4.1.2乘法公式与全概率公式 同步练习-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册（含解析）

第四章　概率与统计
4.1.2　乘法公式与全概率公式
基础过关练
题组一　乘法公式
1.某地一农业科技实验站对一批新水稻种子进行试验,已知这批水稻种子的发芽率为0.8,发出芽后的幼苗的成活率为0.9,在这批水稻种子中,随机地抽取一粒,则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为(　　)
A.0.02　　　B.0.08　　　C.0.18　　　D.0.72
2.(2022黑龙江大庆实验中学月考)近来,受冷空气影响,某市气温变化异常,时有降雨和大风天气.经预报台统计,该市每年四月份降雨的概率为,出现四级以上大风天气的概率为,在出现四级以上大风天气的条件下,降雨的概率为,则在已知降雨的条件下,出现四级以上大风天气的概率为(　　)
A.
3.已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品,则任选一件产品是一级品的概率为(　　)
A.75%　　　B.96%　　　C.72%　　　D.78.125%
4.在100件产品中,有5件是次品,从中连续不放回地抽取3次,每次抽取1件,则第三次才取得次品的概率为　　　　.(结果保留两位有效数字)
题组二　全概率公式
5.(2023江苏百校联考第一次考试)若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形,任何事件都对应样本空间的一个子集,且事件发生的概率对应子集的面积,则如图所示的阴影部分的面积表示(　　)
A.事件A发生的概率
B.事件B发生的概率
C.事件B不发生的条件下事件A发生的概率
D.事件A,B同时发生的概率
6.(2023河北石家庄精英中学阶段练习)某种疾病的患病率为5%,通过验血诊断该病的误诊率为2%,即非患者中有2%的人会被诊断为阳性,患者中有2%的人会被诊断为阴性.随机抽取一人进行验血,则其诊断结果为阳性的概率为(　　)
A.0.46　　　B.0.046　　　C.0.68　　　D.0.068
7.(2022山东济宁一模)甲、乙两个箱子里各装有5个大小、形状都相同的球,其中甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,再从乙箱中随机取出一球,则从乙箱中取出的球是红球的概率为(　　)
A.
8.某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品最多不超过4件,且具有如下的概率:
一批产品中的 次品数 0 1 2 3 4
概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
现进行抽样检验,从每批产品中随机取出10件来检验,若发现有次品,则认为该批产品不合格,则一批产品通过检验的概率为(　　)
A.0.814　　　B.0.809　　　C.0.727　　　D.0.652
9.(2022辽宁名校联盟月考)2022年北京冬奥会的志愿者中,来自甲、乙、丙三所高校的人员情况如下:甲高校有学生志愿者7名,教职工志愿者2名;乙高校有学生志愿者6名,教职工志愿者3名;丙高校有学生志愿者5名,教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各任选一名,求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率;
(2)先从这三所高校中任选一所,再从所选的高校的志愿者中任选一名,求这名志愿者是教职工的概率.
题组三　贝叶斯公式*
10.(2022河北衡水武强中学期中)某货车为乡村小学运送书籍,共10箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下的9箱中任意打开两箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为(　　)
A.
11.李老师一家要外出游玩几天,家里有一盆花交给邻居帮忙照顾,如果这几天内邻居记得浇水,那么花存活的概率为0.8,如果这几天内邻居忘记浇水,那么花存活的概率为0.3.假设李老师对邻居不了解,即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5,几天后李老师回来发现花还活着,则邻居记得浇水的概率为　　　　.
12.(2022山东德州期中)通信渠道中可传输的字符为AAAA,BBBB,CCCC三者之一,传输三者的概率分别为0.3,0.4,0.3.由于通道噪声的干扰,正确地收到被传输字符的概率为0.6,收到其他字符的概率为0.2,假定字符前后是否被歪曲互不影响.若收到的字符为ABCA,则传输的字符是AAAA的概率为　　　　.
13.(2022安徽安庆怀宁中学期中)某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率依次为4%,2%,5%,现从一批产品中检查出1个次品,则该次品由哪个车间生产的可能性最大
答案与分层梯度式解析
4.1.2　乘法公式与全概率公式
基础过关练
1.D 2.B 3.C 5.A 6.D 7.B 8.A 10.B
1.D　记“水稻种子发芽”为事件A,“发芽的种子成长为幼苗”为事件B,则“水稻种子成长为幼苗”为事件AB.由题意得P(A)=0.8,P(B|A)=0.9,∴P(AB)=P(B|A)P(A)=0.9×0.8=0.72.
2.B　记“降雨”为事件A,“出现四级以上大风天气”为事件B,则P(A)=,
∴P(AB)=P(A|B)P(B)=,
∴P(B|A)=.故选B.
3.C　记“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=1-P()=1-4%=96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B.由于一级品必是合格品,所以P(AB)=P(B).由合格品中75%为一级品,知P(B|A)=75%,故P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=96%×75%=72%.
4.答案　 0.046
解析　用Ai(i=1,2,3)表示“第i次取得次品”,B表示“第三次才取得次品”,则B=A3,
∴P(B)=P()
=≈0.046.
5.A　由题意得P(A|B)·P(B)+P(A|)·[1-P(B)]=P(AB)+P(A|)·P()=P(A).故选A.
6.D　设A表示“患者”,表示“非患者”,B表示“诊断结果为阳性”,
则P(B)=P(A)P(B|A)+ P()=5%×(1-2%)+(1-5%)×2%=0.068.
故选D.
7.B　用A1表示事件“从甲箱中随机取出一球是红球”,A2表示事件“从甲箱中随机取出一球是白球”,B表示事件“从乙箱中取出的球是红球”,则P(A1)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=,故选B.
8.A　用Ai表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示该批产品通过检验,
则P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,
P(A1)=0.2,P(B|A1)==0.9,
P(A2)=0.4,P(B|A2)=≈0.809,
P(A3)=0.2,P(B|A3)=≈0.727,
P(A4)=0.1,P(B|A4)=≈0.652.
所以P(B)=P(Ai)P(B|Ai)≈0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.
9.解析　(1)设事件A为“从三所高校的志愿者中各任选一名,这三名志愿者全是学生”,则P(A)=.
设事件B为“从三所高校的志愿者中各任选一名,这三名志愿者全是教职工”,则P(B)=.
设事件C为“从三所高校的志愿者中各任选一名,这三名志愿者中既有学生又有教职工”,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-.
(2)设事件D为“所选志愿者是教职工”,事件E1为“选甲高校”,事件E2为“选乙高校”,事件E3为“选丙高校”,则P(E1)=P(E2)=P(E3)=.
所以P(D)=P(E1)P(D|E1)+P(E2)P(D|E2)+P(E3)P(D|E3)=.
10.B　用A表示“丢失一箱后任取两箱都是英语书”,Bk表示“丢失的一箱为k,k=1,2,3分别表示英语书、数学书、语文书”.由全概率公式得P(A)=.
由贝叶斯公式可知P(B1|A)=.故选B.
11.答案　
解析　用事件B表示“邻居记得浇水”,A表示“花还活着”,则P(B)=0.5,P()=0.3,
所以P(B|A)=
=.
12.答案　0.562 5
解析　用M表示事件“收到的字符是ABCA”,N1表示事件“传输的字符为AAAA”,N2表示事件“传输的字符为BBBB”,N3表示事件“传输的字符为CCCC”,则P(N1)=0.3,P(N2)=0.4,P(N3)=0.3,P(M|N1)=0.6×0.2×0.2×0.6=0.014 4,P(M|N2)=0.2×0.6×0.2×0.2=0.004 8,P(M|N3)=0.2×0.2×0.6×0.2=0.004 8.
所以P(N1|M)=
==0.562 5.
13.解析　用A1,A2,A3分别表示“产品来自甲、乙、丙车间”,B表示“产品为次品”,则P(A1)=0.45,P(A2)=0.35,P(A3)=0.2,P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.05.
由全概率公式得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035.
由贝叶斯公式得P(A1|B)=≈0.514,
P(A2|B)==0.2,
P(A3|B)=≈0.286.
因为0.514>0.286>0.2,
所以该次品由甲车间生产的可能性最大.