3.3二项式定理与杨辉三角 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册（含解析）
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| 名称 | 3.3二项式定理与杨辉三角 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 105.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-05 16:00:47 | ||
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文档简介
第三章 排列、组合与二项式定理
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
题组一 对二项式定理的理解
1.若(1+b(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=( )
A.x5 B.x5-1
C.x5+1 D.(x-1)5-1
3.设A=37+×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129
C.47 D.0
题组二 展开式的特定项、项的系数及二项式系数
4.(2022山东青岛期中)的展开式中,含x11的项的系数是( )
A.10 B.15 C.20 D.25
5.将(3+x)n(n∈N+)的展开式的各项按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(2022北京人大附中期末)已知(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为( )
A.14 B.-14
C.240 D.-240
7.(2023吉林长春十一名校联考)若(x+2)6+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a3= .
8.(2022广东云浮期末)(1-x)10的展开式中的常数项为 .
9.已知在的展开式中,第5项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
题组三 二项式系数的性质
10.(2022江苏阜宁中学期中)在(n∈N+)的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为( )
A.18 B.12 C.9 D.6
11.(2023河北衡水中学模拟预测) x≠0,可以写成关于x2+的多项式,则该多项式各项系数之和为( )
A.240 B.241 C.242 D.243
12.(多选)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是( )
A.a2+a5=588
B.a1+a2+…+a7=1
C.a1+a3+a5+a7=
D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1
13.(2023上海交大附中期末)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则展开式中的常数项为 .
14.(2022湖南长郡中学月考)若的展开式中,仅有第6项的二项式系数取得最大值,则展开式中含的项的系数是 .
15.已知(n∈N+)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
题组四 杨辉三角
16.下图是与杨辉三角有类似性质的三角形数阵,若a,b依次是某行的前两个数,当a=7时,b=( )
A.20 B.21
C.22 D.23
17.(2022上海位育中学期末)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,它揭示了二项展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示,则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A.+…+=165
B.在第2 022行中第1 011个数最大
C.第6行、第7行和第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
D.第34行的第15个数与第16个数之比为2∶3
18.观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一行各数之和为 .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
1 10 45 … 45 10 1
能力提升练
题组一 展开式的特定项及项的系数
1.(2023北京通州期末)设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2021江苏苏州大学附属中学月考)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)20的展开式中,含x2的项的系数为( )
A.1 140 B.1 330 C.190 D.210
3.(a+x)6的展开式中x4的系数为-,则实数a的值为( )
A.-
4.(2023辽宁沈阳东北育才学校期末)(x-2y+2z)5的展开式中,xy3z的系数为( )
A.-320 B.320 C.-240 D.240
5.(2023浙江江山中学期末)已知(x-1)4+2x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,则a3= .
题组二 二项式系数的性质
6.在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,且所有项的系数之和为0,则展开式中含x6的项的系数为( )
A.45 B.-45 C.120 D.-120
7.(多选)(2022广东茂名期末)已知的展开式中各二项式系数之和为64,则下列结论正确的是( )
A.展开式中各项系数之和为36
B.展开式中二项式系数最大的项为160
C.展开式中无常数项
D.展开式中系数最大的项为90x3
8.(多选)(2021湖南长沙市一中月考)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则下列说法正确的是( )
A.展开式中所有项的二项式系数之和为22 021
B.展开式中所有奇次项系数之和为
C.展开式中所有偶次项系数之和为
D.+…+=-1
9.(2021湖南长沙第一中学月考)若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 020(x+2)2 020,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020= .
10.已知的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
题组三 杨辉三角
11.(多选)(2021江苏徐州二模)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,则( )
A.在第9条斜线上,各数之和为55
B.在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小
C.在第n条斜线上,共有个数
D.在第11条斜线上,最大的数是
12.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨三角形”,它是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n∈N+,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如,……,则第10行第4个数(从左往右数)为 .
……
题组四 二项式定理的应用
13.(2022吉林长春期末)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
14.(2022山东济宁期中)假设今天是星期二,那么经过22 021天后是( )
A.星期三 B.星期四
C.星期五 D.星期六
15.若n是正奇数,则7n+7n-2+…+7被9除的余数为( )
A.2 B.5 C.7 D.8
16.证明:(1)5151-1能被7整除;
(2)32n+2-8n-9是64的倍数.
答案与分层梯度式解析
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C 10.C 11.D
12.ACD 16.C 17.C
1.B ∵(1+·(b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
3.A A-B=×30=(3-1)7=27=128.
4.B 的展开式的通项公式为Tr+1=·(x2)10-rx20-3r,r=0,1,…,10.令20-3r=11,解得r=3.故含x11的项的系数是=15.
5.B 依题意,得·32=90,即=10,解得n=5.
6.C 的展开式的通项公式为Tr+1=(2x)n-r·(0≤r≤n,r∈N),由题可得=2∶5,即5,解得n=6,所以Tr+1=,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系数为26-2(-1)2=15×16×1=240,故选C.
7.答案 140
解析 (x+2)6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r2r,令6-r=3,得r=3,
则(x+2)6的展开式中含x3的项为23x3=160x3.
(x-1)6的展开式的通项公式为Tk+1=x6-k(-1)k,令6-k=3,得k=3,
则(x-1)6的展开式中含x3的项为(-1)3x3=-20x3.
故a3=160-20=140.
8.答案 -8
解析 (1-x)10的展开式的通项公式为Tr+1=110-r·(-x)r,r=0,1,…,10,所以(1-x)10的展开式中的常数项为219(-x)1=2-10=-8.
9.解析 (1)的展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤n,r∈N).
因为展开式中的第5项为常数项,
所以当r=4时,有=0,解得n=8.
(2)由(1)知n=8,故展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),令=2,解得r=1,
故展开式中含x2的项的系数为=-4.
(3)由题意得所以r可取1,4,7,对应的有理项分别为T2=-4x2,T5=,
故展开式中所有的有理项为-4x2,.
10.C 令x=1,可得各项系数之和M=(1+3)n=4n,各项二项式系数之和N=2n,又M+N=4n+2n=72,所以n=3,所以,其通项公式为Tr+1=(r=0,1,2,3),令r=0,解得r=1,所以展开式中的常数项为31=9.故选C.
11.D +2,
令t=x2+,得=(t+2)5,
令t=1,得(t+2)5=35=243,
所以该多项式各项系数之和为243.故选D.
12.ACD (2x-1)7的展开式的第r+1项为Tr+1=·(2x)7-r·(-1)r=·(-1)r·27-r·x7-r,
又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,
所以a2=·(-1)5·27-5=-84,a5=·(-1)2·27-2=672,则a2+a5=588,故A正确.
令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1;
令x=0,则(0-1)7=a0=-1,
故a1+a2+…+a7=1-(-1)=2,故B错误.
令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,故a1+a3+a5+a7=[(a0+a1+a2+…+a6+a7)-(a0-a1+a2-…+a6-a7)]=,故C正确.
|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正确.故选ACD.
13.答案 405
解析 由题意得,由组合数的性质可知n=10.所以.
因为展开式的各项系数之和为1 024,
所以在中,令x=1,得(a-1)10=1 024=210.
因为a>0,所以a=3.
所以的展开式的通项公式为Tr+1=.
令20-=0,解得r=8,
所以常数项为(-1)8310-8=405.
14.答案 -
解析 因为仅有第6项的二项式系数取得最大值,所以=6-1,即n=10,故,
其展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤10,r∈N),令5-,解得r=3,∴展开式中含·(-2)3=-.
15.解析 由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为.
(1)令x=1,得展开式中各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),
令4-,得r=1,
故展开式中含的项为T2=-16.
(3)展开式中的第r+1项的系数的绝对值为·2r,设第r+1项的系数的绝对值最大,
则解得5≤r≤6(r∈N).
又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792x-11.
由n=8知第5项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T5=1 120x-6.
16.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
17.C 由+…++…++…+-1=…=-1=164,故A错误;
第2 022行中第+1=1 012个数最大,故B错误;
,故C正确;
第34行的第15个数与第16个数之比为=15∶20=3∶4,故D错误.
18.答案 1 024
解析 由题图得最后一行各数之和为+…+=210=1 024.
能力提升练
1.B 2.B 3.D 4.A 6.A 7.AB 8.ACD 11.BCD
13.B 14.D 15.C
1.B 的展开式的通项公式为Tr+1=x2n-3r,
令2n-3r=0,得n=r,因为n∈N+,所以当r=2时,n有最小值3.故选B.
2.B 根据二项式定理得(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)20的展开式中,含x2的项的系数为+…++…++…+=…==1 330.
3.D (a+x)6的展开式的通项公式为Tr+1=a6-rxr(r=0,1,2,…,6),所以(a+x)6的展开式中含x4的项为ax5,故(a+x)6的展开式中x4的系数为,所以a=-.故选D.
4.A 因为(x-2y+2z)5=[(x-2y)+2z]5,
所以其通项公式为Tr+1=·(x-2y)5-r·(2z)r,
令r=1,得T2=·(x-2y)4·2z=10(x-2y)4z.
(x-2y)4的通项公式为T'n+1=·x4-n·(-2y)n,
令n=3,得T'4=·x·(-2y)3=-32xy3,
因此xy3z的系数为10×(-32)=-320,故选A.
5.答案 12
解析 令x+1=t,则x=t-1,
故(x-1)4+2x5=(t-2)4+2(t-1)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,
(t-2)4的展开式中t3的系数为(-2)1=-8,
(t-1)5的展开式中t3的系数为(-1)2=10,
所以a3=-8+10×2=12.
6.A 由题意得+1=6,解得n=10,
∴.
∵展开式的所有项的系数之和为0,
∴令x=1,得(1+a)10=0,∴a=-1.
∴,其展开式的通项公式为Tr+1=x10-2r(0≤r≤10,r∈N),
令10-2r=6,解得r=2,∴展开式中含x6的项的系数为(-1)2=45.故选A.
7.AB 因为的展开式中各二项式系数之和为64,所以2n=64,解得n=6,所以该式为,其展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤6,r∈N).对于A,令x=1,可得展开式中各项系数之和为36,所以A正确;对于B,第4项的二项式系数最大,此时r=3,则展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3·,所以B正确;对于C,令6-r=0,得r=4,所以展开式中的常数项为T5==60,所以C错误;对于D,令第r+1项的系数最大,则≤r≤,因为r∈N,所以r=2,即展开式中系数最大的项为T3=24x3=240x3,所以D错误.故选AB.
8.ACD 令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 021=-1①,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021②.展开式中所有项的二项式系数的和为+…+=22 021,故A正确;由可得a1+a3+a5+…+a2 021=-,故B错误;由可得a0+a2+a4+…+a2 020=,故C正确;令x=0,有a0=1,令x=,有a0++…+=0,故+…+=-1,故D正确.故选ACD.
9.答案 1-32 020
解析 令x=-2,则(1-4)2 020=a0,即a0=32 020,
令x=0,则12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020,
即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1,
故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020.
10.解析 (+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即.
(2)的展开式的通项公式为Tr+1=·(2x)100-r··2100-r·(-1)r·x100-2r(0≤r≤100,r∈N),其系数的绝对值为·2100-r,
设系数的绝对值最大的项是第k+1项,
则≤k≤,
∵k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=·2100-33·(-1)33·x100-2×33=-·267·x34.
11.BCD 从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,设这些数依次为a1,a2,…,
则各数出现的规律是an+2=an+an+1(n∈N+),
所以第8条斜线上各数之和为8+13=21,第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A错误;
由题图易知,从左往右,第1条斜线上的数:1,
第2条斜线上的数:,
第3条斜线上的数:,
第4条斜线上的数:,
第5条斜线上的数:,
第6条斜线上的数:,
……
依此规律,第11条斜线上的数为,最大的数是,故D正确;
由上面的规律可知:n为奇数时,第n条斜线上共有个数,
n为偶数时,第n条斜线上共有个数,
所以第n条斜线上共有个数,故C正确;
由上述每条斜线上的数的规律可知,在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小,故B正确.
12.答案
解析 将杨辉三角中的每一个数即可得到“莱布尼茨三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数为=84,所以“莱布尼茨三角形”中第10行第4个数为.
13.B 1.957=(2-0.05)7=27-×25×0.052-…-0.057≈27-×25×0.052=107.28≈107.故选B.
14.D 22 021=4×22 019=4×8673=4×(7+1)673=4(·7673+·7672+…+·7+),由于·7673+·7672+…+·7+中,除了,其余各项都能被7整除,故整个式子除以7的余数为4=4,故经过22 021天后是星期六,故选D.
15.C 原式=7n-2+…+7n·10+7n-1·1+7n-2·12+…+7·1n-1+70·1n)-70·1n=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=[9n·(-1)0+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1+90·(-1)n]-1,
因为n为正奇数,所以上式可化简为9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-2=9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-9+7,所以该式除以9的余数为7.故选C.
16.证明 (1)5151-1=(49+2)51-1=·4951+·4950·2+…+·49·250+·251-1,
易知除·251-1以外各项都能被7整除.
又·251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
=·717+·716+…+·7+-1
=7(715+…+),
显然上式能被7整除,∴5151-1能被7整除.
(2)∵32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82+·8+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82+8(n+1)+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82
=(8n-1+·8n-2+…+)·64,
∴32n+2-8n-9是64的倍数.
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
题组一 对二项式定理的理解
1.若(1+b(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=( )
A.x5 B.x5-1
C.x5+1 D.(x-1)5-1
3.设A=37+×32+1,则A-B的值为( )
A.128 B.129
C.47 D.0
题组二 展开式的特定项、项的系数及二项式系数
4.(2022山东青岛期中)的展开式中,含x11的项的系数是( )
A.10 B.15 C.20 D.25
5.将(3+x)n(n∈N+)的展开式的各项按照x的升幂排列,若倒数第三项的系数是90,则n的值是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(2022北京人大附中期末)已知(n∈N+)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,则x3的系数为( )
A.14 B.-14
C.240 D.-240
7.(2023吉林长春十一名校联考)若(x+2)6+(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则a3= .
8.(2022广东云浮期末)(1-x)10的展开式中的常数项为 .
9.已知在的展开式中,第5项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
题组三 二项式系数的性质
10.(2022江苏阜宁中学期中)在(n∈N+)的展开式中,各项系数之和为M,各项二项式系数之和为N,且M+N=72,则展开式中的常数项为( )
A.18 B.12 C.9 D.6
11.(2023河北衡水中学模拟预测) x≠0,可以写成关于x2+的多项式,则该多项式各项系数之和为( )
A.240 B.241 C.242 D.243
12.(多选)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则下列结论正确的是( )
A.a2+a5=588
B.a1+a2+…+a7=1
C.a1+a3+a5+a7=
D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1
13.(2023上海交大附中期末)已知(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式的各项系数之和为1 024,则展开式中的常数项为 .
14.(2022湖南长郡中学月考)若的展开式中,仅有第6项的二项式系数取得最大值,则展开式中含的项的系数是 .
15.已知(n∈N+)的展开式的第5项的系数与第3项的系数之比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含的项;
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
题组四 杨辉三角
16.下图是与杨辉三角有类似性质的三角形数阵,若a,b依次是某行的前两个数,当a=7时,b=( )
A.20 B.21
C.22 D.23
17.(2022上海位育中学期末)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,它揭示了二项展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律,如图所示,则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A.+…+=165
B.在第2 022行中第1 011个数最大
C.第6行、第7行和第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数
D.第34行的第15个数与第16个数之比为2∶3
18.观察如图所示的三角形数阵,则该数阵最后一行各数之和为 .
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
1 10 45 … 45 10 1
能力提升练
题组一 展开式的特定项及项的系数
1.(2023北京通州期末)设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2021江苏苏州大学附属中学月考)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)20的展开式中,含x2的项的系数为( )
A.1 140 B.1 330 C.190 D.210
3.(a+x)6的展开式中x4的系数为-,则实数a的值为( )
A.-
4.(2023辽宁沈阳东北育才学校期末)(x-2y+2z)5的展开式中,xy3z的系数为( )
A.-320 B.320 C.-240 D.240
5.(2023浙江江山中学期末)已知(x-1)4+2x5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5,则a3= .
题组二 二项式系数的性质
6.在的展开式中,只有第6项的二项式系数最大,且所有项的系数之和为0,则展开式中含x6的项的系数为( )
A.45 B.-45 C.120 D.-120
7.(多选)(2022广东茂名期末)已知的展开式中各二项式系数之和为64,则下列结论正确的是( )
A.展开式中各项系数之和为36
B.展开式中二项式系数最大的项为160
C.展开式中无常数项
D.展开式中系数最大的项为90x3
8.(多选)(2021湖南长沙市一中月考)已知(1-2x)2 021=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 021x2 021,则下列说法正确的是( )
A.展开式中所有项的二项式系数之和为22 021
B.展开式中所有奇次项系数之和为
C.展开式中所有偶次项系数之和为
D.+…+=-1
9.(2021湖南长沙第一中学月考)若(1+2x)2 020=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a2 020(x+2)2 020,x∈R,则a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020= .
10.已知的展开式的各二项式系数之和比(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和大992,求的展开式中:
(1)二项式系数最大的项;
(2)系数的绝对值最大的项.
题组三 杨辉三角
11.(多选)(2021江苏徐州二模)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,则( )
A.在第9条斜线上,各数之和为55
B.在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小
C.在第n条斜线上,共有个数
D.在第11条斜线上,最大的数是
12.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨三角形”,它是由整数的倒数组成的,第n行有n个数且两端的数均为(n∈N+,n≥2),每个数是它下一行左、右相邻两数的和,如,……,则第10行第4个数(从左往右数)为 .
……
题组四 二项式定理的应用
13.(2022吉林长春期末)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106 B.107 C.108 D.109
14.(2022山东济宁期中)假设今天是星期二,那么经过22 021天后是( )
A.星期三 B.星期四
C.星期五 D.星期六
15.若n是正奇数,则7n+7n-2+…+7被9除的余数为( )
A.2 B.5 C.7 D.8
16.证明:(1)5151-1能被7整除;
(2)32n+2-8n-9是64的倍数.
答案与分层梯度式解析
3.3 二项式定理与杨辉三角
基础过关练
1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.C 10.C 11.D
12.ACD 16.C 17.C
1.B ∵(1+·(b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.故选B.
3.A A-B=×30=(3-1)7=27=128.
4.B 的展开式的通项公式为Tr+1=·(x2)10-rx20-3r,r=0,1,…,10.令20-3r=11,解得r=3.故含x11的项的系数是=15.
5.B 依题意,得·32=90,即=10,解得n=5.
6.C 的展开式的通项公式为Tr+1=(2x)n-r·(0≤r≤n,r∈N),由题可得=2∶5,即5,解得n=6,所以Tr+1=,令6-r=3,解得r=2,所以x3的系数为26-2(-1)2=15×16×1=240,故选C.
7.答案 140
解析 (x+2)6的展开式的通项公式为Tr+1=x6-r2r,令6-r=3,得r=3,
则(x+2)6的展开式中含x3的项为23x3=160x3.
(x-1)6的展开式的通项公式为Tk+1=x6-k(-1)k,令6-k=3,得k=3,
则(x-1)6的展开式中含x3的项为(-1)3x3=-20x3.
故a3=160-20=140.
8.答案 -8
解析 (1-x)10的展开式的通项公式为Tr+1=110-r·(-x)r,r=0,1,…,10,所以(1-x)10的展开式中的常数项为219(-x)1=2-10=-8.
9.解析 (1)的展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤n,r∈N).
因为展开式中的第5项为常数项,
所以当r=4时,有=0,解得n=8.
(2)由(1)知n=8,故展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),令=2,解得r=1,
故展开式中含x2的项的系数为=-4.
(3)由题意得所以r可取1,4,7,对应的有理项分别为T2=-4x2,T5=,
故展开式中所有的有理项为-4x2,.
10.C 令x=1,可得各项系数之和M=(1+3)n=4n,各项二项式系数之和N=2n,又M+N=4n+2n=72,所以n=3,所以,其通项公式为Tr+1=(r=0,1,2,3),令r=0,解得r=1,所以展开式中的常数项为31=9.故选C.
11.D +2,
令t=x2+,得=(t+2)5,
令t=1,得(t+2)5=35=243,
所以该多项式各项系数之和为243.故选D.
12.ACD (2x-1)7的展开式的第r+1项为Tr+1=·(2x)7-r·(-1)r=·(-1)r·27-r·x7-r,
又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,
所以a2=·(-1)5·27-5=-84,a5=·(-1)2·27-2=672,则a2+a5=588,故A正确.
令x=1,则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1;
令x=0,则(0-1)7=a0=-1,
故a1+a2+…+a7=1-(-1)=2,故B错误.
令x=-1,则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37,故a1+a3+a5+a7=[(a0+a1+a2+…+a6+a7)-(a0-a1+a2-…+a6-a7)]=,故C正确.
|a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1,故D正确.故选ACD.
13.答案 405
解析 由题意得,由组合数的性质可知n=10.所以.
因为展开式的各项系数之和为1 024,
所以在中,令x=1,得(a-1)10=1 024=210.
因为a>0,所以a=3.
所以的展开式的通项公式为Tr+1=.
令20-=0,解得r=8,
所以常数项为(-1)8310-8=405.
14.答案 -
解析 因为仅有第6项的二项式系数取得最大值,所以=6-1,即n=10,故,
其展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤10,r∈N),令5-,解得r=3,∴展开式中含·(-2)3=-.
15.解析 由题意知,第5项的系数为·(-2)4,第3项的系数为·(-2)2,则=10,
化简得n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去),故该式为.
(1)令x=1,得展开式中各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤8,r∈N),
令4-,得r=1,
故展开式中含的项为T2=-16.
(3)展开式中的第r+1项的系数的绝对值为·2r,设第r+1项的系数的绝对值最大,
则解得5≤r≤6(r∈N).
又第6项的系数为负,所以系数最大的项为T7=1 792x-11.
由n=8知第5项的二项式系数最大,故二项式系数最大的项为T5=1 120x-6.
16.C 观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.
17.C 由+…++…++…+-1=…=-1=164,故A错误;
第2 022行中第+1=1 012个数最大,故B错误;
,故C正确;
第34行的第15个数与第16个数之比为=15∶20=3∶4,故D错误.
18.答案 1 024
解析 由题图得最后一行各数之和为+…+=210=1 024.
能力提升练
1.B 2.B 3.D 4.A 6.A 7.AB 8.ACD 11.BCD
13.B 14.D 15.C
1.B 的展开式的通项公式为Tr+1=x2n-3r,
令2n-3r=0,得n=r,因为n∈N+,所以当r=2时,n有最小值3.故选B.
2.B 根据二项式定理得(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)20的展开式中,含x2的项的系数为+…++…++…+=…==1 330.
3.D (a+x)6的展开式的通项公式为Tr+1=a6-rxr(r=0,1,2,…,6),所以(a+x)6的展开式中含x4的项为ax5,故(a+x)6的展开式中x4的系数为,所以a=-.故选D.
4.A 因为(x-2y+2z)5=[(x-2y)+2z]5,
所以其通项公式为Tr+1=·(x-2y)5-r·(2z)r,
令r=1,得T2=·(x-2y)4·2z=10(x-2y)4z.
(x-2y)4的通项公式为T'n+1=·x4-n·(-2y)n,
令n=3,得T'4=·x·(-2y)3=-32xy3,
因此xy3z的系数为10×(-32)=-320,故选A.
5.答案 12
解析 令x+1=t,则x=t-1,
故(x-1)4+2x5=(t-2)4+2(t-1)5=a0+a1t+a2t2+…+a5t5,
(t-2)4的展开式中t3的系数为(-2)1=-8,
(t-1)5的展开式中t3的系数为(-1)2=10,
所以a3=-8+10×2=12.
6.A 由题意得+1=6,解得n=10,
∴.
∵展开式的所有项的系数之和为0,
∴令x=1,得(1+a)10=0,∴a=-1.
∴,其展开式的通项公式为Tr+1=x10-2r(0≤r≤10,r∈N),
令10-2r=6,解得r=2,∴展开式中含x6的项的系数为(-1)2=45.故选A.
7.AB 因为的展开式中各二项式系数之和为64,所以2n=64,解得n=6,所以该式为,其展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤6,r∈N).对于A,令x=1,可得展开式中各项系数之和为36,所以A正确;对于B,第4项的二项式系数最大,此时r=3,则展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3·,所以B正确;对于C,令6-r=0,得r=4,所以展开式中的常数项为T5==60,所以C错误;对于D,令第r+1项的系数最大,则≤r≤,因为r∈N,所以r=2,即展开式中系数最大的项为T3=24x3=240x3,所以D错误.故选AB.
8.ACD 令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 021=-1①,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a2 020-a2 021=32 021②.展开式中所有项的二项式系数的和为+…+=22 021,故A正确;由可得a1+a3+a5+…+a2 021=-,故B错误;由可得a0+a2+a4+…+a2 020=,故C正确;令x=0,有a0=1,令x=,有a0++…+=0,故+…+=-1,故D正确.故选ACD.
9.答案 1-32 020
解析 令x=-2,则(1-4)2 020=a0,即a0=32 020,
令x=0,则12 020=a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020,
即a0+a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1,
故a1·2+a2·22+…+a2 020·22 020=1-a0=1-32 020.
10.解析 (+x2)2n的展开式的各二项式系数之和为22n,(3x-1)n+1的展开式的各偶数项的二项式系数之和为2n+1-1=2n.
由题意得22n-2n=992,解得n=5,
所以.
(1)的展开式中二项式系数最大的项为第51项,即.
(2)的展开式的通项公式为Tr+1=·(2x)100-r··2100-r·(-1)r·x100-2r(0≤r≤100,r∈N),其系数的绝对值为·2100-r,
设系数的绝对值最大的项是第k+1项,
则≤k≤,
∵k∈N,∴k=33,
∴系数的绝对值最大的项为第34项,即T34=·2100-33·(-1)33·x100-2×33=-·267·x34.
11.BCD 从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,…,设这些数依次为a1,a2,…,
则各数出现的规律是an+2=an+an+1(n∈N+),
所以第8条斜线上各数之和为8+13=21,第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A错误;
由题图易知,从左往右,第1条斜线上的数:1,
第2条斜线上的数:,
第3条斜线上的数:,
第4条斜线上的数:,
第5条斜线上的数:,
第6条斜线上的数:,
……
依此规律,第11条斜线上的数为,最大的数是,故D正确;
由上面的规律可知:n为奇数时,第n条斜线上共有个数,
n为偶数时,第n条斜线上共有个数,
所以第n条斜线上共有个数,故C正确;
由上述每条斜线上的数的规律可知,在第n(n≥5)条斜线上,各数自左往右先增大后减小,故B正确.
12.答案
解析 将杨辉三角中的每一个数即可得到“莱布尼茨三角形”,杨辉三角中,第10行第4个数为=84,所以“莱布尼茨三角形”中第10行第4个数为.
13.B 1.957=(2-0.05)7=27-×25×0.052-…-0.057≈27-×25×0.052=107.28≈107.故选B.
14.D 22 021=4×22 019=4×8673=4×(7+1)673=4(·7673+·7672+…+·7+),由于·7673+·7672+…+·7+中,除了,其余各项都能被7整除,故整个式子除以7的余数为4=4,故经过22 021天后是星期六,故选D.
15.C 原式=7n-2+…+7n·10+7n-1·1+7n-2·12+…+7·1n-1+70·1n)-70·1n=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=[9n·(-1)0+9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1+90·(-1)n]-1,
因为n为正奇数,所以上式可化简为9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-2=9n-1·(-1)+9n-2·(-1)2+…+9·(-1)n-1-9+7,所以该式除以9的余数为7.故选C.
16.证明 (1)5151-1=(49+2)51-1=·4951+·4950·2+…+·49·250+·251-1,
易知除·251-1以外各项都能被7整除.
又·251-1=(23)17-1=(7+1)17-1
=·717+·716+…+·7+-1
=7(715+…+),
显然上式能被7整除,∴5151-1能被7整除.
(2)∵32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82+·8+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82+8(n+1)+1-8n-9
=8n+1+·8n+…+·82
=(8n-1+·8n-2+…+)·64,
∴32n+2-8n-9是64的倍数.