作量”这一关系列方程求解．
新知讲解
列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审：弄清题意，找出数量关系和相等关系；
（2）设：设出未知数；
（3）列：根据相等关系列出方程；
（4）解：解方程；
（5）验：①检验求得的解是否为分式方程的解；
②检验求得的解是否符合题意；
（6）答：根据题意写出答案．
典例精析
例1、某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？
行程问题：路程 = 速度×时间
类比探究一方法分析下这道题
典例精析
解：设提速前列车的平均速度为x km/h．
根据题意，得 ．
两边同乘 x(x＋v)，得 s(x＋v)＝x(s＋50)．
解得 x＝ ．
检验：由 v，s 都是正数，得x＝ 时x(x＋v)≠0．
所以原分式方程的解为 x＝ ．
答：提速前列车的平均速度为km/h．
新知讲解
上面题目中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现．列出的方程=是以 x为未知数的分式方程，其中v，s 是已知数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数．
根据字母的含义确定其取值范围不含负数和 0，从而确定分式方程的解，在解实际问题中是经常需要考虑的问题．
归纳总结
行程问题中常用的等量关系
行程问题属于典型应用题，其中路程、时间和速度三个量之间的关系是路程＝速度×时间．解这类应用题，首先分析出问题中的已知量，确定待求量，然后根据第三个量找出反映全部题意的等量关系，从而列出方程．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.福建三明市套宁县发生山体滑坡后，周边市县为了应对，决定对4800米长的河堤进行加固，在加固工程中，该地驻军出色地完成了任务，它们在加固600米后，采用了新的加固模式，每天加固的长度是原来的2倍，结果只用9天就完成了加固任务．求该地驻军原来每天加固大坝的米数？设原来每天加固x米，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.武汉新冠肺炎疫情爆发后，某省紧急组织调运一批医疗物资，由车队送往距离出发地900千米的武汉，出发第一小时内按原计划速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1.2倍匀速行驶，因此比原计划提前2小时到达目的地．设原计划速度为x千米/时，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
A
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙.那么甲的速度是乙的速度的______倍.
D
课堂练习
【综合拓展类作业】
5. “四书五经”是一部被中国人读了几千年的教科书，是我们了解中国古代社会的一把钥匙.
某学校计划分阶段引导学生读这些书，决定先购买《论语》和《孟子》供学生阅读，已知用 1000 元购买《孟子》的数量是用 800 元购买《论语》的数量的 2 倍，《孟子》的单价比《论语》的单价少 15 元.则《论语》和《孟子》的单价各是多少元
课堂练习
【综合拓展类作业】
解：设《孟子》的单价为 x 元，则《论语》的单价为 ( x + 15 ) 元.
解得 x = 25.
经检验 x = 25 是原方程的解，且符合题意，
∴ x + 15 = 25 + 15 = 40 .
答：《论语》和《孟子》的单价分别是 40 元和 25 元.
根据题意，得
课堂总结
分式方程
整式方程
整式方程的解
分式方程的解
实际问题的解
实际问题
列方程
去分母
解整式方程
检验
目标
目标
板书设计
①审: 弄清题意;
②设: 设一个恰当的未知数;
③列: 找出题中的相等关系, 列出方程；
④解: 解所列方程；
⑤验: 检验所求整式方程的解是否为分式方程的根,
并判断方程的根是否符合题意和实际；
⑥答: 作答.
列分式方程解应用题的方法步骤:
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车行30 km到B地，甲比乙每小时少骑3 km，结果乙早到40分钟，若设乙每小时走 x km，则可列方程（ ）
A. B. .
C. . D. .
2.受疫情的影响，“84”消毒液需求量猛增，某商场用4000元购进一批“84”消毒液后，供不应求，商场又用6750元购进第二批这种消毒液，所购的瓶数是第一批瓶数的1.5倍，但每瓶单价贵了1元，则该商场第一批购进“84”消毒液每瓶的单价为______元．
D
8
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15 km，可早到10分钟，每小时骑12 km就会迟到5分钟．求他家到学校的距离．设他家到学校的距离是x km，则根据题意列出的方程是_________________．
4. 某工程队准备修建一条长1200 m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路x m，则根据题意可列方程为___________________．
作业布置
【综合拓展类作业】
5.根据城市规划, 某市工程队准备为该城市修建一条长4 800米的公路. 铺设600m后, 为尽量减少施工对城市交通造成的影响, 该工程队增加人力, 实际每天修建公路的长度是原计划的 2倍, 结果9天完成任务. 该工程队原计划每天铺设公路多少米
解: 设原计划每天铺设公路x米, 由题意得
解得x=300
经检验: x=300是原方程的解, 且符合题意
答: 原计划每天铺设公路300米.
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