第四章 因式分解（单元小结）课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
第四章 因式分解
单元小结
本章知识架构
分解因式
方法
提公因式法
平方差公式
运用公式法
完全平方公式
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
互为逆运算
整式乘法
知识专题
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。
一、多项式的因式分解的概念
即：一个多项式 →几个整式的积
知识专题
二、分解因式的方法：
（1）、提取公因式法
（2）、运用公式法
（4）、分组分解法
（3）、十字相乘法
知识专题
三、提公因式法分解因式
整式乘法：
m（a+b+c）=ma+mb+mc，
逆变形得到
因式分解的第一种方法：ma+mb+mc=m（a+b+c）
知识专题
1、多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式 。
2、把多项式ma+mb+mc中的公因式提出来，则这个多项式就可分解成两个因式m和a+b+c的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
例如多项式-4x2y3z+12x3y4中各项的公因式是-4x2y3。
公因式中系数的“+”、“-”号，一般由首项来决定。
知识专题
确定公因式一般可以从以下二个方面来考虑：
（1）先提取数字因数。若多项式的各项系数都是整数，那么公因式的系数是这些系数绝对值的最大公因数；若有分数因数，则最好先提取分数因数，使多项式系数转化为整数，使解题过程简化。
（2）再提取相同的字母。若多项式的各项含有相同的字母，就应把它作为公因式提取，相同字母的指数取该字母在各项中最低的指数。
四、运用公式法分解因式
平方差公式
a2-b2=（a+b）（a-b）
完全平方公式
a2+2ab+b2=（a+b）2
a2-2ab+b2=（a-b）2
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子称为完全平方式。
利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
五、十字相乘法
公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x
x
a
b
知识专题
六、分组分解法：
分组的原则：分组后要能使因式分解继续下去
1、分组后可以提公因式
2、分组后可以运用公式
知识专题
① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
② 对于二项式，考虑应用平方差公式分解。对于三项式，考虑应用完全平方公式或十字相乘法分解。
一提
二套
三分
四查
③再考虑分组分解法
④检查：特别看看多项式因式是否分解彻底
七、方法小结：
考点专练
考点 1 用提公因式法因式分解
例1：因式分解:m2-5m=　　　　.
思路点拨：找公因式→提公因式→结果.
解答：提取公因式m,
得m2-5m= m(m-5).
答案:m(m-5)
考点专练
例2：多项式ax2-a与多项式x2-2x+1的公因式是　　　　　.
解析：ax2-a=a(x+1)(x-1);
x2-2x+1=(x-1)2,
则公因式为x-1.
答案:x-1
考点专练
【知识点睛】
　　用提公因式法进行因式分解时,最关键的一步是确定公因式.寻找公因式时,对于数字因数找各项数字的最大公约数,对于相同的字母,找相同字母的最低次幂.
考点专练
考点 2 用公式法因式分解
例3：因式分解4x-x3=　　　　.
思路点拨：找公因式→提公因式→继续分解→平方差公式→结果.
解答：4x-x3=x(4-x2)
=x(2+x)(2-x).
答案:x(2+x)(2-x)
考点专练
例4：把多项式因式分解:ax2-ay2=　　　　.
解析：先提取公因式a,再根据平方差公式进行二次分解.注意平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),
则ax2-ay2=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y).
答案:a(x+y)(x-y)
考点专练
【知识点睛】
符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点:
1.有两项.
2.两项都能写成平方的形式.
3.符号相反.
考点专练
【知识点睛】
符合用完全平方公式因式分解的多项式一般有以下特点:
1.有三项.
2.其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方的形式.
3.另一项是这两数(或两式)的乘积(或乘积相反数)的2倍.
考点专练
考点 3 因式分解的简单应用
例5：在日常生活中,如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码有哪些
考点专练
思路点拨：先将给定的多项式因式分解,然后计算出各部分对应值,进而得出有关的密码.
解答：因为4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y),
所以当x=10,y=10时,
有x=10,(2x+y)=20+10=30,
(2x-y)=20-10=10,
所以产生的密码是101030或103010或301010.
考点专练
【知识点睛】
　　因式分解是代数运算中的一种重要的恒等变形,其应用非常广泛,特别是对于含有条件限制的多项式求值,如果考虑利用因式分解将所求多项式进行适当变形,转化为已知条件,往往能收到事半功倍的效果.
复习题
第1、3、4、7、9题