高中数学北师大版必修一 第五章 函数应用测评 （含解析）

第五章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)的图象与x轴有3个交点,则方程f(x)=0的实数解的个数是(　　).
A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数f(x)=x3-的零点所在的区间为(　　).
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,-4)
3.若f(x)是一个一元二次函数,且满足f(2+x)=f(2-x),该函数有两个零点x1,x2,则x1+x2=(　　).
A.0 B.2
C.4 D.无法判断
4.夏季高山温度从山脚起每升高100 m,降低0.7 ℃,已知山顶的温度是14.1 ℃,山脚的温度是26 ℃,则山的相对高度为(　　).
A.1 750 m B.1 730 m
C.1 700 m D.1 680 m
5.某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值如下表所示:
f(2)≈-1.306 9 f(3)≈1.098 6 f(2.5)≈-0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　).
A.2.52 B.2.625
C.2.66 D.2.75
6.已知直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,AB=1,OC=BC=2,直线x=t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)为y,则函数y=f(t)的大致图象为(　　).
7.设函数f(x)=若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
8.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数y=f(x)-g(x)在x∈[a,b]上有两个零点,则称f(x)和g(x)在区间[a,b]上是“关联函数”,[a,b]称为“关联区间”,若f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在区间[0,3]上是“关联函数”,则实数m的取值范围是(　　).
A. B.
C.(-∞,-2] D.[-1,0]
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列函数没有零点的是(　　).
A.f(x)=0 B.f(x)=2
C.f(x)= D.f(x)=x-
10.已知函数f(x)=2x-lox,实数a,b,c满足aA.x0>c B.x0C.x0>a D.x011.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法错误的有(　　).
A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
D.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
12.如图①是反映某公交线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y与乘客量x之间的关系的图象,由于目前该条公交线路亏损严重,公司有关人员提出了两种调整的建议,如图②③所示.
图①
图②
图③
则下列说法正确的有(　　).
A.图②的建议:提高成本,并提高票价
B.图②的建议:降低成本,并保持票价不变
C.图③的建议:提高票价,并保持成本不变
D.图③的建议:提高票价,并降低成本
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数f(x)=(x2-3)(x2-2x-3)的零点为　　　　　　　　.
14.用一根长为12 m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架,则能弯成的框架的最大面积是　　　　　.
15.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在区间(-∞,0)内的零点有2 012个,则f(x)的零点的个数为　　　　　.
16.李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销,一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元,每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒需要支付　　　　　元;
(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设函数f(x)=求函数g(x)=f(x)-的零点.
18.(12分)已知函数f(x)=x2-x+m的零点都在区间(0,2)内,求实数m的取值范围.
19.(12分)已知函数f(x)=若方程f(x)=k无实数解,求实数k的取值范围.
20.(12分)是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+(3a-2)x+a-1在区间[-1,3]上恒有一个零点,且只有一个零点 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
21.(12分)某工艺公司要对某种工艺品深加工.已知每个工艺品进价为20元,每个的加工费为n元,销售价格为x元.根据市场调查,须有n∈[3,6],x∈[26,32],x∈N,同时日销售量m(单位:个)与10-x成正比.当每个工艺品的销售价格为29元时,日销售量为1 000个.
(1)写出日销售利润y(单位:元)与x的函数关系式;
(2)当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,试确定销售价格x的值.(提示:函数y=10x-26与y=x-25的图象在区间[26,32]上有且只有一个公共点)
22.(12分)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便.某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q与投入a(单位:万元)满足Q=a+2,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大
1.解析:因为函数f(x)的图象与x轴有3个交点,所以函数f(x)有3个零点,即方程f(x)=0有3个实数解.
答案:D
2.解析:因为函数f(x)=x3-在R上为增函数,f(1)=13-=1-2=-1<0,f(2)=23-=8-1=7>0,所以零点所在的区间为(1,2).
答案:B
3.解析:由f(2+x)=f(2-x)知f(x)的图象关于直线x=2对称.所以x1+x2=4.
答案:C
4.解析:设从山脚起升高x百米时,温度为y ℃,根据题意得y=26-0.7x,山顶温度是14.1 ℃,代入得14.1=26-0.7x,得x=17,
∴山的相对高度是1 700 m.
答案:C
5.解析:由题中表格可知,方程f(x)=ln x+2x-6=0的近似解在区间(2.5,2.562 5),(2.5,2.625),(2.5,2.75)内,又|2.562 5-2.5|=0.062 5<0.1,所以所求方程精确度为0.1的近似解在区间(2.5,2.562 5)内.据此分析选项,A中2.52符合.
答案:A
6.解析:当0≤t≤1时,f(t)=t·2t=t2,当1≤t≤2时,f(t)=×2×(1+2)-2(2-t)=2t-1,所以当t∈[0,1]时图象是抛物线的一部分,当t∈[1,2]时图象是一条线段,故选C.
答案:C
7.解析:∵f(x)=
∴f(0)=c,f(-4)=16-4b+c,f(-2)=4-2b+c.
又f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
∴
解得b=4,c=2,
∴f(x)=
求方程f(x)=x的解的个数,即求函数f(x)与y=x两图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系中,画出函数f(x)与y=x的图象,如图所示.
由图可知,直线y=x与曲线y=f(x)有3个交点,
∴关于x的方程f(x)=x有3个解.
答案:C
8.解析:∵f(x)=x2-3x+4与g(x)=2x+m在区间[0,3]上是“关联函数”,
∴函数y=h(x)=f(x)-g(x)=x2-5x+4-m在区间[0,3]上有两个零点,
故有
解得-答案:B
9.解析:∵ x∈R,f(x)=0,
∴f(x)=0有无数个零点;
1和-1是f(x)=x-的零点;
∵f(x)=2和f(x)=的图象都在x轴上方,与x轴无交点,
∴这两个函数没有零点.故选BC.
答案:BC
10.解析:由于函数f(x)=2x-lox为区间(0,+∞)上的增函数,且a①f(a)②f(a)<0又x0是函数f(x)的一个零点,即f(x0)=0,故当f(a)c>b>a;当f(a)<0=f(x0)b>x0>a,故选ABC.
答案:ABC
11.解析:根据函数零点存在定理可判断,若f(a)f(b)<0,则一定存在实数c∈(a,b),使f(c)=0,但c的个数不确定,故B,D错误.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0,如f(x)=x2-1,f(-2)f(2)>0,但f(x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点,故A错误,C正确.
答案:ABD
12.解析:根据图②和题意可知,两直线平行,即票价不变,直线向上平移,说明乘客量为0时,收入是0,但是支出变少了.说明此建议是降低成本,而保持票价不变,故B正确;由图③可以看出,当乘客量为0时,支出不变,但是直线倾斜角变大,斜率变大,即相同的乘客数量时,收入变大,即票价提高了,说明此建议是提高票价,而保持成本不变,故C正确.
答案:BC
13.解析:令f(x)=0,得x=±,或x=3,或x=-1.
答案:±,3,-1
14.解析:设框架的一边长为x m,则另一边长为(6-x)m.
设框架面积为y m2,则y=x(6-x)=-x2+6x=-(x-3)2+9(0答案:9 m2
15.解析:因为f(x)为奇函数,且在区间(-∞,0)内有2 012个零点,由奇函数的对称性知,在(0,+∞)内也有2 012个零点,又x∈R,所以f(0)=0,因此共有4 025个零点.
答案:4 025
16.解析:(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付(60+80)-10=130(元).
(2)设顾客一次性购买水果的促销前总价为y元,当y<120元时,李明得到的金额为y×80%,符合要求;当y≥120元时,有(y-x)×80%≥y×70%恒成立,即8(y-x)≥7y,解得x≤.
因为min=15,所以x的最大值为15.
答案:(1)130　(2)15
17.解:求函数g(x)=f(x)-的零点,
即求方程f(x)-=0的根.
当x≥1时,由2x-2-=0得x=;
当x<1时,由x2-2x-=0,得x=(舍去)或x=.
所以函数g(x)=f(x)-的零点是.
18.解:由题意可得
解得0所以实数m的取值范围是.
19.解:当x≥时,函数f(x)=lg x是增函数,
∴f(x)∈;当x<时,函数f(x)=lg(3-x)是减函数,
∴f(x)∈.故f(x)∈.要使方程无实数解,则k故实数k的取值范围是.
20.解:若存在实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)≤0,即f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0,
解得a≤-,或a≥1.
检验:a.当f(-1)=0时a=1,
所以f(x)=x2+x.
令f(x)=0,即x2+x=0,得x=0或x=-1.
方程f(x)=0在区间[-1,3]上有两解,不合题意,故a≠1.
b.当f(3)=0时a=-,
此时f(x)=x2-x-.
令f(x)=0,即x2-x-=0.
解得x=-,或x=3.
方程f(x)=0在区间[-1,3]上有两解,不合题意,故a≠-.
综上所述,a∈∪(1,+∞).
21.解:(1)设m=k·10-x=,x∈[26,32],当x=29时m=1 000,则k=1032,
∴m==1032-x,x∈[26,32],
∴y=m(x-20-n)=(x-20-n)·1032-x,x∈[26,32],x∈N.
(2)当n=5时,y=(x-25)·1032-x=100×104=106.整理得x-25=10x-26.
∵函数y=10x-26与y=x-25的图象在区间[26,32]上有且只有一个公共点,
且当x=26时,等式成立,
∴x=26是方程x-25=10x-26唯一的根,
∴当每个工艺品的加工费用为5元时,要使该公司的日销售利润为100万元,销售单价为26元.
22.解:(1)当x=50时,甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益f(50)=3-6+×70+2=43.5(万元).
(2)由题意知,甲城市投资x万元,则乙城市投资(120-x)万元,
所以f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26.
依题意得解得40≤x≤80.
故f(x)=-x+3+26(40≤x≤80).
令t=,则t∈[2,4],所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44.
当t=6,即x=72时,y取得最大值,为44.
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大总收益为44万元.
1