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专题强化（4）水平面内的圆周运动
学习目标 核心素养
掌握圆锥摆模型 2、掌握圆锥斗、圆碗、圆盘模型 1、物理观念：知道向心力是效果力。 2、科学思维：控制变量法研究向心力的大小与哪些因素有关；掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。 3、科学探究：通过受力分析去分析水平圆周运动
知识点1 圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
【讨论】：
(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度 =也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
5.多绳圆锥摆问题
随角速度增大，两绳的拉力如何变化？
（2023 浙江开学）某燃脂呼啦圈如图甲所示，在圈外有一个用杆相连的重力锤，小明不小心将杆弄断了，换了一根细绳绑住重力锤。当细绳与竖直方向的夹角为53°，计数器显示1min内转了40圈，运动过程中腰带可看作不动，重力锤绕人体在水平面内做匀速圆周运动，其简化图如图乙所示。已知重力锤的质量m＝0.4kg，绳长L＝0.45m，取π2＝10，则以下说法正确的是（ ）
A．若细绳不慎断裂，重力锤将做斜抛运动
B．若增大转速，腰带受到的合力变大
C．重力锤匀速转动的加速度大小约为7.5m/s2
D．细绳悬挂点到腰带中心的距离为0.39m
（多选）（2023春 腾冲市校级期末）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球一定受a绳的拉力作用
B．小球所受a绳的拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
（多选）（2023 官渡区校级开学）如图所示，用一根长为l的轻绳一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在光滑固定的圆锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角α＝37°，小球绕着锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，sin37°＝0.6。则（ ）
A．小球恰好离开锥面时的角速度为
B．若小球的角速度，小球对锥面的压力为零
C．若小球的角速度，绳子的拉力大小为
D．若小球的角速度，绳子的拉力F随着角速度ω变化的函数关系式为F＝mlω2
知识点2 圆锥斗、圆碗模型
一．圆锥斗
1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
2.受力特点：小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是, 则有
向心力.
支持力.
由此得，，。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
二．圆碗
受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
（2023 天心区校级开学）杂技演员骑着摩托车沿着光滑的内壁进行“飞车走壁”表演，演员和摩托车的总质量为m，演员骑着摩托车（视为质点）在不同平面做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．演员骑着摩托车经过C处的角速度大于D处的角速度
B．演员骑着摩托车经过C处的角速度小于D处的角速度
C．演员骑着摩托车经过C处受到的侧壁弹力小于D处受到的弹力
D．演员骑着摩托车经过C处受到的侧壁弹力等于D处受到的弹力
（多选）（2023春 阿拉善左旗校级期末）如图所示，质量不等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方。则下列说法正确的是（ ）
A．小球受到三个力
B．两个小球单位时间走过的路程不同
C．两个小球单位时间转过的角度相同
D．两个小球向心加速度的大小相同
（2023春 广州期中）如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在一长为3L的光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ＝37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：弹簧为原长时，弹簧的劲度系数k和小球的角速度ω0。
知识点3 圆盘模型
f静=mω2r ω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界： 隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB, ω临1= ①ωmin=
②μA<μB, ω临2= ②ωmax=
（2023 江都区校级开学）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA＝4kg，mB＝1kg，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为rA＝0.1m，rB＝0.2m，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，g＝10m/s2，以下正确的是（ ）
A．A的摩擦力先达到最大
B．当，绳子出现张力
C．当，AB两物体出现相对滑动
D．当，AB两物体出现相对滑动
（2023 山东模拟）如图所示，可视为质点、质量为M的物块用长为L的细绳拴接放在转盘上，细绳的另一端固定在通过转盘轴心的竖直杆上，细绳刚好伸直且与竖直方向的夹角为α。已知物块与转盘之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让整个装置由静止开始缓慢的加速转动起来。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，细绳的拉力不可能为零
B．从开始转动到细绳对物块刚有作用力的过程，转盘对物块所做的功为
C．当转盘的转速为时，物块刚好与转盘分离
D．从开始转动到物块刚好与转盘分离的过程中，转盘对物块所做的功为
（2023春 太康县校级期中）如图所示，质量均为m的小物块A、B分别置于正方形水平薄板abcd边缘上的a、e两点，e为ab边中点，薄板绕过中心的竖直轴转动。已知薄板边长为l，A与B、板与B间的动摩擦因数为μ，A与板间的动摩擦因数为μ。若两小物块均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若A、B均与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
B．若A、B均与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
C．将B叠放在a处的A上，若A、B均能与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
D．将B叠放在a处的A上，若A、B均能与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
（多选）（2023春 郑州期中）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔（小孔是光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中P′位置），两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（ ）
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的周期变大
D．小球P运动的角速度变大
（多选）（2023春 太原期中）智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱，如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为m＝0.5kg，绳长为l＝0.5m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动。若绳子与竖直方向夹角θ＝37°，运动过程中腰带可看成不动，重力加速度g取10m/s2，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）下列说法正确的是（ ）
A．配重做匀速圆周运动的半径为0.6m
B．配重的线速度大小为m/s
C．细绳对配重的拉力大小为6.25N
D．若细绳不慎断裂，配重将做自由落体运动
（多选）（2022秋 龙岩期末）四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D线速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
（2022秋 和田县校级期中）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和小球B紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定大于B球的角速度
C．A球运动的向心加速度必定小于B球的向心加速度
D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力
（多选）（2022春 郴州期末）一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则（ ）
A．A球的角速度必大于B球的角速度
B．A球的线速度必大于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必等于B球对筒壁的压力
（多选）（2023春 张家界期末）如图所示，A、B两个相同的茶杯放在餐桌上的自动转盘上，O为转盘圆心，B、O间距大于A、O间距，B杯中装满水，A杯是空杯，转盘在电动机的带动下匀速转动，A、B两杯与转盘始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．A受到的摩擦力比B的大
B．B受到的摩擦力比A的大
C．增大转动的角速度，B一定先滑动
D．增大转动的角速度，A有可能先滑动
（多选）（2023春 驻马店期末）如图所示，一质量为m的小球用两根轻绳AC、BC系着，绳的A、B端分别系于竖直长细杆顶端的A点和B点，A、B两点相距L，AC绳长为2L，且不可伸长，BC绳为弹性绳，原长为，杆的下端固定在位于地面上的水平转盘中心。现让杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动，此时AC绳摆开一定角度，小球随同在水平面内做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列分析正确的是（ ）
A．若此时BC绳处于拉伸状态，则杆转动的角速度为
B．若此时AC绳的拉力FAC＝2mg，则BC绳的拉力刚好为0
C．若此时从小球处突然剪断BC绳，则AC绳与杆的夹角将变小
D．若细杆转动的角速度为，则小球的速度大小应为
（2023春 碑林区校级期末）如图所示，一半径为R＝0.5m的水平转盘可以绕着竖直轴OO'转动，水平转盘中心O处有一个光滑小孔，用一根长为L＝1m的细线穿过小孔将质量分别为mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物块B连接。现让小球和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动起来，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3，且始终处于水平转盘的边缘处与转盘相对静止，取g＝10m/s2，求：
（1）若小球A的角速度ω＝5rad/s，细线与竖直方向的夹角θ；
（2）在满足（1）中的条件下，通过计算给出水平转盘角速度ωB的取值范围，并在图中画出f﹣ω2图像（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且规定沿半径指向圆心为正方向）；
（3）在水平转盘角速度ωB为（2）中的最大值的情况下，当小球A和小物块B转动至两者速度方向相反时，由于某种原因细线突然断裂，经过多长时间A和B的速度相互垂直。
（可能使用到的数据：sin30°，cos30°，sin37°，cos37°）
（2023春 房山区期中）如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径R为1米的圆盘。圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。放置在圆盘边缘的质量为m＝0.1kg的物体与圆盘之间的动摩擦因数为μ1＝0.4，与餐桌之间的动摩擦因数μ2＝0.2，餐桌高h＝0.8米。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g取m/s2。
（1）为使物体不滑到餐桌上，求圆盘的角速度的最大值ω；
（2）缓慢增大圆盘的角速度，物体将从圆盘上滑出。
a、为使物体不滑落到地面，求餐桌半径的最小值R1；
b、若餐桌半径R2＝1.25m，求物体离开圆盘后水平方向总位移x。
（2023春 郑州期中）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°。已知重力加速度大小为g。
（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0；
（2）若陶罐以角速度转动，小物块仍相对陶罐静止，求小物块此时所受的摩擦力的大小及方向？
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专题强化（4）水平面内的圆周运动
学习目标 核心素养
掌握圆锥摆模型 2、掌握圆锥斗、圆碗、圆盘模型 1、物理观念：知道向心力是效果力。 2、科学思维：控制变量法研究向心力的大小与哪些因素有关；掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。 3、科学探究：通过受力分析去分析水平圆周运动
知识点1 圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
【讨论】：
(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度 =也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
5.多绳圆锥摆问题
随角速度增大，两绳的拉力如何变化？
（2023 浙江开学）某燃脂呼啦圈如图甲所示，在圈外有一个用杆相连的重力锤，小明不小心将杆弄断了，换了一根细绳绑住重力锤。当细绳与竖直方向的夹角为53°，计数器显示1min内转了40圈，运动过程中腰带可看作不动，重力锤绕人体在水平面内做匀速圆周运动，其简化图如图乙所示。已知重力锤的质量m＝0.4kg，绳长L＝0.45m，取π2＝10，则以下说法正确的是（ ）
A．若细绳不慎断裂，重力锤将做斜抛运动
B．若增大转速，腰带受到的合力变大
C．重力锤匀速转动的加速度大小约为7.5m/s2
D．细绳悬挂点到腰带中心的距离为0.39m
【解答】解：A．若细绳不慎断裂，重力锤抛出是的速度水平，将做平抛运动，故A错误；
B．若增大转速，腰带始终不动，受力是平衡的，故合力为零，故B错误；
C．对小球受力分析得，合力提供小球向心力，则水平方向：mgtan53°＝ma
解得：agtan53°＝10m/s2m/s2，故C错误；
D．小球需要的向心加速度：a＝rω2＝rπ2n2
代入数据得：
解得：r＝0.39m，故D正确。
故选：D。
（多选）（2023春 腾冲市校级期末）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，当轻杆绕轴OO′以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，a绳与水平面成θ角，b绳平行于水平面且长为l，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球一定受a绳的拉力作用
B．小球所受a绳的拉力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
【解答】解：A．对小球受力分析，在竖直方向有：mg＝Tasinθ，可知小球一定受a绳的拉力作用，故A正确；
B．b绳绷紧，a绳竖直方向的分力不变，则小球所受a绳的拉力随角速度的增大保持不变，故B错误；
C．当b绳刚要绷紧出现弹力时，水平方向根据牛顿第二定律：
联立解得：ω
即当角速度：ω时，则b绳将出现弹力，故C正确；
D．由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故D错误。
故选：AC。
（多选）（2023 官渡区校级开学）如图所示，用一根长为l的轻绳一端系一质量为m的小球（可视为质点），另一端固定在光滑固定的圆锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角α＝37°，小球绕着锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，sin37°＝0.6。则（ ）
A．小球恰好离开锥面时的角速度为
B．若小球的角速度，小球对锥面的压力为零
C．若小球的角速度，绳子的拉力大小为
D．若小球的角速度，绳子的拉力F随着角速度ω变化的函数关系式为F＝mlω2
【解答】解：A．若小球刚好离开圆锥面，由重力和支持力的合力提供向心力，则有：，可得，故A错误；
BC．若小球的角速度
则小球对斜面有压力，
竖直方向：
水平方向：
绳子的拉力大小为，故B错误，C正确；
D．若小球的角速度，小球离开圆锥面，有
解得，故D正确。
故选：CD。
知识点2 圆锥斗、圆碗模型
一．圆锥斗
1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
2.受力特点：小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是, 则有
向心力.
支持力.
由此得，，。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
二．圆碗
受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
（2023 天心区校级开学）杂技演员骑着摩托车沿着光滑的内壁进行“飞车走壁”表演，演员和摩托车的总质量为m，演员骑着摩托车（视为质点）在不同平面做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A．演员骑着摩托车经过C处的角速度大于D处的角速度
B．演员骑着摩托车经过C处的角速度小于D处的角速度
C．演员骑着摩托车经过C处受到的侧壁弹力小于D处受到的弹力
D．演员骑着摩托车经过C处受到的侧壁弹力等于D处受到的弹力
【解答】解：设球的半径为R，对演员和摩托车受力分析，如下图所示：
重力和弹力的合力提供向心力，则有：mgtanθ＝mω2Rsinθ
代入数据可得：
演员和摩托车所受的弹力
C处球的半径与过O点的竖直线间的夹角比D处的大，即θC＞θD，则cosθC＜cosθD，所以ωC＞ωD，FNC＞FND，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）（2023春 阿拉善左旗校级期末）如图所示，质量不等的甲、乙两个小球，在光滑玻璃漏斗内壁做水平面内的匀速圆周运动，甲在乙的上方。则下列说法正确的是（ ）
A．小球受到三个力
B．两个小球单位时间走过的路程不同
C．两个小球单位时间转过的角度相同
D．两个小球向心加速度的大小相同
【解答】解：A、对小球受力分析，小球只受重力和支持力，由合力提供向心力，如图所示，故A错误；
B、由牛顿第二定律得：m，得v，θ相同，两球的轨道半径不等，则线速度大小不等，甲的轨道半径大，则甲的线速度大，甲球在单位时间走过的路程长，故B正确；
C、由牛顿第二定律得：mω2r，得ω，θ相同，甲的轨道半径大，则甲的角速度小，甲球在单位时间转过的角度小，故C错误；
D、由牛顿第二定律得：ma，得a，θ相同，两个小球向心加速度的大小相同，故D正确。
故选：BD。
（2023春 广州期中）如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在一长为3L的光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ＝37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：弹簧为原长时，弹簧的劲度系数k和小球的角速度ω0。
【解答】解：对静止时的小球进行受力分析，小球受到自身重力，杆的支持力，以及弹簧沿杆向上的弹力，将重力正交分解，可得到沿杆方向的平衡关系式：
mgsin37°＝F弹＝kΔx＝0.5kL，得到劲度系数k；
弹簧原长时，小球只受重力与支持力，合力指向水平方向的圆心，其受力分析示意图如下：
则向心力为F＝mgtan37°＝0.75mg，对小球列圆周运动的牛顿第二定律：0.75mg＝mω2r，其中r＝Lcos37°＝0.6L，将其代入求得：ω0。
知识点3 圆盘模型
f静=mω2r ω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界： 隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB, ω临1= ①ωmin=
②μA<μB, ω临2= ②ωmax=
（2023 江都区校级开学）如图所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置物体A和B，mA＝4kg，mB＝1kg，它们分居在圆心两侧，与圆心距离为rA＝0.1m，rB＝0.2m，中间用细线相连，A、B与盘间的动摩擦因数均为μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，若圆盘从静止开始绕中心转轴非常缓慢地加速转动，g＝10m/s2，以下正确的是（ ）
A．A的摩擦力先达到最大
B．当，绳子出现张力
C．当，AB两物体出现相对滑动
D．当，AB两物体出现相对滑动
【解答】解：A．若A达到最大静摩擦力时的临界角速度满足：
代入数据解得
同理可得B达到最大静摩擦力时的临界角速度为：
代入数据解得
则当圆盘转动的速度逐渐变大时，B先达到临界角速度值，则B的摩擦力先达到最大，故A错误；
B．当B的摩擦力达到最大时，转速再增加时，绳子出现张力，即当时，绳子出现张力，故B错误；
CD．A与B的角速度相等，A的质量是B的4倍而A做圆周运动的半径是B的，根据F＝mω2r可知A需要的向心力大，所以当AB两物体出现相对滑动时A背离圆心运动，B向着圆心运动，此时B受静摩擦力方向背离圆心，A受静摩擦力方向指向圆心，则对A：
对B：
解得，故C错误，D正确。
故选：D。
（2023 山东模拟）如图所示，可视为质点、质量为M的物块用长为L的细绳拴接放在转盘上，细绳的另一端固定在通过转盘轴心的竖直杆上，细绳刚好伸直且与竖直方向的夹角为α。已知物块与转盘之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanα，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现让整个装置由静止开始缓慢的加速转动起来。则下列说法正确的是（ ）
A．整个过程中，细绳的拉力不可能为零
B．从开始转动到细绳对物块刚有作用力的过程，转盘对物块所做的功为
C．当转盘的转速为时，物块刚好与转盘分离
D．从开始转动到物块刚好与转盘分离的过程中，转盘对物块所做的功为
【解答】解：AB、转盘刚开始转动，细绳未绷紧，细绳的拉力为零，此时由静摩摖力提供向心力，设转动到某一角速度ω1时，静摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律有：
此时物块线速度大小为：v1＝Lω1sinα
从开始运动到细绳中将要出现拉力过程中，设转盘对物块做的功为W，对物块由动能定理，可得
联立解得，故A错误，B正确；
C、当转盘对物块支持力恰好为零时，竖直方向由平衡条件有：Mg＝Tcosα
水平方向由牛顿第二定律有：
联立解得：
此时转盘的转速大小为n2，即，故C错误；
D、物块刚好与转盘分离时，物块的线速度大小为v2＝Lω2sinα
从开始运动到转盘对物块的支持力刚好为零过程上，设转盘对物块做的功为W2，对物块由动能定理，可得
联立解得，故D错误。
故选：B。
（2023春 太康县校级期中）如图所示，质量均为m的小物块A、B分别置于正方形水平薄板abcd边缘上的a、e两点，e为ab边中点，薄板绕过中心的竖直轴转动。已知薄板边长为l，A与B、板与B间的动摩擦因数为μ，A与板间的动摩擦因数为μ。若两小物块均可视为质点，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若A、B均与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
B．若A、B均与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
C．将B叠放在a处的A上，若A、B均能与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
D．将B叠放在a处的A上，若A、B均能与板相对静止，薄板转动的最大角速度为
【解答】解：AB、若A与板相对静止，此时薄板转动的最大角速度ω1满足：fAmμmg＝mω12 l，解得：ω1；
若B与板相对静止，此时薄板转动的最大角速度ω2满足：fBm＝μmg＝mω22 ，解得：ω2ω1。
若A、B均与板相对静止，则薄板转动的最大角速度为，故AB错误；
CD、将B叠放在a处的A上，若B能与板相对静止，此时薄板转动的最大角速度ω1′满足：μmg＝mω1′2 l，解得ω1′；
若A、B整体能与板相对静止，此时薄板转动的最大角速度ω2′满足：μ 2mg＝2mω2′2 l，解得：ω2′ω1′，故此时薄板转动的最大角速度为，故C错误，D正确。
故选：D。
（多选）（2023春 郑州期中）如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔（小孔是光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图中P′位置），两次金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（ ）
A．Q受到桌面的支持力变大
B．Q受到桌面的静摩擦力变大
C．小球P运动的周期变大
D．小球P运动的角速度变大
【解答】解：A、金属块Q保持在桌面上静止，根据平衡条件得知，Q受到桌面的支持力等于其重力，保持不变。故A错误。
B、C、D设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T，细线的长度为L．P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图：
则有：T，
mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω，周期T
使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cosθ减小，则
得到细线拉力T增大，角速度增大，周期T减小。对Q球，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力变大。故BD正确，C错误。
故选：BD。
（多选）（2023春 太原期中）智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱，如图甲，腰带外侧带有轨道，将带有滑轮的短杆穿入轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的轻绳，其简化模型如图乙所示。可视为质点的配重质量为m＝0.5kg，绳长为l＝0.5m，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2m，水平固定好腰带，通过人体微小扭动，使配重随短杆做水平匀速圆周运动。若绳子与竖直方向夹角θ＝37°，运动过程中腰带可看成不动，重力加速度g取10m/s2，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）下列说法正确的是（ ）
A．配重做匀速圆周运动的半径为0.6m
B．配重的线速度大小为m/s
C．细绳对配重的拉力大小为6.25N
D．若细绳不慎断裂，配重将做自由落体运动
【解答】解：A、已知悬挂点P到腰带中心点O的距离为r＝0.2m，则配重做匀速圆周运动的半径为R＝r+lsinθ＝0.2m+0.5×sin37°m＝0.5m
B、配重随短杆做水平匀速圆周运动，受力如图所示，由牛顿第二定律得：mgtan37°＝m，解得vm/s，故B正确；
C、细绳对配重的拉力大小为TN＝6.25N，故C正确；
D、若细绳不慎断裂，由于惯性，配重具有水平速度，所以配重将做平抛运动，故D错误。
故选：BC。
（多选）（2022秋 龙岩期末）四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（ ）
A．小球A、B角速度相等
B．小球A、B线速度大小相同
C．小球C、D线速度大小相同
D．小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等
【解答】解：AB、对题图甲，A、B两小球分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，小球的质量为m，小球A、B与悬点间的竖直高度为h，如图所示。小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，则由牛顿第二定律有
mgtanθ＝mω2lsinθ
解得：ω，因为小球A、B与悬点间的竖直高度h相同，所以小球A、B的角速度相同。小球A、B的轨迹半径r不同，由v＝rω可知，小球A、B的线速度大小不同，故A正确，B错误；
C、对C、D两小球分析，设绳与竖直方向的夹角为α，小球的质量为m，绳长为L，同理可知ω
线速度大小为v＝ωr，r＝Lsinα，可得v
小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同，绳长不同，因此小球C、D线速度大小不同，故C错误；
D、对C、D两小球分析，设绳上的拉力为T，竖直方向有：Tcosα＝mg，则T，可知小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大小相等，故D正确。
故选：AD。
（2022秋 和田县校级期中）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和小球B紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定大于B球的角速度
C．A球运动的向心加速度必定小于B球的向心加速度
D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力
【解答】解：A、对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图
根据牛顿第二定律，有：
F＝mgtanθ＝mma
解得：v。
由于A球的转动半径较大，A线速度较大。故A正确。
B、ω，由于A球的转动半径较大，则A的角速度较小。故B错误。
C、根据F＝mgtanθ＝ma得：a＝gtanθ
两球的向心力相等，向心加速度相等。故C错误。
D、由上分析可知，筒对小球的支持力N，与轨道半径无关，则由牛顿第三定律得知，小球对筒的压力也与半径无关，即有球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力。故D错误。
故选：A。
（多选）（2022春 郴州期末）一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则（ ）
A．A球的角速度必大于B球的角速度
B．A球的线速度必大于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必等于B球对筒壁的压力
【解答】解：A、如右图所示，小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动。
由于A和B的质量相同，小球A和B在两处的合力沿水平方向，设圆锥形筒的轴线与筒壁之间的夹角为θ，则小球受到的合力：
可知两个小球受到的合力是相同的，由于合力提供向心力，即：Fn＝F合，则它们做圆周运动时的向心力是相同的。
由公式Fn＝mω2r，由于球A运动的半径大于B球的半径，F和m相同时，半径大的A角速度小，所以球A的角速度小于球B的角速度，故A错误；
B、由向心力的计算公式 Fn＝m，由于球A运动的半径大于B球的半径，半径大的A线速度大，故B正确；
C、由Fn＝m知，半径较大的A的周期大，故C正确。
D、根据力图可知N，可知筒壁对A球的支持力等于筒壁对B球的支持力，则球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力，故D正确。
故选：BCD。
（多选）（2023春 张家界期末）如图所示，A、B两个相同的茶杯放在餐桌上的自动转盘上，O为转盘圆心，B、O间距大于A、O间距，B杯中装满水，A杯是空杯，转盘在电动机的带动下匀速转动，A、B两杯与转盘始终保持相对静止，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（ ）
A．A受到的摩擦力比B的大
B．B受到的摩擦力比A的大
C．增大转动的角速度，B一定先滑动
D．增大转动的角速度，A有可能先滑动
【解答】解：AB．茶杯随转盘转时，两物体角速度相同，由静摩擦力提供向心力，则有
f＝mω2r
由于
mB＞mA
rB＞rA
则B受到的摩擦力比A的大，故A错误，B正确；
CD．设茶杯发生滑动的临界角速度为ω0，则有
得
由此可知，增大转动的角速度，B一定先滑动，故C正确，D错误。
故选：BC。
（多选）（2023春 驻马店期末）如图所示，一质量为m的小球用两根轻绳AC、BC系着，绳的A、B端分别系于竖直长细杆顶端的A点和B点，A、B两点相距L，AC绳长为2L，且不可伸长，BC绳为弹性绳，原长为，杆的下端固定在位于地面上的水平转盘中心。现让杆随水平转盘绕竖直中心轴匀速转动，此时AC绳摆开一定角度，小球随同在水平面内做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度为g，则下列分析正确的是（ ）
A．若此时BC绳处于拉伸状态，则杆转动的角速度为
B．若此时AC绳的拉力FAC＝2mg，则BC绳的拉力刚好为0
C．若此时从小球处突然剪断BC绳，则AC绳与杆的夹角将变小
D．若细杆转动的角速度为，则小球的速度大小应为
【解答】解：AB、当BC伸直且刚好处于原长时，根据几何关系可得此时BC处于水平方向，∠BAC＝60°，根据牛顿第二定律得
解得此时角速度为：
此时AC绳的拉力为：
所以若此时BC绳处于拉伸状态，则杆转动的角速度应满足，若此时AC绳的拉力FAC＝2mg，则BC绳的拉力刚好为0，故A错误，B正确；
C、若此时BC处于拉伸状态，从小球处突然剪断BC绳，则AC绳与杆的夹角将变大；若此时BC处于原长，从小球处突然剪断BC绳，则AC绳与杆的夹角将不变，故C错误；
D、若细杆转动的角速度为，则BC不能伸直，由牛顿第二定律得：
mgtanθ＝mω2（2Lsinθ）
解得：
小球的速度大小应为：v＝ω 2Lsinθ，解得：，故D正确。
故选：BD。
（2023春 碑林区校级期末）如图所示，一半径为R＝0.5m的水平转盘可以绕着竖直轴OO'转动，水平转盘中心O处有一个光滑小孔，用一根长为L＝1m的细线穿过小孔将质量分别为mA＝0.2kg、mB＝0.5kg的小球A和小物块B连接。现让小球和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动起来，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3，且始终处于水平转盘的边缘处与转盘相对静止，取g＝10m/s2，求：
（1）若小球A的角速度ω＝5rad/s，细线与竖直方向的夹角θ；
（2）在满足（1）中的条件下，通过计算给出水平转盘角速度ωB的取值范围，并在图中画出f﹣ω2图像（假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且规定沿半径指向圆心为正方向）；
（3）在水平转盘角速度ωB为（2）中的最大值的情况下，当小球A和小物块B转动至两者速度方向相反时，由于某种原因细线突然断裂，经过多长时间A和B的速度相互垂直。
（可能使用到的数据：sin30°，cos30°，sin37°，cos37°）
【解答】解：（1）对小球A受力分析如下图所示，并将拉力与重力合成，合力水平：
根据合力提供向心力有：mgtanθ＝mω2rA，rA＝（L﹣R）sinθ，将ω、g、L、R代入得，cosθ，则θ＝37°；
（2）在满足（1）中的条件下，即绳的拉力F大小不变，根据对小球A的分析，F；
对B物体受力分析，拉力和摩擦力的合力提供向心力，由于水平转盘中心O处的小孔光滑，拉力也等于F，当水平转盘角速度取最小ωB1时，B物体有向内运动的趋势，则摩擦力沿半径向外并且静摩擦力达到最大值，有：F，将F、μ、R代入解得ωB1＝2rad/s；
当水平转盘角速度取最大ωB2时，B物体有向外运动的趋势，则摩擦力沿半径向内并且静摩擦力达到最大值，有：F，将F、μ、R代入解得ωB2＝4rad/s；
所以ωB的取值范围是2rad/s≤ωB≤4rad/s；
规定沿半径指向圆心为正方向，则向心力表达式为F+f，则f＝﹣F（﹣2.5+0.25ω2）N，根据这个函数表达式以及角速度的极值画出出f﹣ω2图像如下图所示：
（3）由于某种原因细线突然断裂，小球A和小物块B做平抛运动，小球A的初速度vA＝ωrA＝5×0.5×sin37°m/s＝1.5m/s
小物块B的初速度vB＝RωB2＝0.5×4m/s＝2m/s，设经过t时间A的速度与水平方向成角度为α，这时B的速度与竖直方向成角度也为α，这时A和B的速度相互垂直，有tanα，代入数据解得t。
（2023春 房山区期中）如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径R为1米的圆盘。圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。放置在圆盘边缘的质量为m＝0.1kg的物体与圆盘之间的动摩擦因数为μ1＝0.4，与餐桌之间的动摩擦因数μ2＝0.2，餐桌高h＝0.8米。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g取m/s2。
（1）为使物体不滑到餐桌上，求圆盘的角速度的最大值ω；
（2）缓慢增大圆盘的角速度，物体将从圆盘上滑出。
a、为使物体不滑落到地面，求餐桌半径的最小值R1；
b、若餐桌半径R2＝1.25m，求物体离开圆盘后水平方向总位移x。
【解答】解：（1）为使物体不从圆盘上滑出，则μ1mg≥mω2R
解得：ω≤2rad/s
所以为使物体不滑到餐桌上，圆盘的角速度的最大值ω为2rad/s。
（2）a、设物体恰好从圆盘上滑出时的速度为v1，由（1）可知物体恰好从圆盘上滑出时圆盘的角速度为2rad/s，则
v1＝ωR＝2×1m/s＝2m/s
物体恰好不滑落到地面，滑到餐桌边缘速度减到0，有
μ2mg＝ma
2ax1
联立解得物体滑过的位移：x1＝1m
餐桌最小半径R1mm
b、若餐桌半径R2＝1.25m，物体在餐桌上滑行的距离为
x2m＝0.75m
根据匀变速直线运动规律可得：
2（﹣μ2g）x2
解得物体离开桌边的水平速度：v2＝1m/s
设物体离开桌面平抛运动的时间t2，则h
解得：t2＝0.4s
平抛运动的水平位移大小为x3＝v2t2＝1×0.4m＝0.4m
物体离开圆盘后水平方向总位移为
x＝x2+x3＝0.75m+0.4m＝1.15m
（2023春 郑州期中）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO'之间的夹角θ为60°。已知重力加速度大小为g。
（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0；
（2）若陶罐以角速度转动，小物块仍相对陶罐静止，求小物块此时所受的摩擦力的大小及方向？
【解答】解：（1）如图1所示，当小物块受到的摩擦力为零，由支持力和重力的合力提供向心力，则有：
解得：
（2）陶罐以角速度转动时，ω＜ω0，小物块受力如图2所示，
重力和支持力的合力大于所需的向心力
所以摩擦力方向沿罐壁切线向上与水平方向夹角成60°。
由牛顿第二定律得
水平方向，有：FN′sinθ﹣fcosθ＝mω2Rsinθ
竖直方向，有：mg＝FN′cosθ+fsinθ
联立两式解得：
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