4.2提公因式法（第2课时）同步课件（共21张PPT）

(共21张PPT)
4.2 提公因式法
（第二课时）
素养目标
技能目标
知识目标
使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程;会用提取公因式法进行因式分解。
培养学生的直觉思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力。
通过积极参与数学学习活动,对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验。
教学重点
教学难点
能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行因式分解。
准确找出公因式，并能正确地进行因式分解。
思考1：
提公因式法的概念
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法
思考2：
提公因式法与乘法分配律之间的关系？
m(a+b+c)
ma+mb+mc
乘法分配律
思考3：
提公因式法因式分解的一般步骤：
1.多项式的第一项系数为负数时， ；
2.公因式的系数是多项式各项__________________; 3.字母取多项式各项中都含有的____________; 4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _________.
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
先提取“-”号，注意多项式的各项变号
做一做
把下列各式分解因式.
（1）8mn2+2mn
（2）a2b-5ab+9b
（3）-3ma3+6ma2-12ma
（4）-2x3+4x2-8x
2mn(4n+1)
b(a2 – 5a+9)
-3ma(a2 – 2a+4)
-2x(x2 – 2x+4)
例1.
将下列各式分解因式：
（1）a(x-3) + 2b(x-3) （2）y(x+1) + y2(x+1)2
分析：公因式既可以是单项式，也可以是多项式.
（1）题中公因式为 （x-3）；（2）题中公因式为 y(x+1).
解：（1）a(x - 3) + 2b(x - 3)
= (x - 3)(a + 2b)；
（2）y(x + 1) + y2(x + 1)2
= y(x + 1) [1 + y(x + 1) ]
= y(x + 1)(xy + y + 1).
做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立：
（1）（2-a） = ___(a-2); （2）（y-x）=___(x-y);
（3）（b+a）=___(a+b); （4）(b-a)2 = ___(a-b)2;
（5） -m-n =___(m+n); （6）-s2+t2 = ___(s2-t2).
-
-
+
+
-
-
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时, 则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b)
例2.
将下列各式分解因式：
解：原式＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)
(1) a(x－y)＋b(y－x) (2) 6(m－n)3－12(n－m)2
解：原式＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2
＝6(m－n)3－12(m－n)2
＝ 6(m－n)2(m－n－2)
例3.
下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？说明理由．若不正确，请写出正确的结果．
(1) 3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)
(2) 4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)
(3) x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]
分析：(1)中括号内的多项式还有公因式，没有分解完；
(2)中漏掉了商是“1”的项；
(3)中(a－b)3与(b－a)3是不同的，符号相反，另外中括号内没有化简．
(1)不正确，理由：公因式没有提完全；
正确的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)．
(2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数项“1”；
正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
(3)不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，且因式是多项式时要最简；
正确的是：
x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3
＝x(a－b)3·(a＋b)＋ (a－b)3y
＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]
＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．
解：
例4.
把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)； (2)3a(x－y)－(x－y)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；(4)a(m－2)＋b(2－m)；
(5)2(y－x)2＋3(x－y)； (6)mn(m－n)－m(n－m)2
解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)．
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
(4)a(m－2)＋b(2－m)
＝a(m－2)－b(m－2)
＝(m－2)(a－b)．
(6)mn(m－n)－m(n－m)2
＝mn(m－n)－m(m－n)2
＝m(m－n)[n－(m－n)]
＝m(m－n)(n－m＋n)
＝m(m－n)(2n－m)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)
＝2(x－y)2＋3(x－y)
＝(x－y)[2(x－y)＋3]
＝(x－y)(2x－2y＋3)．
做一做
1．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－1
A
做一做
2.已知 a-b=5，ab=6，求代数式a2b-ab2+4ab的值.
解：a2b - ab2 + 4ab = ab(a-b+4).
将 a-b = 5，ab = 6代入计算，
则原式 = 6×(5+4)=54.
思想方法
逆向思维，转化思维，整体思想。
确定公因式
定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.（当系数是整数时）
定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
定指数：相同字母的指数取各项中字母的最低次幂.
提公因式法
第一步：找出公因式（既可以是单项式，也可以是多项式）；
第二步：提公因式（把多项式化为两个因式的乘积）
1.下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是( ).
A. x2-y2 B. x2+2x C. x2+2y2 D. x2-xy+y2
B
2. 因式分解 a(a-b)3 + 2a2(b-a)2 - 2ab(b-a)2.
解：原式 = a(a-b)3 + 2a2(a-b)2-2ab(a-b)2
= a(a-b)2 [(a-b)+2a-2b]
= a(a-b)2(3a-3b)
= a(a-b)2·3(a-b)
= 3a(a-b)3
习题4.3第1、2题