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专题强化（9）机械能守恒定律的理解
学习目标 核心素养
1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化. 2.知道机械能守恒的条件，会判断一个过程机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题． 1、物理观念：动能、势能、机械能的概念、机械能守恒定律。 2、科学思维：建立守恒思想。 3、科学探究：动能和势能的相互转化，推导机械能守恒。 4、科学态度与责任：应用机械能守恒解决生产、生活中的实际问题。
知识点1 机械能守恒定律的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
（2023 东莞市开学）如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲图中，从光滑滑梯上加速下滑的小朋友机械能不守恒
B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒
C．丙图中，在光滑的水平面上，小球的机械能守恒
D．丁图中，气球匀速上升时，机械能不守恒
（2023春 桃江县期末）下列各实例的运动过程中（除A项外都不计空气阻力），机械能守恒的是（ ）
A．带着张开的降落伞的跳伞运动员在空中匀速下落
B．抛出的标枪在空中运动
C．拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升
D．在光滑水平面上运动的小球，碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来
（2023春 绵阳期末）如图所示，轻绳一端连接穿在竖直光滑杆上的物体A，另一端通过定滑轮连接放在光滑斜面上的物体B，斜面固定。斜面上放置一轻质弹簧，弹簧下端固定在斜面底端的挡板上，上端与物体B连接，物体A在离滑轮最近的O点时弹簧恰好处于原长。物体A从a点静止释放经过O点运动到b点，Oa与Ob长度相等，不计一切摩擦力和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．在物体A从a点运动到O点的过程中，物体A的机械能不变
B．在物体A从a点运动到O点的过程中，物体A和物体B机械能之和不变
C．物体A从a点到b点，物体A机械能的减少量等于物体B动能增加量
D．物体A在b点时，速度为零
知识点2 单物体的机械能守恒问题
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
（2023春 黄山期末）不可伸长的轻绳长L，一端系在O点，另一端系一质量为m的小球（视为质点）。小球从A点静止释放（阻力不计），此时绳子和竖直方向夹37°角，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，B点在O点正下方。则下列说法正确的是（ ）
A．在A点释放时，轻绳拉力大小等于0.6mg
B．小球由A到B的过程中绳子拉力大小可能不变
C．小球不能到达左侧等高的C点
D．在B处绳子拉力大小是1.4mg
（2023春 长寿区期末）如图所示，把一个小球用细线悬挂起来，将小球拉离竖直位置某一角度由静止释放，就成为一个摆。若摆长为l，小球质量为m，小球在摆动过程中最大偏角为θ，重力加速度为g。设阻力可以忽略。小球在摆动的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点时加速度为零
B．小球受到重力和拉力的作用，机械能不守恒
C．小球运动到最低点时所受重力与拉力大小相等
D．以最低点为重力势能零点，则小球具有的机械能为mgl（1﹣cosθ）
（2023春 永昌县校级期末）一种弹射游戏装置的简化示意图如图所示，它由弹射器、水平直轨道AB、半径R＝1.6m的竖直圆轨道BC、倾斜轨道DE连接组成，E点距地高度h＝0.8m，小球经过E点后将沿水平方向射出。质量为m＝0.1kg（可视为质点）小球经弹射器水平弹出后，恰能通过C点，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小球通过C点时的速度大小；
（2）弹簧储存的弹性势能Ep；
（3）小球落地时的水平射程。
知识点3 连接体的机械能守恒问题
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。
3．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B运动的过程中，A、B的速度并非均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程不相等，则A、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
类型1 链条类机械能守恒问题
如图所示，质量为m的均匀金属链条，长为L，有一半在光滑的足够高的斜面上，另一半竖直下垂在空中。已知斜面倾角为30°，顶端是一个很小的圆弧。从静止开始释放后整个链条滑动，当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能的减少量为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 吉安期末）如图所示，有一条长为L＝1.5m的均匀金属链条，有L在光滑的足够高的斜面上，另L竖直下垂在空中，在外力作用下静止不动。斜面顶端P是一个很小的光滑圆弧，斜面倾角为37°。忽略空气阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6。当撤去外力后链条滑动，则链条刚好全部越过P时的速率为（ ）
A．3m/s B．m/s C．1m/s D．m/s
（2023春 江岸区期末）如图所示，总长度为l，质量为m的柔软链条一半放置在水平粗糙桌面，另一半悬置空中。由静止释放链条，链条左端点离开桌面前的过程中阻力做功大小为W。当链条左端点离开桌面时链条处于竖直状态，重力加速度为g，此时链条的动能为（ ）
A． B． C． D．
类型2 轻绳连接的物体系统
（2023秋 顺义区校级月考）如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球b，则下列判断正确的是（ ）
A．经过时间，球b恰好落地
B．在球b下落过程中，球b所受拉力大小为mg
C．在球b下落过程中，球a的机械能增加了
D．球b落地前瞬间速度大小为
（2023 陕西开学）如图所示，质量都为1kg的物体P、Q跨过光滑定滑轮用细绳连接，物体P在光滑的水平面上向左运动，当物体P的动能由9J变为4J时，取重力加速度大小g＝10m/s2，在这个过程中物体Q上升的高度为（ ）
A．1.5m B．1m C．2m D．2.5m
（2023 海淀区校级开学）如图所示，质量均为1kg的两个小物体A和B用轻绳连接，绳跨过位于倾角为α＝30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平面上。现将A从静止释放，释放时A距地面的高度为0.8m，g取10m/s2，则（ ）
A．A落地前，B的加速度大小为5m/s2
B．因绳的拉力对物体做功，所以A落地前A、B两物体组成的系统机械能不守恒
C．物体A落地瞬间的速率为2m/s
D．若A与地面作用0.1s速度减为零停在地面上，则地面对A的平均作用力为20N
类型3 轻杆连接的物体系统
（2023春 南康区校级期中）如图所示，A、B两小球质量均为m，A球位于半径为R的竖直光滑圆轨道内侧，B球穿过固定的光滑竖直长杆，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆的延长线过轨道圆心O。两球用轻质铰链与长为L（L＞2R）的轻杆连接，连接两球的轻杆能随小球自由移动，某时刻小球A获得水平向左的初速度，沿着圆环恰能上升到P点。其中M、N、P三点分别为圆轨道上最低点、圆心的等高点和最高点，重力加速度为g（ ）
A．小球A的初动能为
B．当小球A到达P点时，其加速度大小一定为g
C．当小球A运动到N点时，A球与B球的速度大小之比为2：1
D．小球A从M点运动到P点过程中，B球速度先增大后减小
（2022秋 和平区校级期末）如图所示，在水平地面上有一个表面光滑的直角三角形物块M，长为L的轻杆下端用光滑铰链连接于O点（O点固定于地面上），上端连接小球m，小球靠在物块左侧，水平向左的推力F施于物块，整个装置静止。若撤去力F，下列说法正确的是（ ）
A．物块先做加速运动，后做减速运动直至静止
B．小球与物块分离时，轻杆中有力
C．小球与物块分离时，若轻杆与水平地面成α角，小球的角速度大小为ω，则物块的速度大小是ωLsinα
D．小球落地的瞬间与物块分离
类型4 含弹簧类机械能守恒问题
1．物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．
2．发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．
（2023 万安县校级开学）在足够长的光滑平台左端锁定一被压缩的轻质弹簧，一个可视为质点的质量m＝0.04kg的滑块与弹簧接触但不栓接。某一时刻释放弹簧弹出滑块，滑块从平台右端A点水平飞出，恰能落到B点，刚好无碰撞地沿着倾斜轨道BC滑下。已知AB的竖直高度h＝0.45m，倾斜轨道BC长L＝2.0m，轨道倾角α＝37°，BC通过粗糙水平轨道CD与光滑竖直半圆轨道DE和连，CD长s＝1.3m，滑块与BC、CD的动摩擦因数μ＝0.5，各部分平滑连接。（g＝10m/s2，cos37°＝0.8，sin37°＝0.6）求：
（1）弹簧处于锁定状态时的弹性势能；
（2）小球经过D点时速度大小；
（3）若小球能运动到轨道最高点E，竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件；
（4）小球从最高点E水平抛出，落在水平轨道的F点（图中未画出），F离竖直半圆轨道D点的水平距离为x，仅改变轨道半径R，当R为何值时x有最大值，最大值为多少？
（2023春 青羊区校级月考）如图所示，倾角30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个质量均为m＝1kg的物块B和C，C紧靠着挡板P，B通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量M＝8kg的物块A连接，细绳平行于斜面，A在外力作用下静止在圆心角为60°、半径R＝2m的光滑圆弧轨道的顶端a处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b与长度为Lbc＝2m的粗糙水平轨道bc相切，bc与一个半径r＝0.2m的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放A，当A滑至b时，C恰好离开挡板P，此时绳子断裂。已知重力加速度取g＝10m/s2，弹簧的形变始终在弹性限度内，细绳不可伸长。答案可含根号，求：
（1）物块A滑至b处瞬间，A、B两物块的速度大小之比；
（2）物块A滑至b处，绳子断裂瞬间，物块A的速度大小；
（3）为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，物块A与水平轨道bc之间的动摩擦因数μ应满足什么条件？
（2023春 兴化市校级期末）在如图四幅图示的运动过程中，物体机械能不守恒的是（均不计空气阻力）（ ）
A．图（甲）中，滑雪者沿光滑斜面自由下滑
B．图（乙）中，过山车关闭油门后通过不光滑的竖直圆轨道
C．图（丙）中，小球在水平面内做匀速圆周运动
D．图（丁）中，石块从高处被斜向上抛出后在空中运动
（2023 湖南开学）光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆型，半径R，固定在竖直平面内。质量相等的A、B两小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上。将AB两环从图示位置静止释放，释放时A环离底部高度2R。不考虑轻杆和轨道的接触，忽略系统机械能的损失，下列说法正确的是（ ）
A．AB两环在图示轨道上运动的整个过程中，杆对两环均无作用力
B．当A环到达最低点时，两环速度等于
C．当B环到达最低点时，两环速度大于
D．A环运动到长轨道右侧的最大高度小于最初释放时B环的高度
（2023 荔湾区校级开学）2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程作适当简化：如图所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道PA运动至A点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于B点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是（ ）
A．天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中机械能持续增大
B．天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期
C．天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态
D．天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度
（2023春 唐山期末）通过乘坐唐山科技馆内的电梯，可以俯瞰唐山科技馆内的物理科普楼层。下列对于高中生乘坐电梯上楼的过程中，说法中正确的是（ ）
A．学生的动能一直增加
B．学生的重力势能一直增大
C．学生一直处于超重状态
D．学生的机械能守恒
（2023春 山西期末）2023年5月7日，在加拿大举行的世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站顺利落幕，中国跳水“梦之队”实现包揽全部9枚金牌的壮举，以9金1银的成绩位列奖牌榜第一。如图所示，某质量为m的运动员（可视为质点）从距离水面高度为h的跳台以初速度v0斜向上起跳，最终落水中。重力加速度大小为g，不计空气阻力，以跳台所在水平面为重力势能的参考平面，则（ ）
A．运动员在空中运动时的机械能先减小后增大
B．运动员入水时的动能为
C．运动员入水时的机械能为
D．运动员入水时的重力势能为mgh
（2023春 安丘市月考）某水上滑梯的简化结构图如图所示。总质量为m的滑船（包括游客），从图甲所示倾角θ＝53°的光滑斜轨道上A点由静止开始下滑，到达B点时，进入一段与斜轨道相切的半径R＝12.5m的光滑圆弧轨道BC，C点为与地面相切的圆弧轨道最低点，在C点时对轨道的压力为1.8mg，之后轨道扭曲（D与BC不在同一个竖直面内），划船从D点沿切线方向滑上如图乙所示的足够大光滑斜面abcd，速度方向与斜面水平底边ad成夹角θ＝53°。已知斜面abcd与水平面成β＝37°角，最后滑船由斜面水平底边ad上的E点进入水平接收平台，已知DE长L＝8m，g取10m/s2。求：
（1）A点距离地面高度H；
（2）滑船运动到D点的速度大小vD及从D点到E点的运动时间t。
（2023 常熟市开学）如图所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一轻定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m＝2kg的小球A。半径R＝0.3m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m＝2kg的小球B，用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响。现对小球A施加一个水平向右的恒力F＝60N。（g取10m/s2 ），求：
（1）小球B被拉到与小球A速度大小相等时，小球B距离地面高度；
（2）把小球B从地面拉到P的正下方时，求小球B的速度大小以及此时小球B对圆形细轨道的压力；
（3）在第（2）小题的情况下，此时撤去F，求小球B落到地面时的速度大小。
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专题强化（9）机械能守恒定律的理解
学习目标 核心素养
1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化. 2.知道机械能守恒的条件，会判断一个过程机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题． 1、物理观念：动能、势能、机械能的概念、机械能守恒定律。 2、科学思维：建立守恒思想。 3、科学探究：动能和势能的相互转化，推导机械能守恒。 4、科学态度与责任：应用机械能守恒解决生产、生活中的实际问题。
知识点1 机械能守恒定律的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
（2023 东莞市开学）如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲图中，从光滑滑梯上加速下滑的小朋友机械能不守恒
B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒
C．丙图中，在光滑的水平面上，小球的机械能守恒
D．丁图中，气球匀速上升时，机械能不守恒
【解答】解：A、甲图中，从光滑滑梯上加速下滑的小朋友，只有重力做功，其机械能守恒，故A错误；
B、乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客动能不变，重力势能时刻变化，其机械能时刻在变化，故B错误；
C、丙图中，弹簧对小球要做功，所以小球的机械能不守恒，故C错误；
D、丁图中，气球匀速上升时，动能不变，重力势能增大，则机械能增大，故D正确。
故选：D。
（2023春 桃江县期末）下列各实例的运动过程中（除A项外都不计空气阻力），机械能守恒的是（ ）
A．带着张开的降落伞的跳伞运动员在空中匀速下落
B．抛出的标枪在空中运动
C．拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升
D．在光滑水平面上运动的小球，碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来
【解答】解：A、跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落时，其动能不变，重力势能减小，二者之和即机械能减小，故A错误；
B、被抛出的标枪在空中运动时，只有重力做功，其机械能守恒，故B正确；
C、金属块在拉力作用下沿着光滑的斜面匀速上升时，其动能不变，重力势能变大，二者之和即机械能变大，故C错误；
D、小球碰到弹簧被弹回的过程中只有弹簧弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，在此过程中，弹簧对小球会做功，所以小球的机械能不守恒，故D错误。
故选：B。
（2023春 绵阳期末）如图所示，轻绳一端连接穿在竖直光滑杆上的物体A，另一端通过定滑轮连接放在光滑斜面上的物体B，斜面固定。斜面上放置一轻质弹簧，弹簧下端固定在斜面底端的挡板上，上端与物体B连接，物体A在离滑轮最近的O点时弹簧恰好处于原长。物体A从a点静止释放经过O点运动到b点，Oa与Ob长度相等，不计一切摩擦力和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．在物体A从a点运动到O点的过程中，物体A的机械能不变
B．在物体A从a点运动到O点的过程中，物体A和物体B机械能之和不变
C．物体A从a点到b点，物体A机械能的减少量等于物体B动能增加量
D．物体A在b点时，速度为零
【解答】解：A．在物体A从a点运动到O点的过程中，除重力以外还受到绳子拉力做正功，物体A的机械能不守恒，故A错误；
B．在物体A从a点运动到O点的过程中，物体A和物体B组成的系统额外还受到弹簧弹力做功，系统机械能不守恒，故B错误；
C．物体A从a点到b点，弹簧的弹力对物体B先做做功，然后做负功，弹簧的形变量相同，弹力对物体B做功的代数和为零，系统的机械能守恒；根据机械能守恒定律，物体A机械能的减少量等于物体B动能增加量，故C正确；
D．物体A从a点到b点过程，根据能量守恒可知，物体A减小的重力势能转化为物体A和物体B的动能，因此物体A在b点时，速度不为零，故D错误。
故选：C。
知识点2 单物体的机械能守恒问题
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
（2023春 黄山期末）不可伸长的轻绳长L，一端系在O点，另一端系一质量为m的小球（视为质点）。小球从A点静止释放（阻力不计），此时绳子和竖直方向夹37°角，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，B点在O点正下方。则下列说法正确的是（ ）
A．在A点释放时，轻绳拉力大小等于0.6mg
B．小球由A到B的过程中绳子拉力大小可能不变
C．小球不能到达左侧等高的C点
D．在B处绳子拉力大小是1.4mg
【解答】解：A、在A点释放时，沿绳子方向上受力平衡，则轻绳拉力大小TA＝mgcos37°＝0.8mg，故A错误；
B、设绳子与竖直方向夹角为θ，小球由A到B的过程中，θ减小，小球速度逐渐增大，所需向心力逐渐增大，而F向＝T﹣mgcosθ，得T＝F向+mgcosθ，θ减小，mgcosθ值增大，故绳子拉力T逐渐增大，故B错误；
C、A、C点等高，根据机械能守恒定律可知小球能到达左侧等高的C点，故C错误；
D、设小球在最低点时的速度大小为v，小球由A到B的过程中，根据机械能守恒定律可得
根据绳子的拉力与重力的合力提供向心力，得
联合解得：T＝1.4mg，故D正确。
故选：D。
（2023春 长寿区期末）如图所示，把一个小球用细线悬挂起来，将小球拉离竖直位置某一角度由静止释放，就成为一个摆。若摆长为l，小球质量为m，小球在摆动过程中最大偏角为θ，重力加速度为g。设阻力可以忽略。小球在摆动的过程中，以下说法正确的是（ ）
A．小球运动到最高点时加速度为零
B．小球受到重力和拉力的作用，机械能不守恒
C．小球运动到最低点时所受重力与拉力大小相等
D．以最低点为重力势能零点，则小球具有的机械能为mgl（1﹣cosθ）
【解答】解：A、小球在最高点时加速度为agsinθ，故A错误；
B、小球受到重力和拉力的作用，但拉力不做功，只有重力做功，小球的机械能守恒，故B错误；
C、小球运到最低点有FT﹣mg＝Fn，则小球运动到最低点时所受重力的大小小于拉力的大小，故C错误；
D、以最低点为重力势能零点，而小球在最高点的机械能只有重力势能，则小球具有的机械能为E＝mgl（1﹣cosθ），故D正确。
故选：D。
（2023春 永昌县校级期末）一种弹射游戏装置的简化示意图如图所示，它由弹射器、水平直轨道AB、半径R＝1.6m的竖直圆轨道BC、倾斜轨道DE连接组成，E点距地高度h＝0.8m，小球经过E点后将沿水平方向射出。质量为m＝0.1kg（可视为质点）小球经弹射器水平弹出后，恰能通过C点，不计一切阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小球通过C点时的速度大小；
（2）弹簧储存的弹性势能Ep；
（3）小球落地时的水平射程。
【解答】解：（1）小球通过C点时，由牛顿第二定律有
解得：vC＝4m/s
（2）小球从释放至运动到C点，由机械能守恒定律有
解得：Ep＝4J
（3）小球从C到E的过程中，由机械能守恒定律有
在竖直方向上：
在水平方向上：x＝vEt
解得：x＝3.2m
知识点3 连接体的机械能守恒问题
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。
3．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B运动的过程中，A、B的速度并非均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程不相等，则A、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
类型1 链条类机械能守恒问题
如图所示，质量为m的均匀金属链条，长为L，有一半在光滑的足够高的斜面上，另一半竖直下垂在空中。已知斜面倾角为30°，顶端是一个很小的圆弧。从静止开始释放后整个链条滑动，当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能的减少量为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：取斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面。开始时，斜面上的那部分链条的重力势能为Ep1 sinθ
竖直下垂的那部分链条的重力势能为Ep2
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为Ep＝﹣mg
重力势能的减少量为ΔEp＝Ep1+Ep2﹣Ep，解得：ΔEpmgL，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023春 吉安期末）如图所示，有一条长为L＝1.5m的均匀金属链条，有L在光滑的足够高的斜面上，另L竖直下垂在空中，在外力作用下静止不动。斜面顶端P是一个很小的光滑圆弧，斜面倾角为37°。忽略空气阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6。当撤去外力后链条滑动，则链条刚好全部越过P时的速率为（ ）
A．3m/s B．m/s C．1m/s D．m/s
【解答】解：设链条的质量为m，则链条在斜面上的部分沿斜面向下的分力为，斜面左侧链条部分的重力为，所以链条沿着斜面下滑，
以P点所在平面为零势能面，链条初始状态的机械能
链条全部下滑出后，链条的机械能
链条下滑过程，只有重力做功，所以链条初末状态机械能守恒，则有E＝E′
代入数据可得：，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023春 江岸区期末）如图所示，总长度为l，质量为m的柔软链条一半放置在水平粗糙桌面，另一半悬置空中。由静止释放链条，链条左端点离开桌面前的过程中阻力做功大小为W。当链条左端点离开桌面时链条处于竖直状态，重力加速度为g，此时链条的动能为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：以桌面上那部分链条为研究对象，采用“割补法”进行分析，可认为竖直部分不变，将桌面上那部分链条接在竖直部分下面，如图所示：
重力势能的减少相当于桌面那部分链条重力势能的减少，故有：ΔEpmg（）mgl
根据功能关系可知，该过程中重力做的功为：WGmgl
此过程中，根据动能定理可得：WG﹣W＝Ek，解得：Ekmgl﹣W，故A正确、BCD错误。
故选：A。
类型2 轻绳连接的物体系统
（2023秋 顺义区校级月考）如图所示，一条轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球a和b，用手托住球b，当绳刚好被拉紧时，球b离地面的高度为h，球a静止于地面。已知球a的质量为m，球b的质量为3m，重力加速度为g，定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计。若无初速度释放球b，则下列判断正确的是（ ）
A．经过时间，球b恰好落地
B．在球b下落过程中，球b所受拉力大小为mg
C．在球b下落过程中，球a的机械能增加了
D．球b落地前瞬间速度大小为
【解答】解：A、以两球整体为研究对象，根据牛顿第二定律得：3mg﹣mg＝4ma
解得a
根据h
解得t＝2，即经过时间2，球b恰好落地，故A错误；
B、设绳子的拉力为T，对b球，根据牛顿第二定律得：3mg﹣T＝3ma
解得T＝1.5mg
故B错误；
C、在球b下落过程中，球a的机械能的增加量等于拉力做的功ΔE＝Th＝1.5mgh
故C正确；
D、对于两小球组成的系统，由于只有重力做功，所以系统机械能守恒，则3mgh﹣mgh（3m+m）v2，可得球b落地前瞬间速度大小为v，故D错误。
故选：C。
（2023 陕西开学）如图所示，质量都为1kg的物体P、Q跨过光滑定滑轮用细绳连接，物体P在光滑的水平面上向左运动，当物体P的动能由9J变为4J时，取重力加速度大小g＝10m/s2，在这个过程中物体Q上升的高度为（ ）
A．1.5m B．1m C．2m D．2.5m
【解答】解：光滑的水平面、光滑定滑轮，则物体P、Q组成的系统机械能守恒
满足ΔEkp+ΔEkQ＝﹣ΔEQp
又
ΔEkp＝ΔEkQ
得
ΔEQp＝﹣2ΔEkp＝﹣2×（4J﹣9J）＝10J
又
ΔEQp＝mgh
故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2023 海淀区校级开学）如图所示，质量均为1kg的两个小物体A和B用轻绳连接，绳跨过位于倾角为α＝30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平面上。现将A从静止释放，释放时A距地面的高度为0.8m，g取10m/s2，则（ ）
A．A落地前，B的加速度大小为5m/s2
B．因绳的拉力对物体做功，所以A落地前A、B两物体组成的系统机械能不守恒
C．物体A落地瞬间的速率为2m/s
D．若A与地面作用0.1s速度减为零停在地面上，则地面对A的平均作用力为20N
【解答】解：A、对A、B系统，由牛顿第二定律有
mAg﹣mBgsinθ＝（mA+mB）a
代入数据解得：a＝2.5m/s2
故A错误；
B、对A、B系统来说，绳子的拉力属于内力，故绳子的拉力不需要考虑，由于整体只有重力做功，故系统的机械能守恒，故B错误；
C、对物体A，由速度—位移公式有：v2＝2ah
代入数据解得物体A落地瞬间的速率为：v＝2m/s，故C正确；
D、选竖直向上方向为正方向，对物体A，由动量定理有
解得：30N，故D错误；
故选：C。
类型3 轻杆连接的物体系统
（2023春 南康区校级期中）如图所示，A、B两小球质量均为m，A球位于半径为R的竖直光滑圆轨道内侧，B球穿过固定的光滑竖直长杆，杆和圆轨道在同一竖直平面内，杆的延长线过轨道圆心O。两球用轻质铰链与长为L（L＞2R）的轻杆连接，连接两球的轻杆能随小球自由移动，某时刻小球A获得水平向左的初速度，沿着圆环恰能上升到P点。其中M、N、P三点分别为圆轨道上最低点、圆心的等高点和最高点，重力加速度为g（ ）
A．小球A的初动能为
B．当小球A到达P点时，其加速度大小一定为g
C．当小球A运动到N点时，A球与B球的速度大小之比为2：1
D．小球A从M点运动到P点过程中，B球速度先增大后减小
【解答】解：A、小球A恰好能上升到P点，此时小球A的速度为水平方向，小球B的速度为零，杆的弹力大小为mg，对A根据牛顿第二定律可得：2mg＝m
取最低点所在的平面为零势能面，根据机械能守恒定律有：2mg×2R
联立解得小球A的初动能为：Ek05mgR，故A错误；
B、当小球A到达P点时，合外力为2mg，根据牛顿第二定律可得：2mg＝ma，解得加速度大小a＝2g，方向向下，故B错误；
C、设小球A在N点时，小球连接轻杆与竖直光滑杆的夹角为θ，小球A与B沿轻杆方向的分速度相等，如图所示：
根据几何关系可得：vAcosθ＝vBcosθ，此时小球A、B的速度大小相等，故C错误；
D、小球A在M，P两点的速度均沿水平方向，所以沿轻杆方向的速度为零，小球B的速度也就为零，所以小球A从M点运动到P点过程中，B球速度先增大后减小，故D正确。
故选：D。
（2022秋 和平区校级期末）如图所示，在水平地面上有一个表面光滑的直角三角形物块M，长为L的轻杆下端用光滑铰链连接于O点（O点固定于地面上），上端连接小球m，小球靠在物块左侧，水平向左的推力F施于物块，整个装置静止。若撤去力F，下列说法正确的是（ ）
A．物块先做加速运动，后做减速运动直至静止
B．小球与物块分离时，轻杆中有力
C．小球与物块分离时，若轻杆与水平地面成α角，小球的角速度大小为ω，则物块的速度大小是ωLsinα
D．小球落地的瞬间与物块分离
【解答】解：A、当撤去力F后，随着直角三角形物块M向右运动，小球m边转动边随同直角三角形物块M向右运动，因为小球m对直角三角形物块M有向右的力，所以物块M先做加速运动，当两者分离后两者作用力为0，又由于物块表面光滑，所以接着做匀速运动，故A错误；
B、由于物块分开后做匀速运动，所以小球与物块分离时两者水平方向加速度为0，且两者之间作用力也为0，又因为杆为可动杆作用力沿杆，若杆有作用力必然有水平方向分力，与实际不否，故小球与物块分离时，轻杆中无力，故B错误；
CD、对小球的运动速度分解，如图所示：
两物体水平速度相同，小球角速度为ω，则小球的线速度v＝ωL，方向垂直杆向下，然后分解为水平速度vx＝ωLsinα，即为两物体分离时物块的速度；
由于小球落地前水平方向会减速，在落地瞬间水平速度减为0，但物块分离后做匀速，因此在落地前小球和物块已分离，故C正确，D错误。
故选：C。
类型4 含弹簧类机械能守恒问题
1．物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．
2．发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．
（2023 万安县校级开学）在足够长的光滑平台左端锁定一被压缩的轻质弹簧，一个可视为质点的质量m＝0.04kg的滑块与弹簧接触但不栓接。某一时刻释放弹簧弹出滑块，滑块从平台右端A点水平飞出，恰能落到B点，刚好无碰撞地沿着倾斜轨道BC滑下。已知AB的竖直高度h＝0.45m，倾斜轨道BC长L＝2.0m，轨道倾角α＝37°，BC通过粗糙水平轨道CD与光滑竖直半圆轨道DE和连，CD长s＝1.3m，滑块与BC、CD的动摩擦因数μ＝0.5，各部分平滑连接。（g＝10m/s2，cos37°＝0.8，sin37°＝0.6）求：
（1）弹簧处于锁定状态时的弹性势能；
（2）小球经过D点时速度大小；
（3）若小球能运动到轨道最高点E，竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件；
（4）小球从最高点E水平抛出，落在水平轨道的F点（图中未画出），F离竖直半圆轨道D点的水平距离为x，仅改变轨道半径R，当R为何值时x有最大值，最大值为多少？
【解答】解：（1）小球从A到B做平抛运动，由平抛运动规律有
解得小球在B点瞬间竖直方向的速度大小：vy＝3m/s
刚好无碰撞地沿着倾斜轨道BC滑下，所以有
解得：vA＝vx＝4m/s
由机械能守恒可得弹簧处于锁定状态时的弹性势能为
（2）在B点速度为
从B到D，由动能定理得
解得：
（3）当小球恰好能到达竖直圆轨道最高点时，由重力提供向心力，则有
从D到圆轨道最高点，由动能定理得
﹣mg 2R
联立解得：R＝0.4m
所以使小球能运动到轨道最高点E，竖直圆弧轨道的半径应满足的条件为R≤0.4m；
（4）小球从E点飞出后做平抛运动，竖直方向
水平方向
x＝vEt1
从D到E，由动能定理有：
﹣mg 2R
联立得
所以当时，x有最大值为：xm＝1m
（2023春 青羊区校级月考）如图所示，倾角30°的光滑斜面上，轻质弹簧两端连接着两个质量均为m＝1kg的物块B和C，C紧靠着挡板P，B通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量M＝8kg的物块A连接，细绳平行于斜面，A在外力作用下静止在圆心角为60°、半径R＝2m的光滑圆弧轨道的顶端a处，此时绳子恰好拉直且无张力；圆弧轨道最低端b与长度为Lbc＝2m的粗糙水平轨道bc相切，bc与一个半径r＝0.2m的光滑圆轨道平滑连接。由静止释放A，当A滑至b时，C恰好离开挡板P，此时绳子断裂。已知重力加速度取g＝10m/s2，弹簧的形变始终在弹性限度内，细绳不可伸长。答案可含根号，求：
（1）物块A滑至b处瞬间，A、B两物块的速度大小之比；
（2）物块A滑至b处，绳子断裂瞬间，物块A的速度大小；
（3）为了让物块A能进入圆轨道且不脱轨，物块A与水平轨道bc之间的动摩擦因数μ应满足什么条件？
【解答】解：（1）物块A在b处时，将A的速度沿绳和垂直于绳方向分解，A的速度沿绳的分速度等于B的速度，A、B两物体的速度关系如图所示
由几何关系得：vAcos30°＝vB
可得A、B两物块的速度大小之比为。
（2）设物块A在a处时弹簧压缩x1，对物块B有：kx1＝mgsin30°
物块A在b处时，弹簧伸长x2，对物块C有：kx2＝mgsin30°
可见物块A在a处、b处时，弹簧的形变量x1＝x2，弹性势能相同。
物块从a到b，根据系统机械能守恒可得：
联立解得：
代入数据解得：vA＝4m/s
（3）当物块A到达圆轨道c时速度刚好为0，从b到c由动能定理得：
代入数据解得：μ＝0.4
物块A不脱离圆形轨道有两种情况。
第一种情况：不超过圆轨道上与圆心的等高点。设物块刚好到达圆心等高处。
从b点到圆心等高处，由动能定理可得：
代入数据解得：μ＝0.3
为了物块A能进入圆轨道且不超过圆轨道上与圆心的等高点，需满足0.3≤μ＜0.4；
第二种情况：过圆轨道最高点。在最高点，由牛顿第二定律可得：
A恰能过最高点时，有N＝0，
从b点到最高点，由动能定理可得
代入数据解得：μ＝0.15
为了物块A能进入圆轨道且越过圆轨道最高点，需满足μ≤0.15。
（2023春 兴化市校级期末）在如图四幅图示的运动过程中，物体机械能不守恒的是（均不计空气阻力）（ ）
A．图（甲）中，滑雪者沿光滑斜面自由下滑
B．图（乙）中，过山车关闭油门后通过不光滑的竖直圆轨道
C．图（丙）中，小球在水平面内做匀速圆周运动
D．图（丁）中，石块从高处被斜向上抛出后在空中运动
【解答】解：A、图甲中滑雪者沿光滑斜面自由下滑时，斜面的支持力不做功，只有重力做功，其机械能守恒，故A错误；
B、图乙中过山车关闭油门后通过不光滑的竖直圆轨道，阻力做负功，其机械能不断减小，即机械能不守恒，故B正确；
C、图丙中小球在水平面内做匀速圆周运动，动能不变，重力势能也不变，两者之和不变，即机械能守恒，故C错误；
D、图丁中石块从高处被斜向上抛出后在空中运动时，不计空气阻力，只受重力，只有重力做功，其机械能一定守恒，故D错误。
故选：B。
（2023 湖南开学）光滑的长轨道形状如图所示，底部为半圆型，半径R，固定在竖直平面内。质量相等的A、B两小环用长为R的轻杆连接在一起，套在轨道上。将AB两环从图示位置静止释放，释放时A环离底部高度2R。不考虑轻杆和轨道的接触，忽略系统机械能的损失，下列说法正确的是（ ）
A．AB两环在图示轨道上运动的整个过程中，杆对两环均无作用力
B．当A环到达最低点时，两环速度等于
C．当B环到达最低点时，两环速度大于
D．A环运动到长轨道右侧的最大高度小于最初释放时B环的高度
【解答】解：A、AB两环未进入半圆型时做自由落体运动，所受轻杆的弹力为零，但进入后AB做圆周运动，假设没有细杆，两环之间的距离会减小，因杆的存在，两环之间的距离不发生变化，说明此时杆对两环有作用力，故A错误。
B、AB都进入圆轨道后，两环具有相同角速度，则两环速度大小一定相等，A环到达最低点时，对整体根据机械能守恒定律，有：
mg 2R+mg （2R+Rcos60°） 2mv2
解得两环速度大小均为：v，故B正确；
C、同理，当B环到达最低点时，对整体根据机械能守恒定律，有：
mg 3R+mg （2R﹣Rcos60°） 2mv'2
解得两环速度大小均为：v'，故C错误；
D．由于无机械能损耗，所以A环运动到长轨道右侧的最大高度等于最初释放时B环的高度，故D错误；
故选：B。
（2023 荔湾区校级开学）2023年5月10日21时22分，天舟六号货运飞船发射成功，并于次日5时16分成功与中国天宫空间站对接，为航天员送去所需的服装、食物、水、实验设备等物资。现将其发射对接过程作适当简化：如图所示，圆轨道1为中国天宫空间站的运行轨道，天舟六号在运载火箭的托举下沿轨道PA运动至A点“船箭分离”，飞船进入与圆轨道1相切于B点的椭圆轨道2运行，最后择机与空间站对接。下列相关说法中正确的是（ ）
A．天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中机械能持续增大
B．天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期
C．天舟六号飞船由P点运动至B点的过程中，飞船内的物资始终处于超重状态
D．天舟六号飞船沿椭圆轨道2的运行速度始终小于与空间站对接后在轨道1上的运行速度
【解答】解：A、飞船由P点到B点过程中的A点到B点段，飞船只受万有引力，只有引力做功，其机械能守恒，故A错误；
B、由开普勒第三定律k，可知椭圆轨道的半长轴越小，飞船的运行周期越小。轨道2的半长轴比轨道1的小，因此飞船在轨道2的运行周期要小于空间站的运行周期，故B正确；
C、飞船由P点到A点，飞船获得外界提供的动力，加速上升，加速度向上，飞船内的物资处于超重状态。到飞船从A点到B点，只受地球对其的万有引力，处于完全失重状态，故C错误；
D、飞船在轨道2运动到B点要经历点火加速才能进入轨道1运动，则飞船在轨道2的B点运动速度比与空间站对接后在轨道1上的运行速度要小。飞船从近地圆轨道变轨到椭圆轨道，在近地点要加速，所以要椭圆上近地点速度大于近地轨道上的速度。根据v可知，飞船在轨道1上运动的速度小于在近地轨道上运动的速度，所以飞船在椭圆上近地点的速度大于在轨道1上的运行速度，可见飞船在椭圆轨道上运动的速度可以大于对接后在轨道1上的运行速度，故D错误。
故选：B。
（2023春 唐山期末）通过乘坐唐山科技馆内的电梯，可以俯瞰唐山科技馆内的物理科普楼层。下列对于高中生乘坐电梯上楼的过程中，说法中正确的是（ ）
A．学生的动能一直增加
B．学生的重力势能一直增大
C．学生一直处于超重状态
D．学生的机械能守恒
【解答】解：A．学生乘坐电梯上楼的过程中速度先增大后减小，动能先增大后减小，故A错误；
B．学生的高度一直增加，根据EP＝mgh可知，学生的重力势能一直增大，故B正确；
C．学生先加速后减速，加速度方向先向上后向下，所以学生先超重后失重，故C错误；
D．学生向上过程，电梯对学生的支持力做正功，学生的机械能增加，故D错误。
故选：B。
（2023春 山西期末）2023年5月7日，在加拿大举行的世界泳联跳水世界杯蒙特利尔站顺利落幕，中国跳水“梦之队”实现包揽全部9枚金牌的壮举，以9金1银的成绩位列奖牌榜第一。如图所示，某质量为m的运动员（可视为质点）从距离水面高度为h的跳台以初速度v0斜向上起跳，最终落水中。重力加速度大小为g，不计空气阻力，以跳台所在水平面为重力势能的参考平面，则（ ）
A．运动员在空中运动时的机械能先减小后增大
B．运动员入水时的动能为
C．运动员入水时的机械能为
D．运动员入水时的重力势能为mgh
【解答】解：A、不计空气阻力，运动员在空中运动时只有重力做功，其机械能守恒，故A错误；
B、以跳台所在水平面为重力势能的参考平面，根据机械能守恒定律得
Ek﹣mgh
解得运动员入水时的动能为：，故B正确；
C、以跳台所在水平面为重力势能的参考平面，则运动员的机械能为，由于机械能守恒，所以运动员入水时的机械能也为，故C错误；
D、以跳台所在水平面为重力势能的参考平面，运动员入水时的重力势能为﹣mgh，故D错误。
故选：B。
（2023春 安丘市月考）某水上滑梯的简化结构图如图所示。总质量为m的滑船（包括游客），从图甲所示倾角θ＝53°的光滑斜轨道上A点由静止开始下滑，到达B点时，进入一段与斜轨道相切的半径R＝12.5m的光滑圆弧轨道BC，C点为与地面相切的圆弧轨道最低点，在C点时对轨道的压力为1.8mg，之后轨道扭曲（D与BC不在同一个竖直面内），划船从D点沿切线方向滑上如图乙所示的足够大光滑斜面abcd，速度方向与斜面水平底边ad成夹角θ＝53°。已知斜面abcd与水平面成β＝37°角，最后滑船由斜面水平底边ad上的E点进入水平接收平台，已知DE长L＝8m，g取10m/s2。求：
（1）A点距离地面高度H；
（2）滑船运动到D点的速度大小vD及从D点到E点的运动时间t。
【解答】解：（1）滑船从A点滑到C点时，由机械能守恒定律得
在C点时，对滑船，由牛顿第二定律得
由题意，结合牛顿第三定律可知：FNC＝1.8mg
解得：H＝0.4R＝0.4×12.5m＝5m
（2）滑船在斜面上做类斜抛运动，在斜面上只受重力和斜面的支持力，则运动的加速度大小为
agsinβ＝10×sin37°m/s2＝6m/s2
沿斜面ab方向，有
沿斜面ad方向，有 L＝vDcosθt
以上三式联立得，
（2023 常熟市开学）如图所示，在距水平地面高为0.4m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一轻定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m＝2kg的小球A。半径R＝0.3m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量也为m＝2kg的小球B，用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来。杆和半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响。现对小球A施加一个水平向右的恒力F＝60N。（g取10m/s2 ），求：
（1）小球B被拉到与小球A速度大小相等时，小球B距离地面高度；
（2）把小球B从地面拉到P的正下方时，求小球B的速度大小以及此时小球B对圆形细轨道的压力；
（3）在第（2）小题的情况下，此时撤去F，求小球B落到地面时的速度大小。
【解答】解：（1）当细绳与轨道相切时，两球速度大小相等，设此时小球B距离地面高度为h，如图所示：
sinθ
sinθ
联立两式，解得：h＝0.225m
（2）把小球B从地面拉到P的正下方时，由几何知识可得力F作用点的位移为
x＝PB﹣PCm﹣（0.4﹣0.3）m＝0.4m
则WF＝Fx＝60×0.4J＝24J
B球到C点时，其沿绳分速度为零，所以此时小球A的速度为零，设小球B速度大小为vB，由功能关系有
WF＝mgRm
代入数据解得：vB＝3m/s
设小球B在C点所受轨道向下的支持力为FN，由牛顿第二定律和向心力公式有
mg+FN﹣F＝m
代入数据解得：FN＝160N
由牛顿第三定律可得，小球B对圆形细轨道的压力为；F压＝160N，方向竖直向上。
（3）小球B落到地面时情况，如图所示：
vA＝vB′cosα
cosα
由系统机械能守恒定律有：mgRmmm
联立方程，代入数据解得：vB′m/s
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