河北省高碑店市崇德实验中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

崇德实验中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题
说明：本试题满分150分考试时间120分钟，请在答题卡上作答
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．已知全集,集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列函数图象中，函数（且），与函数的图象只能是（ ）
A． B．
C． D．
7．化简：（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知函数若,则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
10．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
11．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
12．函数满足,则（ ）
A． B． C．为奇函数 D．
第II卷（本卷包括填空题和解答题两部分，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．已知集合,那么M的子集个数是___________．
14．已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数___________．
15．已知集合,若,则m的可能取值组成的集合为___________．
16．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是___________．
四、解答题（本题共有六道小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
已知且，
求：（1）; （2）．
18．（本题满分12分）
计算：（1）； （2）．
19．（本题满分12分）
已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．
（1）计算;
（2）求的解析式．
20．（本题满分12分）
已知函数是奇函数．
（1）求a的值；
（2）求在上的值域．
21．（本题满分12分）
（1）若不等式的解集是,求不等式的解集；
（2）已知两个正实数满足，并且恒成立，求实数m的范围．
22．（本题满分12分）
已知函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断在上的单调性并用定义证明；
（3）设时,求在上的最小值．
崇德实验中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题 参考答案：
1．C（考查集合的运算）
【详解】因为,所以，
所以，故选：C
2．B（考查存在量词命题的否定）
【详解】命题“”为存在量词命题，其否定为：．
故选：B
3．C（考查充要条件）
【详解】若,则,若,则,则“”是“”的充要条件，
故选：C．
4．C（分数指数幂与根式的互化）
【详解】对于A选项：由，故该项等号两侧不相等，
所以A错误；
对于B选项：由,所以B错误；
对于C选项：由指数幂的运算性质，可得,所以C正确；
对于D选项：当时，，
当时，,显然当时，该项的等量关系不成立，所以D错误．
5．D（考查函数值得计算）
【详解】由得．由．
故选：D．
6．C（考查指数函数和一次函数的单调性）
【详解】试题分析：函数的图像为曲线，函数的图像为直线．当时，函数为减函数，图像下降；函数的斜率,直线偏向y轴右边．故选C．
7．A（考查根式的化简）
【详解】．
故选：A．
8．C
【详解】或
即或
解得，或．
故．
选C．
9．ABC（本题主要考查函数的单调性以及指数函数、对数函数、幂函数的基本性质）
【详解】易知在上是减函数，
在上是增函数．
故选：ABC．
10．BC（考查必要不充分条件以及存在性问题的解法）
【详解】解：由题得．
因为是的充要条件，是的必要不充分条件，是的必要不充分条件，是的不充分也不必要条件．
故选：BC
11．BC（考查相等函数的判定）
【详解】对于A:定义域都为,但,对应关系不同，故不是相等函数；
对于B:定义域为定义域为R,定义域相同，对应关系相同，故为相等函数；
对于C:定义域为，且可化简为,函数定义域为，两函数定义域相同，对应关系相同，故为相等函数；
对于D:定义域为定义域为,定义域不同，故不是相等函数．
故选：BC．
12．BCD（考察抽象函数的问题）
【详解】在等式中，令,可得,
在等式中，令,可得,A错；
在等式中，令,可得,①
在等式中，令,可得,②
可得，B对；
令，其中,则,
即,故函数为奇函数，C对；
因为,则,
又因为,
上述两个等式相加可得，D对．
故选：BCD．
13．8（考查分式不等式的解法及集合子集的个数）
【详解】,所以,子集有8个．故答案为：8．
14．或3（幂函数的定义和性质）
【详解】函数是幂函数，且在上单调递增，
则的，解得或．
故答案为：或3
15．（主要考查了根据集合的包含关系求解参数问题注重考查分类讨论思想，以及推理与计算能力．）
【详解】由题意，集合,且,
当时，，满足;
当时，，要使得,则或，解得或，
所以实数m的可能取值组成的集合为．
故答案为：．
16．（考查分段函数的单调性）
【详解】根据题意得，解得，所以实数a的取值范围是．
故答案为：
17．（1） （2）
（考查一元二次不等式的解法及集合的运算）
【详解】（1）因为,且，则． 5分
（2）由（1）可知，,则，，所以． 10分
18．（1）6 （2）（考查指数幂的运算公式和运算性质）
【详解】（1）解：由指数幂的运算公式，可得． 6分
（2）解：由指数幂的运算公式得
． 12分
19．（1）;（2）．
（本题主要考查已知函数的奇偶性求函数解析式，考查奇函数的定义和性质）
【详解】（1）是R上的奇函数，
因为是R上的奇函数，又时，
所以． 5分
（2）当时，,因为当时，
所以
又∵函数是R上的奇函数，即
又
． 12分
20．（1）（2）．（考直奇函数定义及函数的单调性）
【详解】（1）解：因为，所以．
因为是奇函数，所以，即，
即,解得． 5分
（2）由（1）可知，
易知在上单调递增且在上单调递减，
所以是上的减函数．因为，
所以在上的值域为． 12分
21．（1）或，（2）．（一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，一元二次不等式的解法，基本不等式）
【详解】（1）∵不等式的解集是，是方程的两个根，即,
则不等式的解集为或； 6分
（2）恒成立，,
，当且仅当，即时等号成立，解得，
∴实数m的范围是． 12分
22．（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3）答案见解析
（考查奇函数的性质，函数的单调性，求函数的最值）
【详解】（1）解：是定义域为的奇函数，,
;经检验符合题意； 3分
（2）在上单调递增．证明如下：，则，
因为，所以，所以，
可得．即当时，有所以在上单调递增． 7分
（3）,令，又,则，所以，对称轴为,则当时，；当；当时，． 12分