4.2.1 等差数列（第二课时）等差数列的证明与性质（共27张ppt）

(共27张PPT)
第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念
人教A版 选择性必修第二册
教学目标
1.能用等差数列的定义证明等差数列.
2.能用等差数列的定义推导等差数列的性质.
3.能用等差数列的性质解决一些相关问题.
4.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题.
01
复习导入
复习回顾
1. 等差数列的定义
2. 等差数列的通项公式
3. 等差中项
an-an-1=d （n≥2）或 an+1-an=d (n∈N*)
an =a1+(n-1)d
由三个数a,A,b组成等差数列,则称A叫做a与b的等差中项.
这三个数满足关系式：
A=
d=
函数图象上所有的点在同一条直线上：d＞0,等差数列单调递增；d＜0,等差数列单调递减；d＝0,等差数列为常数列.
4. 等差数列的函数特征
02
等差数列的证明
新知探究
例1.已知数列满足，记.求证：数列是等差数列.
证明：(法一：定义法)∵
∴为常数().
又
∴数列是首项为，公差为的等差数列.
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵
∴
∴
新知探究
方法技巧：
判定等差数列常用的2种方法
(1)定义法：(常数)()为等差数列.
(2)等差中项法：为等差数列.
新知探究
03
等差数列的性质
新知探究
1. 等差数列的通项公式
an =a1+(n-1)d
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
斜率
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…
2.等差数列的对称性
有穷等差数列中，首末两项“等距离”的两项之和等于首项和末项的和
新知探究
设{an}为等差数列，若m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq (m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
3.等差中项的推广
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如， 但；，但
新知探究
4.等差数列的运算性质
d
cd
2d
等差数列
新知探究
例1.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列一起构成一个新的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由.
l
解(1)：设数列的公差为.
由题意可知，，，于是
∵，所以，∴.
∴.
所以，数列的通项公式是.
新知探究
(2)：[方法一]数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.
令解得
所以，是数列的第8项.
[方法二]∵令，
解得所以，是数列的第8项.
新知探究
例2.已知数列是等差数列，且，
则
解：∵在等差数列中,若
则，∴
由条件等式，得
∴
新知探究
练习.已知等差数列中，，则的值为( ).
A.10 B.-10 C.15 D.-15
解：[方法一]设等差数列的公差为，则
，即.
故.
[方法二]由等差数列的性质知，则
故.
B
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
解：(1)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3.∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①
又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②，由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.
∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.由an＝a3＋(n－3)d得an＝2n－7或an＝－2n＋13.
（2）方法二：∵{an}为等差数列，观察可得：4a60=a15+3a75，
∴4×20=8+3×a75,求得a75=24
新知探究
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例5.某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第1年起，第年的利润为，则，
，
∴每年的利润可构成一个等差数列，且公差，
∴
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
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