陕西省西安市蓝田县2023-2024学年高一上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知全集，集合，则=（ ）
A． B．或
C． D．
3．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．每一个命题都能判断真假
B．存在一条直线与两条相交直线都平行
C．对任意实数，若，则
D．存在，使
4．对于实数，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知全集，能表示集合与关系的Venn图是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知集合，则下列与相等的集合个数为（ ）
①
②
③
④
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知实数，则（ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值6 D．无最小值
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．的最小值为2 D．的最小值为2
10．设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（ ）
A． B．
C． D．
11．对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ）
A． B．
C．或 D．
12．已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ）
A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素
B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素
C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个
D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个
三、填空题
13．命题的否定为 .
14．如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为 .
15．若，则 .
16．若，则的最小值为 .
四、解答题
17．已知集合.
（1）求
（2）若，，求实数的取值范围.
18．已知集合.
（1）若恰有一个子集，求实数的取值范围；
（2）若佮有一个元素，求实数的取值集合.
五、证明题
19．已知均为正实数.
（1）求证：，
（2）若一个直角的两条直角边分别为，斜边，求直角周长的取值范围.
六、解答题
20．已知.
（1）若成立，求实数的取值范围，
（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.
21．已知关于的不等式的解集为.
（1）若，求实数的取值范围，
（2）若存在两个实数，且，使得或，求实数的取值范围；
（3）李华说集合中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由.
22．已知.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求：
①的最小值
②的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为a是集合中的一个元素，
所以，
所以A选项错误，
因为空集是一个集合，是所有集合的子集，
所以，
所以B选项错误，
因为N表示所有自然数的集合，
所以，
所以C选项正确，
因为Q表示所有有理数的集合，
不是有理数，
所以，
所以D选项错误，
故答案为：C.
【分析】对元素与集合之间的关系，进行判断，以及考查符号的正确使用；对集合与集合之间的关系，进行判断，以及考查符号的正确使用.
2．【答案】D
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为集合，
所以集合，
因为集合，
所以，
所以，
所以集合，
所以，
所以
故答案为：D.
【分析】首先根据题意得到集合，再结合一元二次不等式求解，得到集合，进一步得到集合的补集，从而求出最后的交集.
3．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：一般把能判断某一件事情的陈述句叫做命题，
所以每一个命题都能判断真假，
所以A选项正确，
若直线，，
则，
与存在一条直线与两条相交直线都平行矛盾，
所以B选项错误，
因为，
当都小于0时，，
所以C选项错误，
因为，
所以不存在，使，
所以D选项错误，
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义，可知A选项正确；根据平行的传递性，可知不存在直线与两条相交直线同时平行；根据不等式的性质，可知C选项错误；利用一元二次函数的最值恒大于0，可知不存在，使得使.
4．【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：当时，，所以A选项错误，
当，且时，，所以B选项错误，
根据在上具有单调性，当时，，所以C选项正确，
当，时，，但，所以D选项错误，
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质，对A，B，D选项取特殊值，验证结论；结合幂函数的单调性，可以证明C选项正确.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性证明：
因为，
所以且，，
所以是的充分条件，
当，且，
，
所以是的非必要条件，
所以是的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】根据充分必要的定义分别进行证明，同时结合绝对值的性质和取特殊值进行验证.
6．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；Venn图表达集合的关系及运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：集合中，，
所以，
所以，，
因为，
所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】首先根据一元二次不等式的性质，对集合A进行化简，再对集合A与集合B的交集，可知交集部分非空集，且不存在包含关系.
7．【答案】C
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：①，所以，
所以集合为，与集合相等，
②，所以，所以，
所以集合为，与集合相等，
③，所以，或，
所以集合为，与集合不相等，
④，所以集合为，与集合不相等，
所以只有①②与集合相等，
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程组的解集，无理方程的解集，可知①②与集合相等；③④集合的元素是单个常数，不是数对，与集合不相等.
8．【答案】B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
，
因为，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
故答案为：B.
【分析】首先对式子进行参变量分离，化简后，再结合基本不等式的公式，求出最大值.
9．【答案】A,B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，当且仅当x=0时等号成立，
所以A选项正确，
因为，所以，
所以，当且仅当x=1时等号成立，
所以B选项正确，
当时，，当时，，所以C选项错误，
因为，
所以在上单调递增，
所以最小值为，
所以D选项错误，
故答案为：AB.
【分析】根据基本不等式的公式，可知AB选项正确；再集合定义域范围，以及单调性，可知CD选项错误.
10．【答案】B,C
【知识点】必要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：要使是的必要条件，
所以灯泡亮，需要推出开关闭合，
A选项：当开关闭合时，灯泡也亮，
但是开关不一定闭合，
所以A选项错误，
B选项：只有一个开关，
当灯泡亮时，开关必须闭合，
所以B选项正确，
C选项：有两个串联的开关，
当灯泡亮时，开关，必须都闭合，
所以C选项正确，
D选项：当开关不闭合时，灯泡也亮，
所以开关无需闭合，
所以D选项错误，
故答案为：BC.
【分析】根据题意则是的必要条件，所以灯泡亮，需要推出开关闭合，A选项能推出开关闭合或者开关闭合；BC选项能推出一定是开关闭合；D选项无论开关是否闭合，灯泡会一直亮.
11．【答案】A,B
【知识点】一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，，恒成立，所以，
当时，，所以，
当且时，所以或，
当且时，所以或，
故答案为：AB.
【分析】首先对进行分类讨论，再分别对一元二次不等式进行求解，求得的取值范围，CD选项符合解集情况，AB选项不符合.
12．【答案】A,B,D
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：根据孤立元素的定义，可知孤立元素无相邻数，
所以最多有3个元素，所以A选项正确，
当集合中只含一个元素的时候，这个元素一定是孤立元素，
所以至少需要2个元素，且这两个元素相邻，所以B选项正确，
当集合中有2个元素，且都是孤立元素，有以下10个集合：
，
所以C选项错误，
当集合中有4个元素，且都不是孤立元素，有以下6个集合：
，
所以D选项正确，
故答案为：ABD.
【分析】首先根据孤立元素的定义，可知孤立元素无相邻数，所以最多有3个元素；当集合中只含一个元素的时候，这个元素一定是孤立元素，所以至少需要2个元素；当集合中有2个元素，且都是孤立元素，有以下10个集合，所以C选项错误；当集合中有4个元素，且都不是孤立元素，刚好有6个集合.
13．【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题，
原命题，
所以否定命题为：，
故答案为：.
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，求得原命题的否定命题.
14．【答案】
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：根据题目所给图像，可知，
，，
所以点构成的集合为，
故答案为：.
【分析】根据题目所给图像，分析横纵坐标，分别取值范围，从而求出点构成的集合.
15．【答案】
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】解：由题意知，，
因为0=0，
所以有两种情况：或，
所以或或，
又因为同一个集合里，元素是唯一的，
所以或，
所以，
故答案为：.
【分析】首先根据题意两个集合相等，所以元素是可以一一对应，进行分类讨论，再根据同一个集合里的元素，具有唯一性，舍去的这种情况，所以.
16．【答案】2
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
当时，取等号，
所以最小值为
故答案为：.
【分析】首先根据题目所给条件，结合完全平方，对等式进行化简，再根据基本不等式性质，最终求得最小值.
17．【答案】（1）解：，，
则.
（2）解：集合，，
.
若，则，即；
若则解得.
综上，实数的取值范围为.
【知识点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)首先对集合中一元二次不等式，进行化简，求得取值范围，再根据集合B中范围，求得补集，最后再求出并集.
(2)首先求出集合与集合的交集，再根据题意可知，集合是交集的一个子集，然后再对集合进行分类讨论，最终求得m取值范围.
18．【答案】（1）解：集合恰有一个子集，则集合是空集，即关于的方程无实数根.
当时，无解，满足题意；
当时，，解得.
综上，实数的取值范围是.
（2）解：集合恰有一个元素，
当时，由（1）得集合，不满足题意；
当时，，解得或（舍去）.
所以实数的取值集合为.
【知识点】子集与交集、并集运算的转换；一元二次方程的解集
【解析】【分析】(1)首先由集合子集的个数，得到集合是空集，则对应的方程无实数解，再对进行分类讨论，结合根的判别式，最后得到的取值范围.
(2)首先根据题意集合有一个元素，排除集合为空集这种情况，可知方程为一元二次方程，再利用根的判别式，求得值集合.
19．【答案】（1）解：因为为正实数，
所以不等式等价于，
由，
所以，当时取“”.
（2）解：由题意，得.
由（1）的结论，，
当时取“”.
又，所以.
所以直角周长的取值范围为.
【知识点】利用不等式的性质比较大小；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先将要证明的结论，转换为平方后的形式，再将不等式两边做差，结合完全平方公式，求得恒小于等于0，从而得出结论.
(2)首先对直角三角形的三边使用勾股定理，得到关系式，再根据基本不等式，求得最大值，然后根据三角形构成的性质，可知，从而求出三角形周长取值范围.
20．【答案】（1）解：若成立，
因为时，，可得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立，
若成立，
因为时，，可得；
若成立时，，解得或；
若均成立时，可得，
所以至多有一个成立时，则.
综上上述：实数的取值范围为.
【知识点】命题的否定；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】(1)首先根据全称量词命题的否定是存在量词命题，从而得到命题的否定，再根据一元二次函数的定义域，求出值域范围，从而得到的取值范围.
(2)首先根据题意可知，命题至多有一个成立，从对立面考虑，讨论命题都成立这种情况，根据一元二次函数值域范围以及根的判别式，求出命题都成立时的取值范围，从而得到至多一个命题成立时的取值范围.
21．【答案】（1）解：不等式，其解集.
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则，
解得.
综上，实数的取值范围为.
（2）解：因为不等式的解集为或，
且，所以关于的方程有一正一负两个实数根.
可得即，
解得，
综上，实数的取值范围为.
（3）解：李华的说法不正确，理由如下：
若解集中仅有一个整数，则有，
二次函数，开口向下，对称轴为，
因为不等式的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1.
则，
解得.即中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的解集
【解析】【分析】(1)首先根据题意解集为，对进行分类讨论，当时，恒成立；当时，得到一元二次不等式，结合根的判别式，求出的取值范围.
(2)首先根据不等式的解集，可知，则题意为一元二次不等式，再结合图像与方程根的分布，联立方程组，化简求得取值范围.
(3)根据题意，解集中只有一个整数，得到，且这个整数必为1，代入根值，联立方程组，无实数解，所以李华的说法不正确.
22．【答案】（1）解：当时，，则，
得，则，
当且仅当时等号成立.
故的最大值为1.
（2）解：①当时，，即，
当时显然不合题意，故，
则，则或（舍去）.
则，
当且仅当，即，此时时等号成立，故的最小值为7.
②解法一：令，则，
代入，得，整理得.
由①的解答知，所以.
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
解法二：由，得.
由①的解答可知，则.
所以，
当且仅当且，即时，等号成立.
故的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先根据题意所给值，化简得到，再根据基本不等式，且当时，求得最大值.
(2)①首先根据条件对进行变量分离，代入化简，结合基本不等式，且当时，求得最小值.
②方法一：首先根据题意进行换元，代入所给条件进行化简，化简后得到，再结合基本不等式求解，得到最小值.
方法二：首先根据题目所给条件，进行化简，求得，再结合基本不等式求解，得到最小值.
1 / 1陕西省西安市蓝田县2023-2024学年高一上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断
【解析】【解答】解：因为a是集合中的一个元素，
所以，
所以A选项错误，
因为空集是一个集合，是所有集合的子集，
所以，
所以B选项错误，
因为N表示所有自然数的集合，
所以，
所以C选项正确，
因为Q表示所有有理数的集合，
不是有理数，
所以，
所以D选项错误，
故答案为：C.
【分析】对元素与集合之间的关系，进行判断，以及考查符号的正确使用；对集合与集合之间的关系，进行判断，以及考查符号的正确使用.
2．已知全集，集合，则=（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；补集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为集合，
所以集合，
因为集合，
所以，
所以，
所以集合，
所以，
所以
故答案为：D.
【分析】首先根据题意得到集合，再结合一元二次不等式求解，得到集合，进一步得到集合的补集，从而求出最后的交集.
3．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．每一个命题都能判断真假
B．存在一条直线与两条相交直线都平行
C．对任意实数，若，则
D．存在，使
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：一般把能判断某一件事情的陈述句叫做命题，
所以每一个命题都能判断真假，
所以A选项正确，
若直线，，
则，
与存在一条直线与两条相交直线都平行矛盾，
所以B选项错误，
因为，
当都小于0时，，
所以C选项错误，
因为，
所以不存在，使，
所以D选项错误，
故答案为：A.
【分析】根据命题的定义，可知A选项正确；根据平行的传递性，可知不存在直线与两条相交直线同时平行；根据不等式的性质，可知C选项错误；利用一元二次函数的最值恒大于0，可知不存在，使得使.
4．对于实数，，，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】幂函数的图象与性质；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：当时，，所以A选项错误，
当，且时，，所以B选项错误，
根据在上具有单调性，当时，，所以C选项正确，
当，时，，但，所以D选项错误，
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质，对A，B，D选项取特殊值，验证结论；结合幂函数的单调性，可以证明C选项正确.
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性证明：
因为，
所以且，，
所以是的充分条件，
当，且，
，
所以是的非必要条件，
所以是的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】根据充分必要的定义分别进行证明，同时结合绝对值的性质和取特殊值进行验证.
6．已知全集，能表示集合与关系的Venn图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；Venn图表达集合的关系及运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：集合中，，
所以，
所以，，
因为，
所以，
所以，
故答案为：D.
【分析】首先根据一元二次不等式的性质，对集合A进行化简，再对集合A与集合B的交集，可知交集部分非空集，且不存在包含关系.
7．已知集合，则下列与相等的集合个数为（ ）
①
②
③
④
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：①，所以，
所以集合为，与集合相等，
②，所以，所以，
所以集合为，与集合相等，
③，所以，或，
所以集合为，与集合不相等，
④，所以集合为，与集合不相等，
所以只有①②与集合相等，
故答案为：C.
【分析】根据二元一次方程组的解集，无理方程的解集，可知①②与集合相等；③④集合的元素是单个常数，不是数对，与集合不相等.
8．已知实数，则（ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值6 D．无最小值
【答案】B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
，
因为，
所以，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
故答案为：B.
【分析】首先对式子进行参变量分离，化简后，再结合基本不等式的公式，求出最大值.
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【答案】A,B
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，当且仅当x=0时等号成立，
所以A选项正确，
因为，所以，
所以，当且仅当x=1时等号成立，
所以B选项正确，
当时，，当时，，所以C选项错误，
因为，
所以在上单调递增，
所以最小值为，
所以D选项错误，
故答案为：AB.
【分析】根据基本不等式的公式，可知AB选项正确；再集合定义域范围，以及单调性，可知CD选项错误.
10．设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】必要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：要使是的必要条件，
所以灯泡亮，需要推出开关闭合，
A选项：当开关闭合时，灯泡也亮，
但是开关不一定闭合，
所以A选项错误，
B选项：只有一个开关，
当灯泡亮时，开关必须闭合，
所以B选项正确，
C选项：有两个串联的开关，
当灯泡亮时，开关，必须都闭合，
所以C选项正确，
D选项：当开关不闭合时，灯泡也亮，
所以开关无需闭合，
所以D选项错误，
故答案为：BC.
【分析】根据题意则是的必要条件，所以灯泡亮，需要推出开关闭合，A选项能推出开关闭合或者开关闭合；BC选项能推出一定是开关闭合；D选项无论开关是否闭合，灯泡会一直亮.
11．对于给定的实数，关于实数的不等式的解集不可能为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A,B
【知识点】一元二次不等式；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，，恒成立，所以，
当时，，所以，
当且时，所以或，
当且时，所以或，
故答案为：AB.
【分析】首先对进行分类讨论，再分别对一元二次不等式进行求解，求得的取值范围，CD选项符合解集情况，AB选项不符合.
12．已知全集是的子集，当时，且，则称为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（ ）
A．若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素
B．若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素
C．若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个
D．若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个
【答案】A,B,D
【知识点】子集与真子集；集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：根据孤立元素的定义，可知孤立元素无相邻数，
所以最多有3个元素，所以A选项正确，
当集合中只含一个元素的时候，这个元素一定是孤立元素，
所以至少需要2个元素，且这两个元素相邻，所以B选项正确，
当集合中有2个元素，且都是孤立元素，有以下10个集合：
，
所以C选项错误，
当集合中有4个元素，且都不是孤立元素，有以下6个集合：
，
所以D选项正确，
故答案为：ABD.
【分析】首先根据孤立元素的定义，可知孤立元素无相邻数，所以最多有3个元素；当集合中只含一个元素的时候，这个元素一定是孤立元素，所以至少需要2个元素；当集合中有2个元素，且都是孤立元素，有以下10个集合，所以C选项错误；当集合中有4个元素，且都不是孤立元素，刚好有6个集合.
三、填空题
13．命题的否定为 .
【答案】
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题，
原命题，
所以否定命题为：，
故答案为：.
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，求得原命题的否定命题.
14．如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为 .
【答案】
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：根据题目所给图像，可知，
，，
所以点构成的集合为，
故答案为：.
【分析】根据题目所给图像，分析横纵坐标，分别取值范围，从而求出点构成的集合.
15．若，则 .
【答案】
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】解：由题意知，，
因为0=0，
所以有两种情况：或，
所以或或，
又因为同一个集合里，元素是唯一的，
所以或，
所以，
故答案为：.
【分析】首先根据题意两个集合相等，所以元素是可以一一对应，进行分类讨论，再根据同一个集合里的元素，具有唯一性，舍去的这种情况，所以.
16．若，则的最小值为 .
【答案】2
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
当时，取等号，
所以最小值为
故答案为：.
【分析】首先根据题目所给条件，结合完全平方，对等式进行化简，再根据基本不等式性质，最终求得最小值.
四、解答题
17．已知集合.
（1）求
（2）若，，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：，，
则.
（2）解：集合，，
.
若，则，即；
若则解得.
综上，实数的取值范围为.
【知识点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)首先对集合中一元二次不等式，进行化简，求得取值范围，再根据集合B中范围，求得补集，最后再求出并集.
(2)首先求出集合与集合的交集，再根据题意可知，集合是交集的一个子集，然后再对集合进行分类讨论，最终求得m取值范围.
18．已知集合.
（1）若恰有一个子集，求实数的取值范围；
（2）若佮有一个元素，求实数的取值集合.
【答案】（1）解：集合恰有一个子集，则集合是空集，即关于的方程无实数根.
当时，无解，满足题意；
当时，，解得.
综上，实数的取值范围是.
（2）解：集合恰有一个元素，
当时，由（1）得集合，不满足题意；
当时，，解得或（舍去）.
所以实数的取值集合为.
【知识点】子集与交集、并集运算的转换；一元二次方程的解集
【解析】【分析】(1)首先由集合子集的个数，得到集合是空集，则对应的方程无实数解，再对进行分类讨论，结合根的判别式，最后得到的取值范围.
(2)首先根据题意集合有一个元素，排除集合为空集这种情况，可知方程为一元二次方程，再利用根的判别式，求得值集合.
五、证明题
19．已知均为正实数.
（1）求证：，
（2）若一个直角的两条直角边分别为，斜边，求直角周长的取值范围.
【答案】（1）解：因为为正实数，
所以不等式等价于，
由，
所以，当时取“”.
（2）解：由题意，得.
由（1）的结论，，
当时取“”.
又，所以.
所以直角周长的取值范围为.
【知识点】利用不等式的性质比较大小；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先将要证明的结论，转换为平方后的形式，再将不等式两边做差，结合完全平方公式，求得恒小于等于0，从而得出结论.
(2)首先对直角三角形的三边使用勾股定理，得到关系式，再根据基本不等式，求得最大值，然后根据三角形构成的性质，可知，从而求出三角形周长取值范围.
六、解答题
20．已知.
（1）若成立，求实数的取值范围，
（2）若和中至多有一个成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：若成立，
因为时，，可得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：和中至多有一个成立，考虑其反面：和均成立，
若成立，
因为时，，可得；
若成立时，，解得或；
若均成立时，可得，
所以至多有一个成立时，则.
综上上述：实数的取值范围为.
【知识点】命题的否定；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【分析】(1)首先根据全称量词命题的否定是存在量词命题，从而得到命题的否定，再根据一元二次函数的定义域，求出值域范围，从而得到的取值范围.
(2)首先根据题意可知，命题至多有一个成立，从对立面考虑，讨论命题都成立这种情况，根据一元二次函数值域范围以及根的判别式，求出命题都成立时的取值范围，从而得到至多一个命题成立时的取值范围.
21．已知关于的不等式的解集为.
（1）若，求实数的取值范围，
（2）若存在两个实数，且，使得或，求实数的取值范围；
（3）李华说集合中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由.
【答案】（1）解：不等式，其解集.
①当时，恒成立，符合题意；
②当时，则，
解得.
综上，实数的取值范围为.
（2）解：因为不等式的解集为或，
且，所以关于的方程有一正一负两个实数根.
可得即，
解得，
综上，实数的取值范围为.
（3）解：李华的说法不正确，理由如下：
若解集中仅有一个整数，则有，
二次函数，开口向下，对称轴为，
因为不等式的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1.
则，
解得.即中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确.
【知识点】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的解集
【解析】【分析】(1)首先根据题意解集为，对进行分类讨论，当时，恒成立；当时，得到一元二次不等式，结合根的判别式，求出的取值范围.
(2)首先根据不等式的解集，可知，则题意为一元二次不等式，再结合图像与方程根的分布，联立方程组，化简求得取值范围.
(3)根据题意，解集中只有一个整数，得到，且这个整数必为1，代入根值，联立方程组，无实数解，所以李华的说法不正确.
22．已知.
（1）当时，求的最大值；
（2）当时，求：
①的最小值
②的最小值.
【答案】（1）解：当时，，则，
得，则，
当且仅当时等号成立.
故的最大值为1.
（2）解：①当时，，即，
当时显然不合题意，故，
则，则或（舍去）.
则，
当且仅当，即，此时时等号成立，故的最小值为7.
②解法一：令，则，
代入，得，整理得.
由①的解答知，所以.
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
解法二：由，得.
由①的解答可知，则.
所以，
当且仅当且，即时，等号成立.
故的最小值为.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)首先根据题意所给值，化简得到，再根据基本不等式，且当时，求得最大值.
(2)①首先根据条件对进行变量分离，代入化简，结合基本不等式，且当时，求得最小值.
②方法一：首先根据题意进行换元，代入所给条件进行化简，化简后得到，再结合基本不等式求解，得到最小值.
方法二：首先根据题目所给条件，进行化简，求得，再结合基本不等式求解，得到最小值.
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