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6.2 向心力
学习目标 核心素养
1.知道什么是向心力，知道向心力的作用，知道它是根据力的作用效果命名的. 2.通过实验体会向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用． 3.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算. 4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点． 1、物理观念：知道向心力是效果力。 2、科学思维：控制变量法研究向心力的大小与哪些因素有关；掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。 3、科学探究：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。 4、科学态度与责任：分析向心力的来源，会处理一般曲线运动。
知识点1 向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力．
2．作用：改变速度的方向．
3．方向：始终沿着半径指向圆心．
4．向心力是根据力的作用效果命名的，它是由某个力或者几个力的合力提供的．
（2023春 雁塔区期末）如图所示，小物块（可视为质点）相对圆盘静止，随圆盘一起做匀速圆周运动，则给该物块提供向心力的是（ ）
A．重力 B．弹力 C．静摩擦 D．滑动摩擦力
【解答】解：小物块（可视为质点）相对圆盘静止，随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力、静摩擦力作用，静摩擦力提供向心力，故ABD错误，C正确；
故选：C。
（2023春 吉安期末）质量为m的物块放在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，两者保持相对静止一起做匀速圆周运动（如图所示）。若已知物块与圆盘之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．物块受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．物块随圆盘一起运动时受到的摩擦力大小为μmg，方向指向圆心
C．因为物块和圆盘一起做匀速圆周运动，所以物块所受力的合力为0
D．物块受到重力、支持力、摩擦力作用
【解答】解：AD．根据题意可知，物体做圆周运动需要的向心力是摩擦力提供的，因此物块随圆盘一起运动时只受到重力、支持力、摩擦力作用，故A错误，D正确；
B．物块随圆盘一起运动时，与圆盘保持相对静止，受到的摩擦力是静摩擦力，静摩擦力小于等于μmg，方向指向圆心，故B错误；
C．物块做匀速圆周运动，不是平衡状态，所受的合力始终指向圆心，不为零，故C错误。
故选：D。
（2023 贵阳开学）常见于游乐园的摩天轮是一种大型轮状的机械建筑设施，乘客可以搭乘挂在轮边缘的座舱中从高处俯瞰四周景色，如图所示。当摩天轮以一定的角速度逆时针匀速转动时，位于图中P位置的乘客所受座舱的作用力F的示意图可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：摩天轮以一定的角速度逆时针匀速转动，人随摩天轮一起以一定的角速度逆时针匀速转动，故人受到的合力指向旋转中心，只有D选项作用力F和重力的合力，有可能指向旋转中心，故ABC错误，D正确。
故选：D。
知识点2 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 感受向心力
1．实验原理
如图1所示，在绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，另一端握在手中．将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的拉力．
图1
2．实验步骤
(1)在小物体的质量和角速度不变的条件下，改变小物体做圆周运动的半径进行实验，比较向心力与半径的关系．
(2)在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变小物体的角速度进行实验，比较向心力与角速度的关系．
(3)换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作，比较向心力与质量的关系．
3．实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大．
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图2所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动．小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值．
图2
2．实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系．
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系．
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系．
3．实验结论：在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成正比．
在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比．
知识点3 向心力的大小
1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝m2r.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
（2023春 郴州期末）如图所示，细线一端固定在A点，另一端系着小球。给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，关于该小球的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A．受重力、向心力作用
B．受细线拉力、向心力作用
C．受重力、细线拉力作用
D．受重力、细线拉力和向心力作用
【解答】解：对小球受力分析，小球受到重力和细线的拉力，向心力为效果力，由重力和拉力的合力提供，受力分析时不分析，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023春 绿园区校级月考）如图所示，一长为L的轻绳下端拴着质量为m的小球，现使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的加速度大小为
B．小球运动的线速度大小为
C．小球运动的角速度大小为
D．轻绳的拉力大小为mgtanθ
【解答】解：AD．根据题意可知，小球在水平面内做匀速圆周运动，小球所受重力与绳子拉力的合力提供向心力，如图所示：
由几何关系，竖直方向有：Fcosθ＝mg
解得轻绳的拉力大小：
水平方向：
则：F合＝mgtanθ＝ma
解得小球运动的加速度大小：a＝gtanθ，故AD错误；
BC．根据题意，由几何关系可知，小球在水平面内做匀速圆周运动的半径为r＝Lsinθ
由牛顿第二定律有mgtanθ＝mω2Lsinθ
解得，故C错误，B正确。
故选：B。
（2023春 新乡期末）如图甲所示，小球在竖直面内摆动，悬点为O1，轨迹圆的最低点为O2；如图乙所示，小球在水平面内做匀速圆周运动，悬点为O3，轨迹圆的圆心为O4，两小球均视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．甲图中小球的向心力由重力来提供
B．乙图中小球的向心力由重力与悬线拉力的合力来提供
C．甲图中的向心加速度方向指向O2
D．乙图中的向心加速度方向指向O3
【解答】解：A．重力的方向竖直向下，图甲中的小球的向心力由拉力和重力沿悬线方向的分力的合力来提供，故A错误；
B．图乙中小球的向心力由重力和悬线拉力的合力来提供，故B正确；
CD．图甲中小球做圆周运动的圆心为O1，则向心加速度方向指向O1，图乙中小球做圆周运动的圆心为O4，则向心加速度方向指向O4，故CD错误。
故选：B。
（2023春 抚州期末）如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4rad/s。盘面上距圆盘中心0.10m的位置有一个质量为0.10kg的物块在随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块与圆盘之间的动摩擦因数为0.25，g＝10m/s2。下列判断正确的是（ ）
A．物块受到的摩擦力的大小为2.5N
B．物块受到的摩擦力的方向沿切线方向
C．要使物块相对于圆盘滑动，圆盘转动的角速度应大于5rad/s
D．圆盘的角速度从4rad/s增加到5rad/s的过程中，物块受到的摩擦力的方向始终指向圆心
【解答】解：A、根据向心力的计算公式可得：
F向＝mω2r＝0.10×42×0.10N＝0.16N，故A错误；
B、物块做匀速圆周运动，摩擦力提供向心力，所以摩擦力方向指向圆心，故B错误；
C、当向心力大小等于最大静摩擦力时，设此时的角速度为ω'，则μmg＝mω'2r
解得
ω'＝5rad/s
因此，当圆盘角速度大于5rad/s时，物块会发生滑动，故C正确。
D、圆盘的角速度从4rad/s增加到5rad/s的过程中，物块的速度增大，此时摩擦力有沿切线方向的分力，方向不指向圆心，故D错误；
故选：C。
（2023春 济宁期末）济宁市某学校阳光体育运动会有一个集体项目——“旋风跑”，如图所示，5名同学共同抬着竹竿协作配合以最快速度向标志杆跑去，到达标志杆时，以标志杆为圆心，在水平面内转一圈，继续跑向下一个标志杆，分别绕完3个标志杆后，进入对面接力区域，将竹竿交给下一组参赛同学，直到全队完成比赛。在匀速转圈过程中，下列说法正确的是（ ）
A．5名同学的线速度大小相等
B．最外侧同学的角速度最大
C．最内侧同学所需的向心力最小
D．每名同学所受的合力方向相同
【解答】解：AB、5位同学的角速度大小相等，根据线速度公式v＝ωr可知，最外侧的同学线速度最大，故AB错误；
C、根据向心力公式可知，因为同学的质量大小关系未知，所以无法确定同学的向心力的大小关系，故C错误；
D、每位同学受到的合外力提供向心力，都指向圆心，合外力方向相同，故D正确。
故选：D。
（2023春 兰州期中）如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°。当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，结果可用根式表示）。求：
（1）若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大；
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω'为多大。
【解答】解：（1）若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示：
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。
在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtanθ＝mlsinθ
解得ω0rad/s。
（2）同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：
mgtanα＝mω′2lsinα
解得：ω′＝2rad/s。
知识点4 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图3所示．
图3
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小．
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向．
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．
（2023 如皋市开学）两根长度不同的细线上端固定在同一点，下面分别悬挂小球A、B，A的质量小于B的质量，A、B以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两球的相对位置关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：对小球分析，受到重力和拉力作用小球做匀速圆周运动
根据牛顿第二定律结合向心力公式，有
mgtanθ＝mω2Lsinθ
整理得
，是常量，即两球处于同一高度，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023春 江川区校级期末）如图所示，运动员以速度v在倾角为θ的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员和自行车看作一个整体，则该整体在运动中（ ）
A．处于平衡状态
B．做匀变速曲线运动
C．受到的各个力的合力大小为
D．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
【解答】解：ABD、运动员和自行车组成的整体受重力、支持力、摩擦力作用，靠合力提供向心力，合力提供向心力，合力方向始终指向圆心，做变加速曲线运动，故ABD错误；
C、整体做匀速圆周运动，合力提供向心力，则合力，故C正确。
故选：C。
（2023春 建平县校级期末）滑冰运动员在水平冰面上转弯时可近似看成做半径为R＝8m的圆周运动。已知冰鞋与冰面间的最大径向静摩擦力与运动员重力的比值为0.8，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．运动员转弯时，支持力分力提供向心力
B．运动员转弯时，重力与支持力的合力提供向心力
C．运动员转弯时，最大速度为4m/s
D．运动员转弯时，最大速度为8m/s
【解答】解：AB、滑冰运动员在水平冰面上转弯时，支持力垂直接触面，与重力均在竖直方向，所以摩擦力提供向心力，故AB错误；
CD、当沿R＝8m的轨道转弯时，最大径向静摩擦力提供向心力，运动员的转弯速度最大，根据牛顿第二定律可得：，解得最大速度为：，故C错误，D正确。
故选：D。
（2023 广陵区校级开学）在中央电视台《是真的吗》某期节目中，有这样的一个实验，如图所示，将一根足够长的轻质细绳穿过内壁和端口光滑的细空心圆筒，绳子上端系一个金属球，下端与装有皮球的网袋连接。转动空心圆筒，使金属球匀速圆周运动，网袋保持静止（未与空心圆筒接触）。不计空气阻力，对于不同稳定转速的金属球，下列说法错误的是（ ）
A．金属球转速越慢，金属球的位置越低
B．金属球转速越慢，网袋的位置越低
C．空心圆筒上方的细绳与竖直方向的夹角不变
D．金属球在转动过程只受重力和绳子的拉力作用
【解答】解：ABC、金属球质量为m，皮球和网袋的总质量为M，以皮球和网袋为对象，根据受力平衡可知，细绳拉力为T＝Mg
以金属球为对象，设连接金属球的绳子与竖直方向的夹角为α，则有Tcosα＝mg，Tsinα＝mω2r
联立解得，
可知α始终恒定。金属球转速越慢，即角速度越小，可知r越大，因为α恒定，所以空心圆筒与金属球之间的绳子越长，金属球位置越低，网袋位置越高。故AC正确，B错误；
D、金属球在转动过程只受重力和绳子的拉力作用，故D正确，
本题选择错误选项。
故选：B。
（2023春 吉林期末）长度为1m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的角速度为
B．细线的拉力大小为16N
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小为15N
【解答】解：小球受到重力和绳子的拉力，合力提供向心力，如图：
其中：α＝37°
AD．根据牛顿第二定律，沿水平方向有：Fn＝mgtan37°
又：Fn＝mω2Lsin37°
解得：Fn＝15N，，故A错误，D正确；
B．细线的拉力大小为：，故B错误；
C．小球运动的线速度大小为：，故C错误；
故选：D。
（2023春 肇庆期末）游乐场内旋转飞椅的运动可以简化为如图所示的匀速圆周运动，下列关于飞椅的受力分析正确的是（ ）
A．飞椅受到重力、悬绳拉力和向心力的作用
B．飞椅只受向心力作用
C．飞椅在运动中合外力不变
D．飞椅所受的重力和悬绳拉力的合力提供其做圆周运动的向心力
【解答】解：ABD．向心力为效果力，是由其它力提供的，而飞椅在圆周运动的过程中实际只受到重力与悬绳的拉力这两个力的作用，向心力就是由这两个力的合力提供的，故AB错误，D正确；
C．做匀速圆周运动的物体，所受合外力大小不变，方向始终指向圆心，因此飞椅在运动中合外力始终在变，故C错误。
故选：D。
（2023春 顺义区期末）如图所示，已知可视为质点的小球质量为m，小球距悬点的竖直高度为h，小球在水平面内做圆周运动的半径为r，用秒表测得小球运动n圈的时间为t，则下列说法正确的是（ ）
A．向心力的表达式Fn＝mr
B．小球所受的合外力为F合＝mg
C．小球受到重力、拉力、向心力的作用
D．若增大小球转动的角速度，细线与竖直方向的夹角将减小
【解答】A、小球做圆周运动的周期 ，其向心力公式为 ，故A错误；
B、设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有，其所受重力和绳子拉力的合力提供向心力，有 ，故B正确；
C、小球受到重力和绳子拉力，两者的合力提供向心力，故C错误；
D、设绳长为 L，根据牛顿第二定律有 mgtanθ＝m Lsinθ ω2，解得；，由此可知，角速度越大，θ越大，故D错误。
故选：B。
（2023春 大连期末）如图所示，一质量为m的小球（可视为质点）由轻绳a和b分别系于一竖直细杆的A点和B点，AB间距与两轻绳长度均为L。已知重力加速度为g，当小球随杆绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A．当时，b绳恰好没有拉力
B．当时，a绳的拉力大小为
C．当b绳有拉力时，总是比a绳拉力小mg
D．当时，b绳的拉力大小为
【解答】解：A.当b绳恰好没有拉力时，将a绳的拉力Fa沿着竖直方向和水平方向分解，竖直方向的分力与小球的重力等大反向，水平方向的分力给小球提供了向心力，则有
联立解得
故A错误；
B、当 时，设a绳与竖直细杆之间的夹角为α，将a绳的拉力Fa沿着竖直方向和水平方向分解，则有
Facosα＝mg
联立解得
故B错误；
C、当b绳上有拉力时，设两绳上的拉力分别为Fa、Fb，则有
联立解得
整理得
Fa﹣Fb＝2mg
即b绳上的拉力总是比a绳上的拉力小2mg，故C错误；
D、由上述分析可知，当时，b绳上的拉力大小为
故D正确。
故选：D。
（2023春 丰台区期末）斜抛物体的运动轨迹是一条抛物线，抛物线各个位置的弯曲程度虽然不同，但我们可将抛物线分割成许多很短的小段，即物体在每小段的运动都可以看作半径为某个合适值ρ（ρ称为曲率半径）的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究。如图所示，一个小球被斜向上抛出，初速度方向与水平方向成θ角，抛出点的曲率半径为ρ0，重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．初速度大小为
B．初速度大小为
C．最高点的曲率半径为ρ0sin3θ
D．最高点的曲率半径为ρ0cos2θ
【解答】解：AB、小球刚被抛出时，重力沿半径方向的分力提供向心力，有mgcosθ＝m
解得：v0
故A错误，B正确；
CD、小球到达最高点时，速度为v＝v0cosθ，此时重力提供向心力，设此时曲率半径为ρ，则
解得：
故CD错误。
故选：B。
（2023春 丰台区期末）用如图所示的装置探究小球做匀速圆周运动时，向心力大小F与角速度ω的关系。若皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为2：1，则两个小球所受向心力大小之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【解答】解：因为靠皮带传动，变速轮塔的线速度大小相等，根据v＝ω×r，若与皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为2：1，则转动的角速度之比为1：2，根据F＝mω2r，小球半径和质量相等，则转动手柄后，标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力之比为1：4，故 ABD错误，C正确；
故选：C。
（2023春 佛山期末）某乐园有一种“旋转飞船”项目，模型飞船固定在旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ（60°＜θ＜120°），当模型飞船以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ）
A．旋臂对模型飞船的作用力方向竖直向上
B．模型飞船做匀速圆周运动的向心力沿旋臂指向O点
C．若仅增大角速度ω，旋臂对模型飞船的作用力一定增大
D．若仅增大夹角θ，旋臂对模型飞船的作用力一定增大
【解答】解：A．旋臂对模型飞船的作用力的竖直分量与飞船的重力平衡，旋臂对模型飞船的作用力的水平分量提供向心力，则旋臂对模型飞船的作用力方向不是竖直向上，故A错误；
B．模型飞船做匀速圆周运动的向心力沿水平方向指向转轴，即模型飞船做匀速圆周运动的圆心，故B错误；
C．根据力的合成规律，旋臂对模型飞船的作用力
若仅增大角速度ω，旋臂对模型飞船的作用力一定增大，故C正确；
D．根据力的合成规律，旋臂对模型飞船的作用力
若仅增大夹角θ，可知，当θ由60°增加到90°时，飞船做圆周运动的半径变大，则旋臂对模型飞船的作用力F变大；当θ由90°增加到120°时，飞船做圆周运动的半径变小，则旋臂对模型飞船的作用力F变小，故D错误。
故选：C。
（2023春 乌鲁木齐期末）如图，小物体在半径为R的圆筒内，绕竖直轴OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则圆筒对小物体的支持力大小（ ）
A．mωR B．mω2R C．mωR2 D．m2ωR
【解答】解：对物体受力分析知，水平方向由圆筒对小物体的支持力提供其做匀速圆周运动需要的向心力，即
FN＝mω2R
故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2023春 宜丰县校级期末）在俄乌战争中，无人机发挥了重要作用。如图是某固定翼无人机在目标上空高度为h的水平面内盘旋，做匀速圆周运动，测得与目标的距离为s，无人机质量为m，巡航速度为v，所在地重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A．无人机圆周运动的周期为
B．无人机匀速圆周运动过程中，竖直面内受重力、升力和向心力作用
C．无人机获得的升力大小等于mg
D．机翼与水平面的夹角θ满足关系式：
【解答】解：A．由几何关系得无人机做圆周运动的半径为：
则周期为：
故A错误；
B．无人机做匀速圆周运动的过程中，竖直面内受重力、升力的作用，二者的合力提供无人机所需的向心力，故B错误；
C．无人机在水平面内做匀速圆周运动，竖直方向受力平衡，无人机获得的升力在竖直方向上的分力大小等于mg，故C错误；
D．重力和升力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：mgtanθ
则tanθ
故D正确。
故选：D。
（2023春 招远市校级期中）在光滑水平转台上开有一小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端拴一质量为0.1kg的物体A，另一端连接质量为1kg的物体B，如图所示，已知O与A物间的距离为25cm，开始时B物与水平地面接触，设转台旋转过程中小物体A始终随它一起运动g＝10m/s问：
（1）当转台以角速度ω＝4rad/s旋转时，物B对地面的压力多大？
（2）要使物B开始脱离地面，则转台旋的角速度至少为多大？
【解答】解：（1）对A，运用牛顿第二定律得，绳子的拉力T＝mrω2＝0.1×0.25×16N＝0.4N，
对B受力分析有：Mg＝T+F支
解得F支＝Mg﹣T＝10﹣0.4N＝9.6N
所以F压＝9.6N．
（2）当B受的支持力为零时，其将要离开地面，根据mg＝T′可知，T′＝10N
对A有：T′＝mrω′2，代入数据解得ω＝20rad/s．
（2022秋 沙坪坝区校级期末）如图所示，水平圆盘上质量mA＝4m与mB＝m的A、B两个物块，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。AB一起椭圆盘绕竖直中心轴OO'转动，转动角速度ω从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。A、B两物块转动半径rA＝r，rB＝2r。两物块与圆盘间的动摩擦因数均为μ。取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为g，求：
（1）当绳上恰好出现拉力时，圆盘的角速度ω1大小；
（2）当时，A受到的摩擦力fA的大小；
（3）写出A和B受到的摩擦力fA、fB与ω2的分段函数关系，并画出对应图像（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的坐标值）。
【解答】解：（1）当绳上恰好出现拉力时，此时B与转盘之间的摩擦力达到最大静摩擦力，则
解得圆盘的角速度为：
（2）当其大于ω1故B一直受最大静摩擦力，对B有
T+μmg＝mω2 2r
解得：T＝μmg
对A有：T+fA＝4mω2r
解得：fA＝3μmg
（3）易知时无绳的拉力
f A＝4mω2r＝4mrω2
fB＝mω2 2r＝2mrω2
B 最先达到最大静摩擦力时出现绳的拉力，在该范围时B始终为最大静摩擦力
f B＝μmg
对A有：T+fA＝4mω2 r
对B有：T+μmg＝mω2 2r
联立解得：fA＝2mrω2+μmg
直到 f A＝4μmg 为止，故
当 AB 均达到最大静摩擦力后，ω再增大，因A所需向心力大于B所需的向心力，故绳拉力 T 变大时 fA＝4μmg 不变 fB变小，直到反向变到最大静摩擦力
故对A有：T+4μmg＝4mω2r
对B有：T+f B＝mω2 2r
联立解得
fB＝﹣2mrω2+4μmg
直到f B＝﹣μmg 为止，故
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6.2 向心力
学习目标 核心素养
1.知道什么是向心力，知道向心力的作用，知道它是根据力的作用效果命名的. 2.通过实验体会向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用． 3.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算. 4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点． 1、物理观念：知道向心力是效果力。 2、科学思维：控制变量法研究向心力的大小与哪些因素有关；掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。 3、科学探究：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。 4、科学态度与责任：分析向心力的来源，会处理一般曲线运动。
知识点1 向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力．
2．作用：改变速度的方向．
3．方向：始终沿着半径指向圆心．
4．向心力是根据力的作用效果命名的，它是由某个力或者几个力的合力提供的．
（2023春 雁塔区期末）如图所示，小物块（可视为质点）相对圆盘静止，随圆盘一起做匀速圆周运动，则给该物块提供向心力的是（ ）
A．重力 B．弹力 C．静摩擦 D．滑动摩擦力
（2023春 吉安期末）质量为m的物块放在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，两者保持相对静止一起做匀速圆周运动（如图所示）。若已知物块与圆盘之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．物块受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．物块随圆盘一起运动时受到的摩擦力大小为μmg，方向指向圆心
C．因为物块和圆盘一起做匀速圆周运动，所以物块所受力的合力为0
D．物块受到重力、支持力、摩擦力作用
（2023 贵阳开学）常见于游乐园的摩天轮是一种大型轮状的机械建筑设施，乘客可以搭乘挂在轮边缘的座舱中从高处俯瞰四周景色，如图所示。当摩天轮以一定的角速度逆时针匀速转动时，位于图中P位置的乘客所受座舱的作用力F的示意图可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 感受向心力
1．实验原理
如图1所示，在绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，另一端握在手中．将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的拉力．
图1
2．实验步骤
(1)在小物体的质量和角速度不变的条件下，改变小物体做圆周运动的半径进行实验，比较向心力与半径的关系．
(2)在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变小物体的角速度进行实验，比较向心力与角速度的关系．
(3)换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作，比较向心力与质量的关系．
3．实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大．
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图2所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动．皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动．小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值．
图2
2．实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系．
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系．
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系．
3．实验结论：在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成正比．
在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成正比．
知识点3 向心力的大小
1．向心力的大小：Fn＝mω2r＝m＝m2r.
2．向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由合力提供向心力．
3．几种常见的圆周运动向心力的来源
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
（2023春 郴州期末）如图所示，细线一端固定在A点，另一端系着小球。给小球一个初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，关于该小球的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A．受重力、向心力作用
B．受细线拉力、向心力作用
C．受重力、细线拉力作用
D．受重力、细线拉力和向心力作用
（2023春 绿园区校级月考）如图所示，一长为L的轻绳下端拴着质量为m的小球，现使小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角为θ，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的加速度大小为
B．小球运动的线速度大小为
C．小球运动的角速度大小为
D．轻绳的拉力大小为mgtanθ
（2023春 新乡期末）如图甲所示，小球在竖直面内摆动，悬点为O1，轨迹圆的最低点为O2；如图乙所示，小球在水平面内做匀速圆周运动，悬点为O3，轨迹圆的圆心为O4，两小球均视为质点。下列说法正确的是（ ）
A．甲图中小球的向心力由重力来提供
B．乙图中小球的向心力由重力与悬线拉力的合力来提供
C．甲图中的向心加速度方向指向O2
D．乙图中的向心加速度方向指向O3
（2023春 抚州期末）如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4rad/s。盘面上距圆盘中心0.10m的位置有一个质量为0.10kg的物块在随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块与圆盘之间的动摩擦因数为0.25，g＝10m/s2。下列判断正确的是（ ）
A．物块受到的摩擦力的大小为2.5N
B．物块受到的摩擦力的方向沿切线方向
C．要使物块相对于圆盘滑动，圆盘转动的角速度应大于5rad/s
D．圆盘的角速度从4rad/s增加到5rad/s的过程中，物块受到的摩擦力的方向始终指向圆心
（2023春 济宁期末）济宁市某学校阳光体育运动会有一个集体项目——“旋风跑”，如图所示，5名同学共同抬着竹竿协作配合以最快速度向标志杆跑去，到达标志杆时，以标志杆为圆心，在水平面内转一圈，继续跑向下一个标志杆，分别绕完3个标志杆后，进入对面接力区域，将竹竿交给下一组参赛同学，直到全队完成比赛。在匀速转圈过程中，下列说法正确的是（ ）
A．5名同学的线速度大小相等
B．最外侧同学的角速度最大
C．最内侧同学所需的向心力最小
D．每名同学所受的合力方向相同
（2023春 兰州期中）如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°。当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，结果可用根式表示）。求：
（1）若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大；
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω'为多大。
知识点4 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图3所示．
图3
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小．
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向．
2．一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动．
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理．
（2023 如皋市开学）两根长度不同的细线上端固定在同一点，下面分别悬挂小球A、B，A的质量小于B的质量，A、B以相同的角速度绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两球的相对位置关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 江川区校级期末）如图所示，运动员以速度v在倾角为θ的倾斜赛道上做匀速圆周运动。已知运动员及自行车的总质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，将运动员和自行车看作一个整体，则该整体在运动中（ ）
A．处于平衡状态
B．做匀变速曲线运动
C．受到的各个力的合力大小为
D．受重力、支持力、摩擦力、向心力作用
（2023春 建平县校级期末）滑冰运动员在水平冰面上转弯时可近似看成做半径为R＝8m的圆周运动。已知冰鞋与冰面间的最大径向静摩擦力与运动员重力的比值为0.8，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．运动员转弯时，支持力分力提供向心力
B．运动员转弯时，重力与支持力的合力提供向心力
C．运动员转弯时，最大速度为4m/s
D．运动员转弯时，最大速度为8m/s
（2023 广陵区校级开学）在中央电视台《是真的吗》某期节目中，有这样的一个实验，如图所示，将一根足够长的轻质细绳穿过内壁和端口光滑的细空心圆筒，绳子上端系一个金属球，下端与装有皮球的网袋连接。转动空心圆筒，使金属球匀速圆周运动，网袋保持静止（未与空心圆筒接触）。不计空气阻力，对于不同稳定转速的金属球，下列说法错误的是（ ）
A．金属球转速越慢，金属球的位置越低
B．金属球转速越慢，网袋的位置越低
C．空心圆筒上方的细绳与竖直方向的夹角不变
D．金属球在转动过程只受重力和绳子的拉力作用
（2023春 吉林期末）长度为1m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的角速度为
B．细线的拉力大小为16N
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小为15N
（2023春 肇庆期末）游乐场内旋转飞椅的运动可以简化为如图所示的匀速圆周运动，下列关于飞椅的受力分析正确的是（ ）
A．飞椅受到重力、悬绳拉力和向心力的作用
B．飞椅只受向心力作用
C．飞椅在运动中合外力不变
D．飞椅所受的重力和悬绳拉力的合力提供其做圆周运动的向心力
（2023春 顺义区期末）如图所示，已知可视为质点的小球质量为m，小球距悬点的竖直高度为h，小球在水平面内做圆周运动的半径为r，用秒表测得小球运动n圈的时间为t，则下列说法正确的是（ ）
A．向心力的表达式Fn＝mr
B．小球所受的合外力为F合＝mg
C．小球受到重力、拉力、向心力的作用
D．若增大小球转动的角速度，细线与竖直方向的夹角将减小
（2023春 大连期末）如图所示，一质量为m的小球（可视为质点）由轻绳a和b分别系于一竖直细杆的A点和B点，AB间距与两轻绳长度均为L。已知重力加速度为g，当小球随杆绕竖直轴以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A．当时，b绳恰好没有拉力
B．当时，a绳的拉力大小为
C．当b绳有拉力时，总是比a绳拉力小mg
D．当时，b绳的拉力大小为
（2023春 丰台区期末）斜抛物体的运动轨迹是一条抛物线，抛物线各个位置的弯曲程度虽然不同，但我们可将抛物线分割成许多很短的小段，即物体在每小段的运动都可以看作半径为某个合适值ρ（ρ称为曲率半径）的圆周运动的一部分，进而采用圆周运动的分析方法来进行研究。如图所示，一个小球被斜向上抛出，初速度方向与水平方向成θ角，抛出点的曲率半径为ρ0，重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．初速度大小为
B．初速度大小为
C．最高点的曲率半径为ρ0sin3θ
D．最高点的曲率半径为ρ0cos2θ
（2023春 丰台区期末）用如图所示的装置探究小球做匀速圆周运动时，向心力大小F与角速度ω的关系。若皮带连接的两个变速塔轮的半径之比为2：1，则两个小球所受向心力大小之比为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
（2023春 佛山期末）某乐园有一种“旋转飞船”项目，模型飞船固定在旋臂上，旋臂与竖直方向夹角为θ（60°＜θ＜120°），当模型飞船以角速度ω绕中央轴在水平面内做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（ ）
A．旋臂对模型飞船的作用力方向竖直向上
B．模型飞船做匀速圆周运动的向心力沿旋臂指向O点
C．若仅增大角速度ω，旋臂对模型飞船的作用力一定增大
D．若仅增大夹角θ，旋臂对模型飞船的作用力一定增大
（2023春 乌鲁木齐期末）如图，小物体在半径为R的圆筒内，绕竖直轴OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则圆筒对小物体的支持力大小（ ）
A．mωR B．mω2R C．mωR2 D．m2ωR
（2023春 宜丰县校级期末）在俄乌战争中，无人机发挥了重要作用。如图是某固定翼无人机在目标上空高度为h的水平面内盘旋，做匀速圆周运动，测得与目标的距离为s，无人机质量为m，巡航速度为v，所在地重力加速度为g。以下说法正确的是（ ）
A．无人机圆周运动的周期为
B．无人机匀速圆周运动过程中，竖直面内受重力、升力和向心力作用
C．无人机获得的升力大小等于mg
D．机翼与水平面的夹角θ满足关系式：
（2023春 招远市校级期中）在光滑水平转台上开有一小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端拴一质量为0.1kg的物体A，另一端连接质量为1kg的物体B，如图所示，已知O与A物间的距离为25cm，开始时B物与水平地面接触，设转台旋转过程中小物体A始终随它一起运动g＝10m/s问：
（1）当转台以角速度ω＝4rad/s旋转时，物B对地面的压力多大？
（2）要使物B开始脱离地面，则转台旋的角速度至少为多大？
（2022秋 沙坪坝区校级期末）如图所示，水平圆盘上质量mA＝4m与mB＝m的A、B两个物块，用一根不可伸长的轻绳连在一起，轻绳经过圆盘圆心。AB一起椭圆盘绕竖直中心轴OO'转动，转动角速度ω从零开始缓慢增大，直到有物块相对圆盘运动为止。A、B两物块转动半径rA＝r，rB＝2r。两物块与圆盘间的动摩擦因数均为μ。取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。重力加速度为g，求：
（1）当绳上恰好出现拉力时，圆盘的角速度ω1大小；
（2）当时，A受到的摩擦力fA的大小；
（3）写出A和B受到的摩擦力fA、fB与ω2的分段函数关系，并画出对应图像（取指向转轴的方向为摩擦力的正方向，图像中要有重要点的坐标值）。
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