高中数学北师大版必修一5.2实际问题中的函数模型 同步练习（含解析）

§2　实际问题中的函数模型
课后训练
1.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系图象正确的是(　　).
2.某品牌电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4,x∈N+)之间关系的是(　　).
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100x
3.某商店出售A,B两种价格不同的商品,由于商品A连续两次提价20%,同时商品B连续两次降价20%,结果都以每件23元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降时的情况比较,商店盈利情况是(　　).
A.多赚约6元 B.少赚约6元
C.多赚约2元 D.盈利相同
4.(多选题)某种产品30天的销售图象如图所示,图①是产品日销售量y(单位:件)与时间t(单位:天)的函数关系图象,图②是一件产品的销售利润z(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系图象,已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润,则下列说法正确的有(　　).
图①
图②
A.第24天的销售量为200件
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D.第30天的日销售利润是750元
5.某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如图所示.假设其关系满足指数函数模型,并给出下列说法:
①此指数函数的底数为2;
②在第5个月时,野生水葫芦的面积就会超过30 m2;
③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月;
④设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1,t2,t3,则有t1+t2=t3;
⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度.
以上说法正确的是(　　).
A.①③⑤ B.①②④
C.①②⑤ D.②③④
6.某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一个单位,成本就增加1万元.又知总收入R(单位:万元)是产量Q的函数:R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是　　　　万元,这时产品的产量为　　　　　.(总利润=总收入-成本)
7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)的函数关系式是v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的　　　　　倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.
8.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae-nt,那么桶B中的水就是y2=a-ae-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过　　　　 min,桶A中的水只有 L.
9.如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.
图①
图②
图③
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A,点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是　　　　　　　　　　,图③方案是　　　　　.
10.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可以美化居室、净化空气,还可以美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据表中数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b(a≠0),Q=at2+bt+c(a≠0),Q=a·bt(a≠0,b>0且b≠1),Q=alogbt(a≠0,b>0且b≠1);
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
11.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2万元.
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大
12.科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝.
(1)已知生活中几种声音的强度如下表:
声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 马路上的嘈杂声
强度I(瓦/平方米) 1×10-11 1×10-10 1×10-3
强弱等级L(分贝) 10 m 90
求a和m的值;
(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.
13.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成.
按设计要求扇环面的周长为30 m,其中大圆弧所在圆的半径为10 m.设小圆弧所在圆的半径为x m,圆心角为θ(弧度).
(1)求θ关于x的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并求出x为何值时,y取得最大值
1.答案:A
2.解析:当x=4时,A中,y=400;B中,y=700;C中,y=800;D中,y=1004.
答案:C
3.解析:设A,B两种商品的原价分别为a,b,则a(1+20%)2=b(1-20%)2=23,解得a=,b=,则a+b-46≈6(元).
答案:B
4.解析:由题中图①可知日销售量y与时间t的关系为y=
由题中图②可知一件产品的销售利润z与时间t的关系为z=
∴当t=24时,y=200,A正确;
当t=10时,z=15,B正确;
当t=12时,日销售利润为×(-12+25)=1 950(元),
当t=30时,日销售利润为(-×30+400)×5=750(元),故C错误,D正确.
答案:ABD
5.解析:①说法正确.
∵函数关系满足指数型函数模型,∴可设函数解析式为y=a·bx+c(a≠0,b>0,且b≠1).
由题图知函数的图象经过点(1,2),(2,4),(3,8),分别代入函数解析式,可得a=1,b=2,c=0.
∴函数解析式为y=2x,即底数为2.
②∵25=32>30,∴②说法正确.
③当y=4时,x=2,经过1.5个月,y=23.5<12,故③说法不正确.
④由题意知,t1=1,t2=log23,t3=log26,
∴有t1+t2=t3,故④说法正确.
⑤∵指数函数增长速度越来越快,
∴⑤说法不正确.
答案:B
6.解析:由题意可得,L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250,故当Q=300时,总利润L(Q)最大,最大值为250万元.
答案:250　300
7.解析:当v=12 000时,2 000·ln(1+)=12 000,
∴ln=6,∴=e6-1.
答案:e6-1
8.10　因为5min时,桶A和桶B中的水量相等,
所以a·e-5n=a-a·e-5n,
所以e-5n=令a·e-nt=,
则e-nt==e-15n,
故有t=15.
所以再过10min,桶A中的水只有L.
9.降低成本,票价不变　增加票价　由题图①知,点A表示无人乘车时,收支差额为-20元,即运行
成本为20元;点B表示10人乘车,收支平衡,收支差额为0.线段AB上的点表示亏损,AB延长线上的点表示盈利.题图②与题图①相比,一次函数的一次项系数不变,图象与y轴负半轴的交点上移,故题图②表示降低成本,票价不变,题图③与题图①相比,一次项系数增大,图象与y轴负半轴的交点不变,故题图③表示增加票价.
10.解:(1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数,且函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得
解得a=,b=-,c=.
所以,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数解析式为Q=t2-t+.
(2)当t=-=150(天)时,芦荟种植成本最低,为Q=×1502-×150+=100(元/10 kg).
11.解(1)当0当x>5时,产品只能售出500件.
所以,f(x)=
即f(x)=
(2)当0所以当x=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125.
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
12.解(1)将I0=1×10-12瓦/平方米,I=1×10-11瓦/平方米代入L=a·lg,
得10=alg=alg10=a,
即a=10,m=10lg=10lg100=20.
(2)由题意得L≤50,
得10lg50,
得lg5,即105,
即I≤105×10-12=10-7.
所以此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.
13.解(1)由题意得30=θ(10+x)+2(10-x),
所以θ=(0(2)花坛的面积为(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50(0装饰总费用为9θ(10+x)+8(10-x)=170+10x,
所以花坛的面积与装饰总费用的比y==-
令t=17+x,则y=,当且仅当t=18时,等号成立,此时x=1,θ=
所以当x=1时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.
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