4.3公式法（第1课时）同步课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
4.3 公式法
（第一课时）
素养目标
技能目标
知识目标
使学生了解运用公式法因式分解的意义。使学生掌握用平方差公式因式分解。
使学生了解因式分解时，首先考虑用提公因式法的方法，再考虑用平方差公式的方法。
通过学方差公式因式分解，再引导学生利用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法。
教学重点
教学难点
让学生掌握用平方差公式因式分解。
将一些单项式化为平方形式，再用平方差公式因式分解，培养学生多步骤因式分解的能力。
思考1：
提公因式法的概念
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
做一做
把下列各式分解因式.
（1）4xy2-2xy
（2）a2b-5ab+9b
（3）-3ma3+6ma2-12ma
2xy(4y-1)
b(a2 – 5a+9)
-3ma(a2 – 2a+4)
思考2：
如果一个多项式的各项不具备相同的因式，是否就不能因式分解了呢？？
例如：x2-4 9a2-b2
思考3：
多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式。
议一议
平方差公式：
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
语言描述：两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 .
语言描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
例1.
下列多项式能转化成（　）２－（　）２的形式吗？如果能，请将其转化成（　）２－（　）２的形式。
(1) m2 －81
(2) 1 －16b2
(3) 4m2+9
(4) a2x2 －25y 2
(5) －x2 －25y2
= m2 - 92
= 12-(4b)2
不能转化为平方差形式
=(ax)2 -(5y)2
不能转化为平方差形式
= [3(m+n)]2 – (m–n)2
(5) 9(m+n)2 – (m-n)2
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
运用平方差公式因式分解，应注意：
①公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即a），另一项互为相反数（即b和-b）.
②公式左边是这两项的平方差.
③公式中的字母即可表示单项式也可以表示多项式.
例2.
将下列各式分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解:原式=
(2x)2
- 32
= ( 2x +
(2x -
3)
3)
(1) 4x2-9
例2.
将下列各式分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
(2) (x+m)2-(x+n)2
=[ (x+m) + (x+n) ] · [ (x+m) - (x+n) ]
=(2x+m+n)(m-n)
(2) (x+m)2 - (x+n)2
方法总结：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
利用平方差公式分解两项式的一般步骤：
1. 找出公式中的a、b;
2. 转化成a2－b2的形式；
3. 根据公式a2－b2＝(a＋b) (a－b) 写出结果.
例3.
将下列各式分解因式：
解：
(1)x4－y4
原式＝(x2)2－(y2)2
＝(x2+y2)(x2－y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x－y)
分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.
例3.
将下列各式分解因式：
（2）2x3 – 8x.
解：原式= 2x(x2-4)
= 2x(x2-22)
= 2x(x+2)(x-2).
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.
例3.
将下列各式分解因式：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
解：原式 =(a + b)2 – [3(a - b) ]2
= [ (a + b) + 3(a - b)][ (a + b) - 3(a - b)］
= (a + b + 3a - 3b)(a + b - 3a + 3b)
= (4a - 2b)(4b - 2a)
= 4(2a - b)(2b - a)；
（3）(a + b)2 - 9(a - b)2
方法总结：
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
做一做
1.判断正误：
a2和b2的符号相反
（1）x2+y2=(x+y)(x+y); （ ）
（2）x2-y2=(x+y)(x-y)； （ ）
（3）-x2+y2=(-x+y)(-x-y)； （ ）
（4）-x2-y2=-(x+y)(x-y)； （ ）




做一做
2．如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？（ =3.14）
解: R2- r2
= （R2-r2）
= (R+r)(R-r)
当R=8.45，r=3.45时,
原式=(8.45+3.45) ×(8.45-3.45) ×3.14
=186.83 cm2
做一做
3.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n 2=8n，
∵n为整数，
∴8n被8整除，
解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
思想方法
逆向思维，转化思维，整体思想。
公式法
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
步骤：
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
1.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=[(m+2n)+(3m-n)][(m+2n)-(3m+n)]
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
习题4.4第1、2题