3.1.1基本计数原理 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册（含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.1基本计数原理 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 94.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-05 15:59:20 | ||
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文档简介
第三章 排列、组合与二项式定理
3.1 排列与组合
3.1.1 基本计数原理
基础过关练
题组一 分类加法计数原理
1.(2023辽宁葫芦岛协作校考试)某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有( )
A.40种 B.20种
C.15种 D.11种
2.(2021天津宝坻一中期末)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,可构成真分数的个数为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
3.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有( )
A.4种 B.5种
C.6种 D.7种
4.如图,一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发,沿着正四面体ABCD的棱爬行,每秒爬一条棱,每次爬行的方向是随机的,则蚂蚁第1秒后到点B,第4秒后又回到点A的不同爬行路线有( )
A.6条 B.7条
C.8条 D.9条
5.(2022江苏连云港二模)2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支,冬奥会冰壶混双比赛的赛程安排如下,先进行循环赛,循环赛规则规定每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次,循环赛结束后按照比赛排名决出前4名进行半决赛,胜者决冠军,负者争铜牌,则整个冰壶混双比赛的场数是( )
A.48 B.49 C.93 D.94
题组二 分步乘法计数原理
6.(2023湖北鄂东南三校联考)“谁知盘中餐,粒粒皆辛苦”,节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜,小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭,并全部吃完,则不同的选取方法有( )
A.13种 B.22种
C.30种 D.60种
7.(2021江苏南京第十三中学期末)用数字0,1,2,3组成没有重复数字的三位数,其中比200大的有( )
A.24个 B.12个
C.18个 D.6个
8.(2022重庆广益中学月考)某市汽车牌照号码(由五个字符构成)可以上网自编,且从左到右第二个字符只能从字母B,C,D中选择,其他四个字符可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复).第一个字符(从左到右)车主只想在3,5,6,8,9中选择,剩下的三个字符只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A.180种 B.360种
C.720种 D.960种
9.(2022辽宁丹东期末)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后,需要紧固轮胎的五个螺栓,记为A,B,C,D,E(在正五边形的顶点上),紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓,但不能连续固定相邻的两个,则不同的固定螺栓顺序的种数为( )
A.20 B.15 C.10 D.5
10.(2022广东顺德德胜学校期中)给图中的A,B,C,D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,且相邻的区域所涂颜色不同,若有5种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方案的种数为( )
A.180 B.360 C.64 D.25
题组三 基本计数原理的应用
11.(2022湖南张家界月考)有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )
A.21种 B.315种
C.153种 D.143种
12.(2022广东东莞期中)由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数,则共有( )
A.20个 B.32个
C.40个 D.52个
13.(2021河南信阳模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种生肖(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学每个吉祥物都喜欢,如果让三位同学对选取的礼物都满意,那么不同的选法有( )
A.30种 B.50种
C.60种 D.90种
14.(2022江苏苏州中学期中)某校文创社团近期设计了两款明信片文创作品,借此展示学校的文化底蕴和春天美景,一经推出,广受欢迎.为了支持慈善事业,校志愿者社团派出李明和张伟等5人帮助文创社团公益售卖这两款明信片,5人分为两组,每组售卖同一款明信片.若李明和张伟必须售卖同一款明信片,且每款明信片至少由2名志愿者售卖,则不同的售卖方案种数为( )
A.8 B.10
C.12 D.14
15.(2022北京东城期末)算盘是中国古代的一项重要发明,迄今已有 2 600多年的历史.现有一算盘,取其两档(如图1),自右向左分别表示十进制数的个位和十位,中间一道横梁把算珠分为上、下两部分,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨一珠记作数字1(如图2中的算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠,则可以表示不同整数的个数为( )
图1 图2
A.6 B.8
C.10 D.15
16.(2022北京人大附中期末)现有甲、乙、丙三种树苗可供选择,分别种在一排的五个坑中,至少种两种树苗,要求相同的树苗不能相邻,第一个和第五个坑只能种甲种树苗,则有 种不同的种法.
17.(2021浙江宁波期末)对“田”字形的四个格子进行染色,若每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种,每个格子只染一种颜色,且相邻的格子不能都染成红色,则满足要求的染法有 种.
能力提升练
题组 基本计数原理的应用
1.(2022北京第五十五中学期中)中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:26可表示为“”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
2.(2022湖南师大附中期末)某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市某月15日至18日这4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是( )
A.4 B.12
C.16 D.24
3.(2022山东省实验中学期末)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,若有4种颜色可供使用,则不同的染色方法有( )
A.48种 B.72种
C.96种 D.108种
4.(2022山东潍坊月考)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A,B,C三个路口协助交警值勤,他们申请值勤路口的意向如表所示:
交通路口 A B C
志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁
已知这四名志愿者的申请被批准,且值勤安排符合他们的意向,若要求A,B,C三个路口都有志愿者值勤,则不同的安排方法有( )
A.14种 B.11种
C.8种 D.5种
5.(多选)(2021福建泉州一中期中)某校实行选课走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层,该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示,张毅选择的三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层 3班 地理2班 化学A层 4班
生物A层 1班 化学B层 2班 生物B层 2班 历史B层 1班
物理A层 1班 生物A层 3班 物理A层 2班 生物A层 4班
物理B层 2班 生物B层 1班 物理B层 1班 物理A层 4班
政治1班 物理A层 3班 政治2班 政治3班
A.此人有4种选课方式
B.此人有5种选课方式
C.自习不可能安排在第2节
D.自习可安排在4节课中的任一节
6.(2022陕西西安八校联考)将摆放在编号为1,2,3,4,5五个位置上的五件不同商品重新摆放,则恰有一件商品的位置不变的摆放方法有 种.(用数字作答)
7.(2022上海建平中学期末)从7张分别印有数字0,1,2,3,4,5,6的卡片中取出4张(数字6的卡片可以倒过来当9用),可以组成 个无重复数字且能被4整除的四位数.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.B 8.D
9.C 10.A 11.D 12.D 13.B 14.A 15.B
1.D
2.D 分四种情况:(1)当分子为1时,有,共4个真分数;(2)当分子为3时,有,共3个真分数;(3)当分子为5时,有,共2个真分数;(4)当分子为7时,有,共2个真分数.由分类加法计数原理知,可构成真分数的个数为4+3+2+2=11.故选D.
3.A 当三堆中最多的一堆为5个时,其他两堆总和为5,有2种分法,即1和4,2和3;当三堆中最多的一堆为4个时,其他两堆总和为6,有2种分法,即2和4,3和3.所以不同的分法共有2+2=4(种).故选A.
4.B 由题意可画图如下,则不同的爬行路线有7条.故选B.
5.B ∵循环赛共有=45(场),
决出前4名后,分两组进行半决赛,半决赛举行2场,胜者决冠军举行1场,负者争铜牌举行1场,
∴整个冰壶混双比赛的场数为45+2+1+1=49.
6.D
7.B 由题意可知,百位上的数字为2或3,十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个,个位上的数字再在剩下的2个数字中选择1个.由分步乘法计数原理可知,比200大的三位数的个数为2×3×2=12.故选B.
8.D 从左到右,第一个字符在3,5,6,8,9中选择,共有5种选法;第二个字符在字母B,C,D中选择,共有3种选法;剩下的三个字符在1,3,6,9中选择,每个字符有4种选法.所以共有5×3×4×4×4=960种选法.
9.C 如图,先在A,B,C,D,E这五个螺栓中任选一个,有5种选法;假设选中A,则再在C,D中任选一个,有2种选法;剩下的三个螺栓只有1种固定顺序.故共有5×2=10种不同的固定顺序.故选C.
10.A 第一步涂A,有5种涂法;第二步涂B,和A不同色,有4种涂法;第三步涂C,和A,B不同色,有3种涂法;第四步涂D,和B,C不同色,有3种涂法.由分步乘法计数原理可知,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案,故选A.
11.D 由题意,选1本语文书和1本数学书有9×7=63种选法,选1本数学书和1本英语书有7×5=35种选法,选1本语文书和1本英语书有9×5=45种选法,∴共有63+35+45=143种不同的选法.故选D.
12.D 若个位上的数字是2或4,则0不能在百位,十位上的数字在余下4个数字中选择,共有2×4×4=32(个);若个位上的数字是0,则百位、十位上的数字在余下5个数字中选择2个,共有5×4=20(个).所以可以组成32+20=52个没有重复数字的三位偶数.故选D.
13.B ①若甲同学选择牛,则乙同学有2种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为2×10=20;
②若甲同学选择马,则乙同学有3种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为3×10=30.
综上,共有20+30=50种不同的选法.故选B.
14.A 若李明和张伟两人组成一组,则有1种分组方法;若李明、张伟和其他1人组成一组,则有3种分组方法.所以共有1+3=4种分组方法.将分好的两组安排售卖这两款明信片,不同的售卖方案种数为4×2=8.故选A.
15.B 拨动两枚算珠可分为以下三类:
(1)在个位上拨动两枚,可表示2个不同整数;
(2)在十位上拨动两枚,可表示2个不同整数;
(3)在个位、十位上分别拨动一枚,可表示2×2=4个不同整数.
根据分类加法计数原理,一共可表示2+2+4=8个不同整数.故选B.
16.答案 6
解析 由题意得,只有中间三个坑需要选择树苗.①当中间的坑种甲种树苗时,第二个和第四个坑都有2种种法,共有4种种法;②当中间的坑种乙种树苗时,第二个和第四个坑都种丙种树苗;③当中间的坑种丙种树苗时,第二个和第四个坑都种乙种树苗.所以共有4+1+1=6种不同的种法.
17.答案 56
解析 若4个格子中没有染红色,则每格都染成黄色或蓝色,有24=16种不同染法;若4个格子中恰有1格染成红色,则有3格染成黄色或蓝色,有4×23=32种不同染法;若4个格子中恰有2格染成红色,则有2格染成黄色或蓝色,有2×22=8种不同染法.所以满足要求的染法共有16+32+8=56(种).
能力提升练
1.D 2.B 3.B 4.B 5.BD
1.D 6根算筹可以表示的数字组合为(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7),数字组合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合(3,3),(7,7)中,每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.故一共可以表示14+2=16个两位数,故选D.
2.B 第一步,安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种).第二步,安排偶数日出行,分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种;第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共有2+1=3(种).根据分步乘法计数原理知,不同的用车方案共有4×3=12(种),故选B.
3.B 记四棱锥为P-ABCD.当A,C颜色相同时,先染P,有4种染色方法,再染A,C,有3种染色方法,然后染B,有2种染色方法,最后染D,有2种染色方法,所以有4×3×2×2=48种染色方法.当A,C颜色不同时,先染P,有4种染色方法,再染A,有3种染色方法,然后染C,有2种染色方法,最后染B,D,都有1种染色方法,所以有4×3×2×1×1=24种染色方法.综上,共有48+24=72种不同的染色方法.故选B.
4.B ①C路口安排丙和丁执勤,则A,B路口安排甲或乙分别执勤,有2种安排方法;②C路口安排丙执勤,则丁只能被安排在A路口执勤,甲、乙均被安排在B路口执勤或甲、乙中一人被安排在A路口执勤,另一人被安排在B路口执勤,有3种安排方法;③C路口安排丁执勤,则丙被安排在A路口或B路口执勤,若丙被安排在A路口执勤,则甲、乙均被安排在B路口执勤或甲、乙中一人被安排在A路口执勤,另一人被安排在B路口执勤,有3种安排方法,同理,若丙被安排在B路口执勤,则有3种安排方法.
综上,不同的安排方法有2+3+3+3=11(种).故选B.
5.BD 由于生物在B层,只有第2,3节有,故分两类:
若生物选第2节,则地理可选第1节或第3节,有2种选法,其他两节政治、自习任意选即可,故有2×2=4种选法(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节);
若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选第2节,故有1种选法.
由分类加法计数原理可得,选课方式有4+1=5(种).
综上,自习可安排在4节课中的任一节.
6.答案 45
解析 根据题意,分2步进行分析:
①从五件不同商品中选出一件,放到原来的位置上,有5种情况,假设编号为5的商品位置不变;
②剩下的四件都不在原来的位置,即编号为1,2,3,4的四件商品都不在原来的位置,则编号为1的商品有3种放法,假设其放在了编号为2的商品原来的位置,则编号为2的商品有3种放法,剩下编号为3,4的两件商品只有1种放法,
故剩下的四件商品有3×3×1=9种放法.
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有5×9=45(种).
7.答案 276
解析 ①后两位为04,20,40,60,对于04,20,40需要考虑是否取到数字6,共有(20+8)×3+20=104(个);②后两位为12,24,32,52,注意0不在首位,共有(5+12+6)×4=92(个);③后两位为16,36,56,64,92,注意0不在首位,共有(4+12)×5=80(个).∴可以组成104+92+80=276个无重复数字且能被4整除的四位数.
3.1 排列与组合
3.1.1 基本计数原理
基础过关练
题组一 分类加法计数原理
1.(2023辽宁葫芦岛协作校考试)某学校开设4门球类运动课程、5门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习,某位学生任选1门课程学习,则不同的选法共有( )
A.40种 B.20种
C.15种 D.11种
2.(2021天津宝坻一中期末)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,可构成真分数的个数为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
3.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少有1个,至多有5个,则不同的分法共有( )
A.4种 B.5种
C.6种 D.7种
4.如图,一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发,沿着正四面体ABCD的棱爬行,每秒爬一条棱,每次爬行的方向是随机的,则蚂蚁第1秒后到点B,第4秒后又回到点A的不同爬行路线有( )
A.6条 B.7条
C.8条 D.9条
5.(2022江苏连云港二模)2022年北京冬奥会参加冰壶混双比赛的队伍共有10支,冬奥会冰壶混双比赛的赛程安排如下,先进行循环赛,循环赛规则规定每支队伍都要和其余9支队伍轮流交手一次,循环赛结束后按照比赛排名决出前4名进行半决赛,胜者决冠军,负者争铜牌,则整个冰壶混双比赛的场数是( )
A.48 B.49 C.93 D.94
题组二 分步乘法计数原理
6.(2023湖北鄂东南三校联考)“谁知盘中餐,粒粒皆辛苦”,节约粮食是我国的传统美德.已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜,小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭,并全部吃完,则不同的选取方法有( )
A.13种 B.22种
C.30种 D.60种
7.(2021江苏南京第十三中学期末)用数字0,1,2,3组成没有重复数字的三位数,其中比200大的有( )
A.24个 B.12个
C.18个 D.6个
8.(2022重庆广益中学月考)某市汽车牌照号码(由五个字符构成)可以上网自编,且从左到右第二个字符只能从字母B,C,D中选择,其他四个字符可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复).第一个字符(从左到右)车主只想在3,5,6,8,9中选择,剩下的三个字符只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A.180种 B.360种
C.720种 D.960种
9.(2022辽宁丹东期末)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后,需要紧固轮胎的五个螺栓,记为A,B,C,D,E(在正五边形的顶点上),紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓,但不能连续固定相邻的两个,则不同的固定螺栓顺序的种数为( )
A.20 B.15 C.10 D.5
10.(2022广东顺德德胜学校期中)给图中的A,B,C,D四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色,且相邻的区域所涂颜色不同,若有5种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方案的种数为( )
A.180 B.360 C.64 D.25
题组三 基本计数原理的应用
11.(2022湖南张家界月考)有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )
A.21种 B.315种
C.153种 D.143种
12.(2022广东东莞期中)由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的三位偶数,则共有( )
A.20个 B.32个
C.40个 D.52个
13.(2021河南信阳模拟)中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种生肖(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学每个吉祥物都喜欢,如果让三位同学对选取的礼物都满意,那么不同的选法有( )
A.30种 B.50种
C.60种 D.90种
14.(2022江苏苏州中学期中)某校文创社团近期设计了两款明信片文创作品,借此展示学校的文化底蕴和春天美景,一经推出,广受欢迎.为了支持慈善事业,校志愿者社团派出李明和张伟等5人帮助文创社团公益售卖这两款明信片,5人分为两组,每组售卖同一款明信片.若李明和张伟必须售卖同一款明信片,且每款明信片至少由2名志愿者售卖,则不同的售卖方案种数为( )
A.8 B.10
C.12 D.14
15.(2022北京东城期末)算盘是中国古代的一项重要发明,迄今已有 2 600多年的历史.现有一算盘,取其两档(如图1),自右向左分别表示十进制数的个位和十位,中间一道横梁把算珠分为上、下两部分,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下四珠,上拨一珠记作数字1(如图2中的算盘表示整数51).若拨动图1的两枚算珠,则可以表示不同整数的个数为( )
图1 图2
A.6 B.8
C.10 D.15
16.(2022北京人大附中期末)现有甲、乙、丙三种树苗可供选择,分别种在一排的五个坑中,至少种两种树苗,要求相同的树苗不能相邻,第一个和第五个坑只能种甲种树苗,则有 种不同的种法.
17.(2021浙江宁波期末)对“田”字形的四个格子进行染色,若每个格子均可从红、黄、蓝三种颜色中选一种,每个格子只染一种颜色,且相邻的格子不能都染成红色,则满足要求的染法有 种.
能力提升练
题组 基本计数原理的应用
1.(2022北京第五十五中学期中)中国古代十进制的算筹计数法在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:26可表示为“”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
2.(2022湖南师大附中期末)某单位有4位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,1,2,5,为遵守所在城市某月15日至18日这4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),四人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车(车牌尾数为2)最多只能用一天,则不同的用车方案种数是( )
A.4 B.12
C.16 D.24
3.(2022山东省实验中学期末)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,若有4种颜色可供使用,则不同的染色方法有( )
A.48种 B.72种
C.96种 D.108种
4.(2022山东潍坊月考)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申请在国庆期间到A,B,C三个路口协助交警值勤,他们申请值勤路口的意向如表所示:
交通路口 A B C
志愿者 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁
已知这四名志愿者的申请被批准,且值勤安排符合他们的意向,若要求A,B,C三个路口都有志愿者值勤,则不同的安排方法有( )
A.14种 B.11种
C.8种 D.5种
5.(多选)(2021福建泉州一中期中)某校实行选课走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层,该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示,张毅选择的三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是( )
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层 3班 地理2班 化学A层 4班
生物A层 1班 化学B层 2班 生物B层 2班 历史B层 1班
物理A层 1班 生物A层 3班 物理A层 2班 生物A层 4班
物理B层 2班 生物B层 1班 物理B层 1班 物理A层 4班
政治1班 物理A层 3班 政治2班 政治3班
A.此人有4种选课方式
B.此人有5种选课方式
C.自习不可能安排在第2节
D.自习可安排在4节课中的任一节
6.(2022陕西西安八校联考)将摆放在编号为1,2,3,4,5五个位置上的五件不同商品重新摆放,则恰有一件商品的位置不变的摆放方法有 种.(用数字作答)
7.(2022上海建平中学期末)从7张分别印有数字0,1,2,3,4,5,6的卡片中取出4张(数字6的卡片可以倒过来当9用),可以组成 个无重复数字且能被4整除的四位数.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.D 2.D 3.A 4.B 5.B 6.D 7.B 8.D
9.C 10.A 11.D 12.D 13.B 14.A 15.B
1.D
2.D 分四种情况:(1)当分子为1时,有,共4个真分数;(2)当分子为3时,有,共3个真分数;(3)当分子为5时,有,共2个真分数;(4)当分子为7时,有,共2个真分数.由分类加法计数原理知,可构成真分数的个数为4+3+2+2=11.故选D.
3.A 当三堆中最多的一堆为5个时,其他两堆总和为5,有2种分法,即1和4,2和3;当三堆中最多的一堆为4个时,其他两堆总和为6,有2种分法,即2和4,3和3.所以不同的分法共有2+2=4(种).故选A.
4.B 由题意可画图如下,则不同的爬行路线有7条.故选B.
5.B ∵循环赛共有=45(场),
决出前4名后,分两组进行半决赛,半决赛举行2场,胜者决冠军举行1场,负者争铜牌举行1场,
∴整个冰壶混双比赛的场数为45+2+1+1=49.
6.D
7.B 由题意可知,百位上的数字为2或3,十位上的数字可在剩余3个数字中选择1个,个位上的数字再在剩下的2个数字中选择1个.由分步乘法计数原理可知,比200大的三位数的个数为2×3×2=12.故选B.
8.D 从左到右,第一个字符在3,5,6,8,9中选择,共有5种选法;第二个字符在字母B,C,D中选择,共有3种选法;剩下的三个字符在1,3,6,9中选择,每个字符有4种选法.所以共有5×3×4×4×4=960种选法.
9.C 如图,先在A,B,C,D,E这五个螺栓中任选一个,有5种选法;假设选中A,则再在C,D中任选一个,有2种选法;剩下的三个螺栓只有1种固定顺序.故共有5×2=10种不同的固定顺序.故选C.
10.A 第一步涂A,有5种涂法;第二步涂B,和A不同色,有4种涂法;第三步涂C,和A,B不同色,有3种涂法;第四步涂D,和B,C不同色,有3种涂法.由分步乘法计数原理可知,共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案,故选A.
11.D 由题意,选1本语文书和1本数学书有9×7=63种选法,选1本数学书和1本英语书有7×5=35种选法,选1本语文书和1本英语书有9×5=45种选法,∴共有63+35+45=143种不同的选法.故选D.
12.D 若个位上的数字是2或4,则0不能在百位,十位上的数字在余下4个数字中选择,共有2×4×4=32(个);若个位上的数字是0,则百位、十位上的数字在余下5个数字中选择2个,共有5×4=20(个).所以可以组成32+20=52个没有重复数字的三位偶数.故选D.
13.B ①若甲同学选择牛,则乙同学有2种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为2×10=20;
②若甲同学选择马,则乙同学有3种选择,丙同学有10种选择,不同的选法种数为3×10=30.
综上,共有20+30=50种不同的选法.故选B.
14.A 若李明和张伟两人组成一组,则有1种分组方法;若李明、张伟和其他1人组成一组,则有3种分组方法.所以共有1+3=4种分组方法.将分好的两组安排售卖这两款明信片,不同的售卖方案种数为4×2=8.故选A.
15.B 拨动两枚算珠可分为以下三类:
(1)在个位上拨动两枚,可表示2个不同整数;
(2)在十位上拨动两枚,可表示2个不同整数;
(3)在个位、十位上分别拨动一枚,可表示2×2=4个不同整数.
根据分类加法计数原理,一共可表示2+2+4=8个不同整数.故选B.
16.答案 6
解析 由题意得,只有中间三个坑需要选择树苗.①当中间的坑种甲种树苗时,第二个和第四个坑都有2种种法,共有4种种法;②当中间的坑种乙种树苗时,第二个和第四个坑都种丙种树苗;③当中间的坑种丙种树苗时,第二个和第四个坑都种乙种树苗.所以共有4+1+1=6种不同的种法.
17.答案 56
解析 若4个格子中没有染红色,则每格都染成黄色或蓝色,有24=16种不同染法;若4个格子中恰有1格染成红色,则有3格染成黄色或蓝色,有4×23=32种不同染法;若4个格子中恰有2格染成红色,则有2格染成黄色或蓝色,有2×22=8种不同染法.所以满足要求的染法共有16+32+8=56(种).
能力提升练
1.D 2.B 3.B 4.B 5.BD
1.D 6根算筹可以表示的数字组合为(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,3),(3,7),(7,7),数字组合(1,5),(1,9),(2,4),(2,8),(6,4),(6,8),(3,7)中,每组可以表示2个两位数,则可以表示2×7=14个两位数;数字组合(3,3),(7,7)中,每组可以表示1个两位数,则可以表示2×1=2个两位数.故一共可以表示14+2=16个两位数,故选D.
2.B 第一步,安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22=4(种).第二步,安排偶数日出行,分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种;第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共有2+1=3(种).根据分步乘法计数原理知,不同的用车方案共有4×3=12(种),故选B.
3.B 记四棱锥为P-ABCD.当A,C颜色相同时,先染P,有4种染色方法,再染A,C,有3种染色方法,然后染B,有2种染色方法,最后染D,有2种染色方法,所以有4×3×2×2=48种染色方法.当A,C颜色不同时,先染P,有4种染色方法,再染A,有3种染色方法,然后染C,有2种染色方法,最后染B,D,都有1种染色方法,所以有4×3×2×1×1=24种染色方法.综上,共有48+24=72种不同的染色方法.故选B.
4.B ①C路口安排丙和丁执勤,则A,B路口安排甲或乙分别执勤,有2种安排方法;②C路口安排丙执勤,则丁只能被安排在A路口执勤,甲、乙均被安排在B路口执勤或甲、乙中一人被安排在A路口执勤,另一人被安排在B路口执勤,有3种安排方法;③C路口安排丁执勤,则丙被安排在A路口或B路口执勤,若丙被安排在A路口执勤,则甲、乙均被安排在B路口执勤或甲、乙中一人被安排在A路口执勤,另一人被安排在B路口执勤,有3种安排方法,同理,若丙被安排在B路口执勤,则有3种安排方法.
综上,不同的安排方法有2+3+3+3=11(种).故选B.
5.BD 由于生物在B层,只有第2,3节有,故分两类:
若生物选第2节,则地理可选第1节或第3节,有2种选法,其他两节政治、自习任意选即可,故有2×2=4种选法(此种情况自习可安排在第1,3,4节中的某节);
若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选第2节,故有1种选法.
由分类加法计数原理可得,选课方式有4+1=5(种).
综上,自习可安排在4节课中的任一节.
6.答案 45
解析 根据题意,分2步进行分析:
①从五件不同商品中选出一件,放到原来的位置上,有5种情况,假设编号为5的商品位置不变;
②剩下的四件都不在原来的位置,即编号为1,2,3,4的四件商品都不在原来的位置,则编号为1的商品有3种放法,假设其放在了编号为2的商品原来的位置,则编号为2的商品有3种放法,剩下编号为3,4的两件商品只有1种放法,
故剩下的四件商品有3×3×1=9种放法.
故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有5×9=45(种).
7.答案 276
解析 ①后两位为04,20,40,60,对于04,20,40需要考虑是否取到数字6,共有(20+8)×3+20=104(个);②后两位为12,24,32,52,注意0不在首位,共有(5+12+6)×4=92(个);③后两位为16,36,56,64,92,注意0不在首位,共有(4+12)×5=80(个).∴可以组成104+92+80=276个无重复数字且能被4整除的四位数.