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5.2 运动的合成和分解
学习目标 核心素养
1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法． 2．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题. 1、物理观念：运动的合成和分解的概念。 2、科学思维：合成与分解的思想，数学推导蜡块轨迹方程。 3、科学探究：观察分析蜡块的运动，探究两个匀速直线运动的合运动的性质。 4、科学态度与责任：应用合成与分解思想分析生活中的曲线运动。
知识点1 一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
1．建立坐标系
研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系．
如图1所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系．
图1
2．蜡块运动的位置：以vx表示玻璃管向右匀速移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管匀速上升的速度，则在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝vxt，y＝vyt.
3．蜡块运动的轨迹：在x、y的表达式中消去t，得到y＝x，可见此式代表的是一条过原点的直线，即蜡块的运动轨迹是直线．
4．蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝.
（2023春 荔湾区校级期中）如图（a）所示，在一段封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体并塞紧管口，如图（b）所示，将玻璃管倒置，蜡块会沿玻璃管匀速上升，如图（c）所示，在蜡块上升的同时将玻璃管从静止开始水平向右匀加速移动，则该过程中蜡块相对地面的运动轨迹大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可知红蜡块在竖直向上做匀速直线运动，竖直方向的加速度为零，合力为零；
而红蜡块在水平向右做初速度为零的匀加速直线运动，水平方向具有向右的加速度和合力；
所以红蜡块的合初速度沿竖直方向，合力方向水平向右，根据曲线运动的条件可知蜡块的合运动为匀变速曲线运动，其速度方向与水平方向的夹角的正切值为
由上式可知θ随t的增大而逐渐减小，而蜡块速度方向沿轨迹切线方向，所以红蜡块实际运动的轨迹可能是C。
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023春 晋城期末）如图甲所示，课堂上老师把黑板写得满满当当，值日生需在课间擦黑板，若以黑板下边沿为x轴、左边沿为y轴建立直角坐标系，黑板擦在黑板上留下的痕迹如图乙所示，关于黑板擦的运动和受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．若黑板擦沿x轴正方向做匀速直线运动，则可能沿y轴正方向做匀加速直线运动
B．若黑板擦沿y轴正方向做匀速直线运动，则可能沿x轴正方向做匀速直线运动
C．若黑板擦沿y轴正方向做匀速直线运动，则可能沿x轴正方向做匀加速直线运动
D．若黑板擦沿x轴正方向做匀速直线运动，则受到黑板的摩擦力指向轨迹凹侧
【解答】解：A．若黑板擦沿x轴正方向做匀速直线运动，沿y轴正方向做匀加速直线运动，则受到的合外力沿y轴正方向，运动轨迹向上弯曲，故A错误；
B．若黑板擦沿y轴正方向做匀速直线运动，沿x轴正方向做匀速直线运动，则运动轨迹为直线，故B错误；
C．若黑板擦沿y轴正方向做匀速直线运动，沿x轴正方向做匀加速直线运动，则受到的合外力沿x轴正方向，运动轨迹向右弯曲，故C正确；
D．根据摩擦力的特点可知，黑板擦受到黑板的滑动摩擦力方向与运动方向相反，故D错误。
故选：C。
（2023春 九江期末）在一端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡块A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块沿玻璃管匀速上升。在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速运动，观察蜡块做（ ）
A．匀速直线运动 B．圆周运动
C．匀变速曲线运动 D．匀加速直线运动
【解答】解：蜡块A沿玻璃管匀速上升，同时沿水平方向向右匀速运动，两个方向的加速度均为零，即合加速度仍为零，所以蜡块做匀速直线运动；故A正确，BCD错误；
故选：A。
知识点2 运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动(选填“合运动”或“分运动”)，同时参与的几个运动就是分运动．
2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解．
3．运动的合成与分解遵从矢量运算法则．
4．分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断．
5．曲、直判断：
加速度(或合力)与速度方向
6．是否为匀变速运动的判断：
加速度(或合力)
[深度思考] 互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动的轨迹向哪个方向弯曲？
答案 轨迹在合初速度v0与合加速度a之间，且向合加速度一侧弯曲．
不在一条直线上的两个直线运动的合运动的几种可能情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
（2023春 甘肃期末）如图所示，匀速直线上升的热气球（可视为质点）突然受到方向水平向左、大小恒定的风力F，则（ ）
A．热气球将做曲线运动
B．热气球在相同时间内的速度变化量将越来越大
C．热气球将在竖直方向做减速运动
D．热气球的速度将先增大后减小
【解答】解：AC．热气球竖直方向受到的合外力为零，做匀速运动，水平方向受到恒力作用做匀加速运动，则合运动为曲线运动，故A正确，C错误；
B．热气球水平方向受到恒力作用，加速度恒定不变，根据Δv＝aΔt可知，在相同时间内的速度变化量不变，故B错误；
D．热气球的竖直速度不变，水平速度增加，则速度将不断变大，故D错误。
故选：A。
（2023春 湖南期中）如图甲所示，近年来无人机已越来越频繁应用在物流配送场景，包括应急救援、冷链、物资运送。某次配送物资无人机在飞行过程中，水平方向速度vx及竖直方向vy与飞行时间t的关系图像如图乙、图丙所示。关于该无人机运动，下列说法正确的是（ ）
A．在0～2s内，无人机做匀变速曲线运动
B．在第2s末，无人机运动到最高点
C．在第4s末，无人机的速度大小为7m/s
D．在2 6s内，无人机做匀变速曲线运动
【解答】解：A．根据图像可知，在0 2s时间内，无人机在水平方向与竖直方向上均做初速度为0的匀加速直线运动，则合运动为初速度为零的匀加速直线运动，故A错误；
B．根据图像可知，0 6s时间内，无人机竖直方向速度一直为正值，可知在第2s末无人机运动没有运动到最高点，故B错误；
CD．根据图像可知2 6s时间内，无人机在水平方向做vx＝4m/s的匀速直线运动，竖直方向上做匀减速直线运动，通过图像可知第4s末，速度为vy＝3m/s，合速度为，可知无人机做匀变速曲线运动，故C错误，D正确；
故选：D。
（2023春 伊州区校级期末）路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若一段时间内，车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述正确的是（ ）
A．工人一定做匀变速运动
B．工人的运动轨迹是直线
C．工人一定做匀速运动
D．工人的运动轨迹与车的运动无关
【解答】解：ACD．工人的实际运动由水平和竖直两个分运动共同决定，且竖直方向上做匀速直线运动，水平方向上做匀加速直线运动，故工人具有恒定加速度，则一定做匀变速运动，且工人的运动轨迹与车的运动有关，故A正确，CD错误；
B．由题意可知，工人的速度斜向左上方，加速度向左，则工人的运动轨迹时曲线，故B错误；
故选：A。
（多选）（2023 日照开学）质量m＝1kg的物体在光滑水平面上运动，其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy随时间变化的图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的初速度大小为3m/s
B．物体所受的合力大小为0.5N
C．0～8s内物体做匀加速直线运动
D．0～8s内物体的位移大小为
【解答】解：A.由题图可知vx0＝3m/s，vy0＝0，所以物体的初速度大小为
v0m/s＝3m/s，故A正确；
BC.物体在x方向的加速度ax＝0，在y方向的加速度
aym/s2＝0.5m/s2
故加速度为
am/s2＝0.5m/s2
0～8s内物体做匀加速直线运动，故C正确；
根据牛顿第二定律得
F合＝ma＝1×0.5N＝0.5N，故B正确；
D.t1＝8s时，x1＝vx0t1＝3m/s×8s＝24m，
y1ay0.5×82m＝16m
所以0～8s内物体的位移大小
s1m＝12m，故D错误。
故选：ABC。
知识点3 小船渡河问题
1．小船参与的两个分运动
(1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题
由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如图乙所示．
情况二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
（2023春 乌鲁木齐期末）一小船在静水中的速度为5m/s，它在一条河宽为120m、水流速度为3m/s的河流中渡河。下列说法正确的是（ ）
A．小船不能到达正对岸
B．若以最短位移渡河，小船相对河岸的速度为8m/s
C．若以最短时间渡河，小船船头应垂直于河岸
D．若以最短时间渡河，小船渡河的位移大小为160m
【解答】解：A、小船在静水中的速度大于水流速度，则小船能到达正对岸，故A错误；
B、若以最短位移渡河，小船的合速度方向垂直于河岸，如图
则小船相对河岸的速度为v合m/s＝4m/s
故B错误；
CD、若小船以最短时间渡河，则小船船头应垂直于河岸，如图
小船渡河时间为ts＝24s
合速度为v合′m/sm/s
渡河位移为x＝v合′t＝24m
故C正确，D错误。
故选：C。
（2023春 衢州期末）如图所示，小船以速度大小为v（船在静水中的速度）、方向与上游河岸成θ角从O处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O'处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸O'处，在水流速度不变的情况下，可采取的方法是（ ）
A．α1＝θ、v1＞v B．α2＜θ、v2＞v
C．α3＞θ、v3＜v D．α4＞θ、v4＞v
【解答】解：由题意可知，航线恰好垂直于河岸，要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸O'处，则合速度增大，方向始终垂直河岸。小船在静水中的速度增大，与上游河岸的夹角θ增大，如图所示：
故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2023春 南充期末）一段两岸平直、河宽为L的河流，河水均匀流动的速率为v1，船在静水中的速率为v2，则（ ）
A．若船头垂直河岸渡河，其渡河位移最小为L
B．若v1＜v2，则船不可能垂直于河岸渡河
C．若v1＜v2，则船渡河的最小位移为L
D．若v1＞v2，则船渡河的最短时间为
【解答】解：A．若船头垂直河岸渡河，其合速度方向沿为斜向下游的方向，其渡河轨迹为向下游的直线，因此位移一定大于L，故A错误；
BC．若v1＜v2，则船速可以分解为沿河上游方向大小为v1的分速度，另一个方向为垂直河岸的速度，在沿河方向水速和船的分速度相互抵消，因此船可以垂直于河岸过河，其位移最小为L，故B错误，C正确；
D．无论水速快还是船速快，船渡河的最短时间为，故D错误。
故选：C。
（2023春 香坊区校级月考）如图所示，一条宽为d＝120m的足够长河流，水流速度恒为v1＝3m/s，一艘小船从A点出发向对岸驶去，已知小船在静水中的速度v2＝5m/s，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）小船渡河的最短时间，及最短时间渡河沿河岸方向位移。
（2）小船渡河的最短航程及船头的朝向。
【解答】解：（1）当小船的船头垂直河岸行驶时，则小船渡河时间最短，
所以最短时间为s＝24s，则最短时间渡河沿河岸方向位移s1＝v1t＝3×24m＝72m。
（2）因为v2＞v1，所以小船能垂直过河，假设当船头朝向上游且与河岸所成夹角为θ时，则小船渡河航程最短，如图所示：
由几何关系可知，，解得θ＝53°，即船头朝向上游与河岸成53°角时，小船航程最短，则最短航程为s＝d＝120m。
知识点4 关联速度问题
1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题．
2．“关联”速度的分解规律
(1)分解依据
①物体的实际运动是合运动．
②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同．
(2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量．
(3)常见的速度分解情形如下：
（2023春 宿州期中）如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度大小为v，拉船的绳与水平方向夹角为，则此时船的速度大小为（ ）
A．v B． C． D．2v
【解答】解：设船的速度为v1，把船的速度分解为沿着绳子方向的速度和垂直于绳子方向的速度，如图
其中沿着绳子方向的分速度等于汽车的行进速度，由几何关系可得
解得
故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023春 张家界期末）建筑工人用如图所示装置将建筑材料提升到高处，工人在高处平台上向右做匀速直线运动（运动过程中手握绳的高度不变），当手牵引的绳与水平方向的夹角为θ＝53°时，重物上升的速度大小为1m/s，则当θ＝37°时，重物上升的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设人运动的速度大小为v，根据重物上升的速度为与人沿绳方向的分速度相等，由图可知
v1＝vcosθ 当 θ＝53°时，v1＝1m/s，解得v
当θ＝37°时，重物上升的速度为.故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2023春 天津期中）生活中人们通常利用定滑轮来升降物体。如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，绳的一端系着质量为m的重物A，绳的另一端由人握着向左以速度v匀速移动，经过图示位置时绳与水平方向的夹角为α，下列说法正确的是（ ）
A．重物匀加速上升
B．重物以速度v匀速上升
C．绳对重物的拉力始终小于它的重力
D．经过图示位置α＝60°时人与重物的速度大小之比为2：1
【解答】解：AB、将人的速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向，如图
人沿绳方向的分速度大小等于重物A上升的分速度大小，则有vA＝vcosα
随人运动过程中，v不变，α减小，cosα增大，则重物的速度增大，即重物做加速运动，但不是匀加速运动，故AB错误；
C、重物做加速运动，则绳上的拉力大于重力，故C错误；
D、α＝60°时，人与重物的速度大小之比为v：vA＝v：vcos60°＝2：1
故D正确。
故选：D。
（2022秋 零陵区校级期末）《综合国力“十三五”国家科技创新规划》提出，要加强“深空”“深海”“深地”“深蓝”领域的战略高科技部署，其中“深海”领域主要是深海探测和研究。如图所示是上海交通大学某科研小组在某次深海探测结束后，利用牵引汽车将某探测器M从海面起吊上岸的过程简化图，不计滑轮摩擦和绳子质量，牵引汽车以速度v向左匀速运动，当牵引汽车端绳子与水平方向的夹角为θ时，探测器M的速率为（ ）
A．v B．vsinθ C．vcosθ D．
【解答】解：将汽车的速度按沿绳方向和垂直绳子方向进行分解，如图
汽车沿绳子方向的速度的大小等于M的速度的大小，根据平行四边形定则得，v∥＝vcosθ
探测器M上升的速率即为v∥，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023 让胡路区校级开学）一艘小船要从河的此岸驶向对岸，假设河岸是平直的，河水流速为v1，小船在静水中的速度为v2，现要求小船行驶的路程最短，则小船船头指向（ ）
A．与河岸成一定角度，斜向上游
B．与河岸成一定角度，斜向下游
C．与河岸垂直，指向对岸
D．与河岸平行，指向上游
【解答】解：小船的实际运动的速度是小船在静水中的速度与水流速度的合速度，小船实际运动方向沿小船的合速度方向；将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，小船垂直于河岸方向的分速度使小船到对岸，沿河岸的分速度与河水速度的合速度使小船沿河岸方向运动；要求小船行驶的路程最短，则小船船头与河岸成一定角度，斜向上游，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2022秋 泗阳县校级期末）小船在静水中的速度为4m/s，它在一条宽为160m，水流速度为3m/s的河中渡河，下列说法正确的是（ ）
A．小船不能到达正对岸
B．渡河的最短时间为32s
C．以最短位移渡河，小船的渡河时间为40s
D．以最短时间渡河，小船的渡河位移为200m
【解答】解：A、小船在静水中的速度大于水流速度，可知小船的合速度方向可以垂直于河岸，则小船能到达正对岸，故A错误；
BD、当船头垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmins＝40s
合速度大小为
小船的渡河位移为s＝v合tmin＝5×40m＝200m
故B错误，D正确；
C、小船以最短位移渡河时，合速度方向垂直于河岸，合速度大小为
则小船的渡河时间为
故C错误；
故选：D。
（2023春 四川期末）一游泳健儿以恒定的速度渡河，河水的流速离岸边越远，速度越大，则游泳者垂直河岸方向移动相等距离所需的时间将（ ）
A．不变 B．减小
C．增大 D．先增大后减小
【解答】解：游泳者垂直河岸方向移动的时间与水速无关，只与游泳者垂直河岸的速度有关，根据：
游泳者以恒定的速度渡河，所以沿河岸方向移动相等距离x所需的时间不变，故BCD错误，A正确。
故选：A。
（2023春 巴楚县期末）某渡船在横渡闽江时从江岸边的P位置出发，保持船头方向始终与对岸垂直，已知船在静水中的速度大小恒定，江水的流速不变。该渡船渡江的轨迹可能是图中的（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：船在渡江的过程中同时参与了沿着江水方向的匀速直线运动以及垂直于对岸的匀速直线运动两个分运动，而两个匀速直线运动的合运动是匀速直线运动，所以运动轨迹是图中的③，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023春 河池期末）运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，如小船过河、骑马射箭等问题。关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（ ）
A．两个直线运动的合运动不一定是直线运动
B．合运动的速度和加速度一定大于每个分运动的速度和加速度
C．两个不在同一条直线上初速度为零的匀加速直线运动的合运动可能不是直线运动
D．当静水船速和河水的流速一定，小船要到河的对岸，只要调整好船头的方向，就可以使小船渡河的位移等于河宽
【解答】解：A．两个直线运动的合运动不一定是直线运动，可以是匀变速曲线运动，比如平抛运动，故A正确；
B．根据平行四边形定则，合速度不一定大于分速度，合加速度不一定大于分加速度，故B错误；
C．两个不在同一条直线上的初速度为零的匀加速直线运动，则加速度为两个方向的合加速度，由于静止，初速度为零，故合运动做匀加速直线运动，故C错误；
D．当静水船速小于水流速，根据速度合成规律，合速度不可能垂直于河岸，即渡河的位移不可能等于河宽，故D错误。
故选：A。
（2023春 蚌埠期末）在无风的天气中，雨滴在空中竖直匀速下落，人打伞以一定的速度水平向右匀速运动。如果希望雨垂直打在伞的上表面上（伞面视为平面，伞面可以自动调整方向，伞柄始终处于竖直方向）而少淋雨，下列图中大致正确的打伞方式是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可知，雨滴匀速竖直下落，则雨相对于地面的速度v雨地向下，人打伞匀速向右急行，即伞相对于地面的速度v伞地向右，则地面相对于伞的速度v地伞向左，根据矢量的合成可知v雨伞＝v雨地+v地伞
结合平行四边形定则，可知雨滴相对雨伞的速度方向斜向左下，则如果希望雨垂直打在伞的上表面上，雨伞伞面应该像图A一样倾斜。
故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2023春 矿区校级期中）如图是轮渡的简化图。已知船在静水中的速度为v1，水流速度为9m/s。当船从A处过河时，船头与上游河岸的夹角θ＝53°，一段时间后，船正好到达正对岸B处。若河宽为450m，船在静水中的速度大小不变，水流的速度不变，则（ ）
A．v1＝5.4m/s
B．船渡河的时间为37.5s
C．若改变船的航行方向，船最短的渡河时间为25s
D．若增大船头与上游河岸的夹角θ，则小船将到达河对岸B的上游
【解答】解：A．将船的速度与水流速度合成，如图：
有cosθ
代入数据解得船的速度v1＝15m/s，故A错误；
B．此时船渡河的时间为ts＝37.5s，故B正确；
C．当船头垂直于河岸时，最短渡河时间为tmins＝30s，故C错误；
D．若增大船头与上游河岸的夹角θ，根据平行四边形定则，可知，船的合速度方向指向河对岸B的下方，即若增大船头与上游河岸的夹角θ，则小船将到达河对岸B的下游，故D错误。
故选：B。
（2023春 顺义区期末）通常情况下，实际的抛体都是在介质中运动的。由于介质对运动物体的阻碍作用，物体会损耗部分机械能。已知在空气中运动的物体所受阻力方向与运动方向相反，大小随速度的增大而增大。假定空气中一弹丸从地面抛射出去，初速度为v0方向与水平地面夹角为θ，如图所示。弹丸落地时，速度大小为v，方向与水平地面夹角为α，落地点与抛出点在同一水平面。弹丸从抛出到落地的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹丸的加速度先减小后增大
B．弹丸上升的时间小于下降的时间
C．弹丸在最高点时的加速度是重力加速度
D．弹丸落地时与水平地面的夹角α小于抛出时与水平地面的夹角θ
【解答】解：B.弹丸运动如图所示，
设阻力方向与水平方向的夹角为β，竖直方向初速度为v0y＝v0sinθ，从开始到最高点加速度 ，从最高点到落点加速度 ，可知上升过程竖直方向上加速度更大，则上升时间要小，故B正确；
A.弹丸的加速度一直在减小，故A错误；
C.最高点时，阻力f与重力mg垂直，加速度为，故C错误；
D.如图所示，
虚线是没有阻力作用时的抛物线，而存在空气阻力时，球在竖直和水平方向上都会做减速运动，实际球的轨迹为实线所示，弹丸落地时与水平方向的夹角α大于抛出时与水平方向的夹射角θ，故D错误。
故选：B。
（2023春 济南期末）如图所示，某趣味物理实验中，在水平桌面上从桌子的一个角A向B发射一个乒乓球。一同学在桌边试着用一支吹管将球由B处吹进球门C，AB垂直于BC，该同学将吹管对准C用力吹，未成功。下列情形可能成功的是（ ）
A．将球门沿直线BC适当靠近B
B．将球门沿直线BC适当远离B
C．将球门垂直于直线BC向右平移适当距离
D．将吹管沿直线AB向右平移适当距离，垂直AB方向吹气
【解答】解：原方案中，吹管吹气只改变了球沿BC方向的速度，而沿AB方向的速度不变，所以单纯沿BC方向吹气而施加力的作用不能使球落入球门中。如果将球门垂直于直线BC向右平移适当距离，根据运动的合成与分解的知识可知，球可能落入球门中，只有C可行，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2023春 包河区校级期末）小明和小华两位同学玩游戏，他们找来一张白纸、一支铅笔、一把直尺，固定白纸后，小明用铅笔沿直尺（且直尺平行于ab）向右匀速运动，而小华同时将直尺沿ca方向向上先做加速运动后做减速运动，请你判断铅笔在白纸上留下的痕迹可能是（ ）
A．B． C． D．
【解答】解：由题意可知，对铅笔的运动进行分解，铅笔的运动可分为水平方向和竖直方向上的两个分运动，即铅笔在水平分向上向右做匀速直线运动，同时在竖直方向上先加速运动后做减速运动。由此可知，铅笔的合运动为曲线运动，且铅笔受到的合力方向先竖直向上后竖直向下，根据曲线运动合力方向指向曲线运动轨迹的凹侧，可知铅笔在白纸上留下的痕迹可能是先下凹后上凸，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2023春 顺义区校级月考）运动合成和分解是研究曲线运动的重要思想方法，请你结合这一思想和所学过的知识研究下面问题。
在一光滑水平面上建立xOy平面坐标系，一质量为m＝2kg的质点某时刻在水平面上从坐标原点开始运动，在接下来的一段时间内沿x方向和y方向的x﹣t图像和vy﹣t图像分别如图1、图2所示。
（1）求质点所受的合力F；
（2）求质点2s末距坐标原点的距离；（结果可以带根号）
（3）写出质点的y﹣x的轨迹方程，并在图3上大致画出2s内质点的运动轨迹图。
【解答】解：（1）由图像可知，沿x正方向做匀速直线运动，速度为
沿y正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为
所以，质点所受的合力
方向沿y正方向。
（2）2s末，沿x方向，根据图1可知x1＝8m
沿y方向，根据图2可知
所以，质点2s末距坐标原点的距离
（3）由题意可知x＝vxt，
联立可得，质点的y﹣x的轨迹方程为
2s内质点的运动轨迹图如图所示
（2022秋 江西月考）风洞是研究空气动力学的实验设备。如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为风洞的区域，物体进入该区间会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度；
（3）OP的距离。
【解答】解：（1）小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，合力方向与速度方向在同一条直线上，受力情况如图所示；
根据平行四边形定则和几何知识知：，
可得：F＝mg。
（2）最高点的小球的速度沿水平方向，设该速度为v，则小球在M、N点的水平方向速度也为v，设小球在M、N点竖直方向的速度为vy，在O点的初速度为v0。
由O到M的时间为t，水平方向有：vt＝gt，
在P点，水平方向有：，
在竖直方向上，小球在从O点到P点做上抛运动，竖直方向上速度相等，此时速度方向与水平方向夹角为45°，可得v0＝2v，
由N到P小球做直线运动，设在N点竖直方向速度为，则有：，
可得：，
设最高点为Q点，则在竖直方向上，由Q到N，，
由N到P有：，可得t1＝t，
在竖直方向上有：，，
可得；
小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度h1HH
（3）水平方向由O到M有：，由M到N有：x2＝2vt，由N到P有：，
由（2）可知v0＝2v，，
联立可得x＝x1+x2+x3。
解得：xH。
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5.2 运动的合成和分解
学习目标 核心素养
1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法． 2．能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题. 1、物理观念：运动的合成和分解的概念。 2、科学思维：合成与分解的思想，数学推导蜡块轨迹方程。 3、科学探究：观察分析蜡块的运动，探究两个匀速直线运动的合运动的性质。 4、科学态度与责任：应用合成与分解思想分析生活中的曲线运动。
知识点1 一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
1．建立坐标系
研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系．
如图1所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系．
图1
2．蜡块运动的位置：以vx表示玻璃管向右匀速移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管匀速上升的速度，则在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝vxt，y＝vyt.
3．蜡块运动的轨迹：在x、y的表达式中消去t，得到y＝x，可见此式代表的是一条过原点的直线，即蜡块的运动轨迹是直线．
4．蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝.
（2023春 荔湾区校级期中）如图（a）所示，在一段封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体并塞紧管口，如图（b）所示，将玻璃管倒置，蜡块会沿玻璃管匀速上升，如图（c）所示，在蜡块上升的同时将玻璃管从静止开始水平向右匀加速移动，则该过程中蜡块相对地面的运动轨迹大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 晋城期末）如图甲所示，课堂上老师把黑板写得满满当当，值日生需在课间擦黑板，若以黑板下边沿为x轴、左边沿为y轴建立直角坐标系，黑板擦在黑板上留下的痕迹如图乙所示，关于黑板擦的运动和受力情况，下列说法正确的是（ ）
A．若黑板擦沿x轴正方向做匀速直线运动，则可能沿y轴正方向做匀加速直线运动
B．若黑板擦沿y轴正方向做匀速直线运动，则可能沿x轴正方向做匀速直线运动
C．若黑板擦沿y轴正方向做匀速直线运动，则可能沿x轴正方向做匀加速直线运动
D．若黑板擦沿x轴正方向做匀速直线运动，则受到黑板的摩擦力指向轨迹凹侧
（2023春 九江期末）在一端封闭的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡块A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧。把玻璃管倒置，蜡块沿玻璃管匀速上升。在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速运动，观察蜡块做（ ）
A．匀速直线运动 B．圆周运动
C．匀变速曲线运动 D．匀加速直线运动
知识点2 运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动(选填“合运动”或“分运动”)，同时参与的几个运动就是分运动．
2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解．
3．运动的合成与分解遵从矢量运算法则．
4．分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断．
5．曲、直判断：
加速度(或合力)与速度方向
6．是否为匀变速运动的判断：
加速度(或合力)
[深度思考] 互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动的轨迹向哪个方向弯曲？
（2023春 甘肃期末）如图所示，匀速直线上升的热气球（可视为质点）突然受到方向水平向左、大小恒定的风力F，则（ ）
A．热气球将做曲线运动
B．热气球在相同时间内的速度变化量将越来越大
C．热气球将在竖直方向做减速运动
D．热气球的速度将先增大后减小
（2023春 湖南期中）如图甲所示，近年来无人机已越来越频繁应用在物流配送场景，包括应急救援、冷链、物资运送。某次配送物资无人机在飞行过程中，水平方向速度vx及竖直方向vy与飞行时间t的关系图像如图乙、图丙所示。关于该无人机运动，下列说法正确的是（ ）
A．在0～2s内，无人机做匀变速曲线运动
B．在第2s末，无人机运动到最高点
C．在第4s末，无人机的速度大小为7m/s
D．在2 6s内，无人机做匀变速曲线运动
（2023春 伊州区校级期末）路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若一段时间内，车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述正确的是（ ）
A．工人一定做匀变速运动
B．工人的运动轨迹是直线
C．工人一定做匀速运动
D．工人的运动轨迹与车的运动无关
（多选）（2023 日照开学）质量m＝1kg的物体在光滑水平面上运动，其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy随时间变化的图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是（ ）
A．物体的初速度大小为3m/s
B．物体所受的合力大小为0.5N
C．0～8s内物体做匀加速直线运动
D．0～8s内物体的位移大小为
知识点3 小船渡河问题
1．小船参与的两个分运动
(1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题
由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如图乙所示．
情况二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
（2023春 乌鲁木齐期末）一小船在静水中的速度为5m/s，它在一条河宽为120m、水流速度为3m/s的河流中渡河。下列说法正确的是（ ）
A．小船不能到达正对岸
B．若以最短位移渡河，小船相对河岸的速度为8m/s
C．若以最短时间渡河，小船船头应垂直于河岸
D．若以最短时间渡河，小船渡河的位移大小为160m
（2023春 衢州期末）如图所示，小船以速度大小为v（船在静水中的速度）、方向与上游河岸成θ角从O处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O'处。现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸O'处，在水流速度不变的情况下，可采取的方法是（ ）
A．α1＝θ、v1＞v B．α2＜θ、v2＞v
C．α3＞θ、v3＜v D．α4＞θ、v4＞v
（2023春 南充期末）一段两岸平直、河宽为L的河流，河水均匀流动的速率为v1，船在静水中的速率为v2，则（ ）
A．若船头垂直河岸渡河，其渡河位移最小为L
B．若v1＜v2，则船不可能垂直于河岸渡河
C．若v1＜v2，则船渡河的最小位移为L
D．若v1＞v2，则船渡河的最短时间为
（2023春 香坊区校级月考）如图所示，一条宽为d＝120m的足够长河流，水流速度恒为v1＝3m/s，一艘小船从A点出发向对岸驶去，已知小船在静水中的速度v2＝5m/s，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求：
（1）小船渡河的最短时间，及最短时间渡河沿河岸方向位移。
（2）小船渡河的最短航程及船头的朝向。
知识点4 关联速度问题
1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题．
2．“关联”速度的分解规律
(1)分解依据
①物体的实际运动是合运动．
②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同．
(2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量．
(3)常见的速度分解情形如下：
（2023春 宿州期中）如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度大小为v，拉船的绳与水平方向夹角为，则此时船的速度大小为（ ）
A．v B． C． D．2v
（2023春 张家界期末）建筑工人用如图所示装置将建筑材料提升到高处，工人在高处平台上向右做匀速直线运动（运动过程中手握绳的高度不变），当手牵引的绳与水平方向的夹角为θ＝53°时，重物上升的速度大小为1m/s，则当θ＝37°时，重物上升的速度大小为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 天津期中）生活中人们通常利用定滑轮来升降物体。如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，绳的一端系着质量为m的重物A，绳的另一端由人握着向左以速度v匀速移动，经过图示位置时绳与水平方向的夹角为α，下列说法正确的是（ ）
A．重物匀加速上升
B．重物以速度v匀速上升
C．绳对重物的拉力始终小于它的重力
D．经过图示位置α＝60°时人与重物的速度大小之比为2：1
（2022秋 零陵区校级期末）《综合国力“十三五”国家科技创新规划》提出，要加强“深空”“深海”“深地”“深蓝”领域的战略高科技部署，其中“深海”领域主要是深海探测和研究。如图所示是上海交通大学某科研小组在某次深海探测结束后，利用牵引汽车将某探测器M从海面起吊上岸的过程简化图，不计滑轮摩擦和绳子质量，牵引汽车以速度v向左匀速运动，当牵引汽车端绳子与水平方向的夹角为θ时，探测器M的速率为（ ）
A．v B．vsinθ C．vcosθ D．
（2023 让胡路区校级开学）一艘小船要从河的此岸驶向对岸，假设河岸是平直的，河水流速为v1，小船在静水中的速度为v2，现要求小船行驶的路程最短，则小船船头指向（ ）
A．与河岸成一定角度，斜向上游
B．与河岸成一定角度，斜向下游
C．与河岸垂直，指向对岸
D．与河岸平行，指向上游
（2022秋 泗阳县校级期末）小船在静水中的速度为4m/s，它在一条宽为160m，水流速度为3m/s的河中渡河，下列说法正确的是（ ）
A．小船不能到达正对岸
B．渡河的最短时间为32s
C．以最短位移渡河，小船的渡河时间为40s
D．以最短时间渡河，小船的渡河位移为200m
（2023春 四川期末）一游泳健儿以恒定的速度渡河，河水的流速离岸边越远，速度越大，则游泳者垂直河岸方向移动相等距离所需的时间将（ ）
A．不变 B．减小
C．增大 D．先增大后减小
（2023春 巴楚县期末）某渡船在横渡闽江时从江岸边的P位置出发，保持船头方向始终与对岸垂直，已知船在静水中的速度大小恒定，江水的流速不变。该渡船渡江的轨迹可能是图中的（ ）
A．① B．② C．③ D．④
（2023春 河池期末）运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，如小船过河、骑马射箭等问题。关于运动的合成与分解，下列说法正确的是（ ）
A．两个直线运动的合运动不一定是直线运动
B．合运动的速度和加速度一定大于每个分运动的速度和加速度
C．两个不在同一条直线上初速度为零的匀加速直线运动的合运动可能不是直线运动
D．当静水船速和河水的流速一定，小船要到河的对岸，只要调整好船头的方向，就可以使小船渡河的位移等于河宽
（2023春 蚌埠期末）在无风的天气中，雨滴在空中竖直匀速下落，人打伞以一定的速度水平向右匀速运动。如果希望雨垂直打在伞的上表面上（伞面视为平面，伞面可以自动调整方向，伞柄始终处于竖直方向）而少淋雨，下列图中大致正确的打伞方式是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 矿区校级期中）如图是轮渡的简化图。已知船在静水中的速度为v1，水流速度为9m/s。当船从A处过河时，船头与上游河岸的夹角θ＝53°，一段时间后，船正好到达正对岸B处。若河宽为450m，船在静水中的速度大小不变，水流的速度不变，则（ ）
A．v1＝5.4m/s
B．船渡河的时间为37.5s
C．若改变船的航行方向，船最短的渡河时间为25s
D．若增大船头与上游河岸的夹角θ，则小船将到达河对岸B的上游
（2023春 顺义区期末）通常情况下，实际的抛体都是在介质中运动的。由于介质对运动物体的阻碍作用，物体会损耗部分机械能。已知在空气中运动的物体所受阻力方向与运动方向相反，大小随速度的增大而增大。假定空气中一弹丸从地面抛射出去，初速度为v0方向与水平地面夹角为θ，如图所示。弹丸落地时，速度大小为v，方向与水平地面夹角为α，落地点与抛出点在同一水平面。弹丸从抛出到落地的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．弹丸的加速度先减小后增大
B．弹丸上升的时间小于下降的时间
C．弹丸在最高点时的加速度是重力加速度
D．弹丸落地时与水平地面的夹角α小于抛出时与水平地面的夹角θ
（2023春 济南期末）如图所示，某趣味物理实验中，在水平桌面上从桌子的一个角A向B发射一个乒乓球。一同学在桌边试着用一支吹管将球由B处吹进球门C，AB垂直于BC，该同学将吹管对准C用力吹，未成功。下列情形可能成功的是（ ）
A．将球门沿直线BC适当靠近B
B．将球门沿直线BC适当远离B
C．将球门垂直于直线BC向右平移适当距离
D．将吹管沿直线AB向右平移适当距离，垂直AB方向吹气
（2023春 包河区校级期末）小明和小华两位同学玩游戏，他们找来一张白纸、一支铅笔、一把直尺，固定白纸后，小明用铅笔沿直尺（且直尺平行于ab）向右匀速运动，而小华同时将直尺沿ca方向向上先做加速运动后做减速运动，请你判断铅笔在白纸上留下的痕迹可能是（ ）
A．B． C． D．
（2023春 顺义区校级月考）运动合成和分解是研究曲线运动的重要思想方法，请你结合这一思想和所学过的知识研究下面问题。
在一光滑水平面上建立xOy平面坐标系，一质量为m＝2kg的质点某时刻在水平面上从坐标原点开始运动，在接下来的一段时间内沿x方向和y方向的x﹣t图像和vy﹣t图像分别如图1、图2所示。
（1）求质点所受的合力F；
（2）求质点2s末距坐标原点的距离；（结果可以带根号）
（3）写出质点的y﹣x的轨迹方程，并在图3上大致画出2s内质点的运动轨迹图。
（2022秋 江西月考）风洞是研究空气动力学的实验设备。如图，两水平面（虚线）之间的距离为H，其间为风洞的区域，物体进入该区间会受到水平方向的恒力，自该区域下边界的O点将质量为m的小球以一定的初速度竖直上抛，从M点离开风洞区域，小球再次从N点返回风洞区域后做直线运动，落在风洞区域的下边界P处，NP与水平方向的夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
（1）风洞区域小球受到水平方向恒力的大小；
（2）小球运动过程中离风洞下边界OP的最大高度；
（3）OP的距离。
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