生活中的圆周运动
会分析匀速圆周运动中向心力的来源。
重点：熟练应用向心力公式和向心加速度公式。
知道向心力和向心加速度公式也适用于变速圆周运动，并掌握处理特殊点的方法。
★自主学习
火车转弯处：（1）若内、外轨一样高，火 ( http: / / www.21cnjy.com )车做圆周运动的向心力是由_________________提供的，由于火车质量太大，靠这种方法得到向心力，极易使___________________受损。（2）外轨略高于内轨时，火车转弯时向心力的一部分来源是____________________，这就减轻了轮缘与外轨的挤压。
汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力是由 ( http: / / www.21cnjy.com )___________________提供的，方向___________，此时汽车对桥的压力FN′_________G（填“>”、“＝”、“<”），汽车行驶到最高点的速度越大FN′就越_________。
汽车在凹形桥上行驶通过桥最低 ( http: / / www.21cnjy.com )点的向心力是由_______________提供的，方向__________，此时汽车对桥的压力FN′_________G（填“>”、“＝”、“<”）
航天员随宇宙飞船绕地球作 ( http: / / www.21cnjy.com )匀速圆周运动时，向心力是________________________提供的；当飞船的飞行速度v＝_____________时，航天员对座舱的压力FN′＝0，此时航天员处于________状态。
★新知探究
一、火车转弯
火车按规定的速度行驶
（1）确定火车作圆 ( http: / / www.21cnjy.com )周运动的轨道平面，并找出圆心
（2）画出火车的受力分析图，并求出规定的速度。（已知路面倾角θ和圆周半径R）
讨论当火车行驶速度大于或小于规定的行驶速度时，向心力的来源情况。
思考汽车在水平路面上转弯时是怎样获得向心力的？
二、拱形桥
汽车在拱形桥或凹形桥上行驶的过程中，它受到的合外力一定指向圆心吗？在那些特殊位置合外力就是向心力？
已知汽车的质量为m，通过拱形桥最高点的速度为v，桥面的半径为R，试求出汽车通过桥最高点时对桥的压力FN′。
并讨论：（1）当v＝时，FN′＝？（2）当v>时，汽车会怎样运动？
同理推出汽车通过凹形桥最低点时对桥的压力FN′。
三、航天器中的失重现象
1.已知宇宙飞船的轨道半径为R，向心加速度为g′，试推出当座舱对航天员的支持力FN＝0时飞船的速度。
2.思考：汽车在拱形桥最高点和在凹形桥最低点时，是处于失重状态还是处于超重状态？
★例题精析
一、近似处理思想在火车转弯问题中的应用
【例题1】一段铁路转弯处，内、外轨高度 ( http: / / www.21cnjy.com )差为h＝10㎝，弯道半径为r＝625m，轨距L＝1435mm，求这段弯道的设计速度v0是多大时才能保证内、外轨不受侧向压力？
解析：
【训练1】铁路转弯处的弯道半径r是根据 ( http: / / www.21cnjy.com )地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：
弯道半径r／m 660 330 220 165 132 110
内、外轨道高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
（1）根据表中数据，写出h和r的关系式，并求出r＝440m时h的值。
（2）铁路建成后，火车通过弯道时 ( http: / / www.21cnjy.com )，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v。
二、圆周运动中绳模型的应用
【例题2】长L＝0.5m的 ( http: / / www.21cnjy.com )细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m＝0.5Kg的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？
（2）在最高点时，若速度v＝3m/s，水对筒底的压力多大？
解析：
【训练2】游乐园里过山车原理的示意 ( http: / / www.21cnjy.com )图如图5－44所示。设过山车的总质量为m，由静止从高为h的斜轨顶端A点开始下滑，到半径为r的圆形轨道最高点B时恰好对轨道无压力。求过山车在圆形轨道最高点B时的速度大小。
三、圆周运动中的杆模型
【例题3】如图5－45所示， ( http: / / www.21cnjy.com )长为L的轻杆一端有一个质量为m的小球，另一端有光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）
A.小球到达最高点的速度必须大于
B.小球到达最高点的速度可能为0
C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力
D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力
解析：
【训练3】如图5－46所示，在竖直平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内有一内径为d的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R远远大于d，有一质量为m的小球，直径略小于d，可在圆管中做圆周运动。若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时受到轨道给它的作用力为___________。
四、拱桥问题
【例题4】如图5－47所示，汽车质量为1. ( http: / / www.21cnjy.com )5×104Kg，以不变的速率先后驶过凹形桥和凸形桥，桥面圆弧半径为15m，如果桥面承受的最大压力不得超过2.0×105N，则汽车允许的最大速率是多少？汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少？
解析：
【训练4】某条公路拐弯处的半径为R，路面与车轮的动摩擦因数为μ，当质量为m的汽车在此处拐弯行驶的最大速率为多少？
参考答案
★自主学习
1.外轨对轮缘的弹力 铁轨和车轮 支持力和重力的合力 2.重力和支持力的合力 竖直向下 <
越小 3.支持力和重力的合力 竖直向上 > 4.由万有引力和支持力的合力 完全失重
★新知探究
一、3摩擦力
二、1.不一定 顶点（最高点或最低点） 2.（1）0（2）平抛 3.略
三、1. 2.失重 3.超重
★例题精析
例题1 解析：当火车以设计速度v0运行时，其受力如图所示，其中G与FN的合力提供火车转弯的向心力，此时外轨内侧、内轨外侧与车轮之间无相互作用力。
又因为，所以
当角度很小时，有sinθ≈tanθ=
代入上式有
学法指导：知道火车转弯时的向心力来源是分析解答此题的关键，另外，铁路弯到的半径r是根据地形条件决定的，晚稻处内、外轨道的高度差的选取不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关，利用数学近似处理得出上述三个量的关系是：
训练1 解析：（1）由 ( http: / / www.21cnjy.com )表中数据可知，每组的h与r之积为常数，hr＝660×50×103m2＝33m2。当r＝440m时，代入数据求得h＝75mm。
（2）内外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示，则
（θ很小），tanθ＝sinθ＝，
所以
例题2 解析：（1）若水恰不流出，则有，所求最小速率m/s＝2.2m/s
(2)
N－0.5×9.8N＝4.1N
由牛顿第三定律知，水对桶底的压力FN′＝FN＝4.1N
答案：（1）2.2m/s （2）4.1N
训练2 答案：
例题3 解析：由于杆对球有支撑作用，小球达最高点时速度可以为0，故B正确，A错误；当最高点速度为，则只有重力提供做圆周运动的向心力，由此可见，此时干对球的作用力为0，若小球速度过大，又飞出的趋势时，对小球受力分析可知，此时为拉力。若小球速度为0，对小球受力分析可知，，则小球受到杆的支持力（即推力）为mg。
由以上分析可知，小球在最高点受到的力可能是拉力，可能是推力，可能是0。
答案：B
训练3 答案：mg或0
例题4 答案：m/s 1.0×105N
解析：首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大。汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过拱形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大，当汽车经过凹形桥面的最低点时，设桥面支持力为FN1，由牛顿第二定律得，要求FN1≤2.0×105N
解得允许的最大速度vm＝7.07m/s
由上面的分析可知，汽车经过拱形桥顶时对桥面的压力最小，设为FN2′，有
，解得FN2＝1.0×105N
由牛顿第三定律知，FN2′与FN2等值反向。
训练4
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学习探究
r
B
A
h
图5－44
图5－45
O
L
m
图5－46
v
R
图5－47
FN
θ
h
l
F
mg
θ5.7 向心力（学案）
一、学习目标
知道什么是向心力，理解它是一种效果力
知道向心力大小与哪些因素有关。理解公式的确切含义，并能用来进行计算
结合向心力理解向心加速度
理解变速圆周运动中合外力与向心力的关系
二、课前预习
1、本节主要学习向心力概念、向心 ( http: / / www.21cnjy.com )力的大小和方向，以及变速圆周运动特点、一般曲线运动及其研究方法等。其中，向心力概念，向心力的大小和方向是本节重点，变速圆周运动特点及研究方法则是本节难点。
2、向心力 ，向心力是产生 的原因，它使物体速度的 不断改变，但不能改变速度的 。向心力是按 命名的力，它可由重力、弹力、摩擦力等提供，也可以是这些力的合力或它们的分力来提供。向心力大小的计算公式 。
3、力与运动的关系
①力与速度同一直线，力只改变速度 ，不改变速度 。
②力与速度垂直，力只改变速度 ，不改变速度 。
③力与速度成其它任意角度， 。
4、用圆锥摆粗略验证向心力的表达式
①、实验器材有哪些？
②、简述实验原理（怎样达到验证的目的）
③、实验过程中要注意什么？测量那些物理量（记录哪些数据）？
④、实验过程中差生误差的原因主要有哪些？
5、当物体沿圆周运动，不仅速度方向不断变化，其大小也在不断变化，这样的圆周运动称为变速圆周运动。物体做变速圆周运动的原因是所受合外力的方向不是始终指向圆心，这时合外力的作用效果是：使物体产生向心加速度的同时，产生切向加速度。匀速圆周运动可看作变速圆周运动的一个特例。
6、一般曲线运动及研究方法：运动轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )既不是直线也不是圆周的曲线运动，可称为一般曲线运动。研究时，可将曲线分割为许多极短的小段，每一段均可看作圆弧，这样即可采用圆周运动的分析方法进行处理了。
三、经典例题
例1、分析下面各种匀速圆周运动中向心力是由哪些力提供？
玻璃球沿碗（透明）的内壁在水平面内运动；或者漏斗里的运动，如图。（不计摩擦）
②圆锥摆运动：细线下面悬挂一钢球，细线上端固定，设法使小球在水平面面上做圆周运动。
例2 如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则A的受力情况是（ ）
A、受重力、支持力
B、受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C、重力、支持力、向心力、摩擦力
D、以上均不正确
例3、一辆汽车在水平公路上转弯，沿 ( http: / / www.21cnjy.com )曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图甲、乙、丙、丁分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是哪一个？
例4、如图所示，长0.40m的细绳，一端拴一质量为0.2kg的小球，在光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动，若运动的角速度为5.0rad/s，求绳对小球需施多大拉力？
例5、如图，小球在关于O点对称的AB两点间摆动，最高点时与竖直方向夹角为30°，则
小球做圆周运动的向心力由哪些力提供？
若摆线的长度L=m，小球质量为m，小球在最低点O的速度为,求小球在O点时绳子拉力多大？小球在B点时绳子拉力多大、
例6、质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬线与竖直方向夹角分别为和，如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
例7、如图所示，半径为R的圆筒绕轴以角速度ω匀速转动，物体m与圆筒壁的动摩擦因数为μ，设，为使 m 不下滑，ω至少为多大？
四、巩固练习
1、如图所示，将一质量为m的摆球用长 ( http: / / www.21cnjy.com )为L的细绳吊起，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳就会沿圆锥面旋转，这样就构成了一个圆锥摆，则关于摆球A的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A．摆球受重力、拉力和向心力的作用 B．摆球受拉力和向心力的作用
C．摆球受重力和拉力的作用 D．摆球受重力和向心力的作用
2、如图所示，一个内壁光滑的圆锥形 ( http: / / www.21cnjy.com )筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是（ ）
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定小于B球的线速度
C．A球的运动周期必定小于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力
3、如图所示，细绳的一端 ( http: / / www.21cnjy.com )固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个钉子A。让小球从一定高度摆下，经验告诉我们，当细绳与钉子相碰时，如果钉子的位置越靠近小球，绳就越容易断。请用圆周运动的知识加以论证。
4、如图，已知绳长a＝0.2m，水平杆长b＝0.1m，小球质量m＝0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动。
（1）要使绳子与竖直方向成450角，试求该装置必须以多大的角速度旋转？（2）此时绳子对小球的拉力为多大？
5、如图所示，被长为L的细线OB系住的小球处于静止状态，把水平线OA剪断的瞬间小球的加速度大小。
。
6、如图所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A，A与碗壁间的动摩擦因数为 ，当碗绕竖直轴 匀速转动时，物体A刚好能紧贴在碗口附近随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度．
7、如图所示，在光滑的水平面上钉两个钉子A和B，相距20 cm.用一根长1 m的细绳，一端系一个质量为0.5 kg的小球，另一端固定在钉子A上.开始时球与钉子A、B在一直线上，然后使小球以2 m/s的速率开始在水平面内做匀速圆周运动.若绳子能承受的最大拉力为4 N，那么从开始到绳断所经历的时间是多少
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8、如图所示，水平转盘的中心有个竖直小圆筒，质量为m的物体A放在转盘上，A到竖直筒中心的距离为r.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连，B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍，则转盘转动的角速度在什么范围内，物体A才能随盘转动.
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参考答案
1、【答案】:C
【解析】：我们在进行受力分 ( http: / / www.21cnjy.com )析时，“物体受到哪几个力的作用”中的力是指按照性质命名的力，显然，物体只受重力G和拉力FT的作用，而向心力F是重力和拉力的合力，如图所示。也可以认为向心力就是FT沿水平方向的分力FT2，显然，FT沿竖直方向的分力FT1与重力G平衡。所以，本题正确选项为C。
2、【答案】:AB
【解析】：小球A和B的受力情况如图所示，由图可知，两球的向心力都来源于重力G和支持力FN的合力，建立如图所示的坐标系，则有：
FN1＝FNsinθ＝mg
FN2＝FNcosθ＝F
所以F＝mgcotθ。
也就是说FN在指向圆心方向的分力即合力F＝mgcotθ提供小球做圆周运动所需的向心力，可见A、B两球受力情况完全一样，当然向心力肯定也大小相等。由于前提是两球的向心力一样，所以比较时就好比较了
比较两者线速度大小时，由F＝m可知：r越大，v一定较大，因此选项A正确。
比较两者角速度大小时，由F＝mrω2可知：r越大，ω一定较小，因此选项B正确。
比较两者的运动周期时，由F＝mr（）2可知：r越大，T一定较大，因此选项C不正确。
由受力分析图可知，小球A和B受到的支持力FN都等于，因此选项D不正确。
3、【解析】：在绳子与钉子相碰的瞬间，速度大小不变，但小球从大半径的圆周运动突变到小半径的圆周运动，所以由于v不变，根据公式知：r越小，F越大，故绳越易断。
4、【答案】: ω＝6.4 （rad/s），F=2.77N
【解析】：以小球为研究对象，其圆周运动的圆心在竖直轴上。
半径r=b+acos450=0.24(m) 小球受重力和绳子拉力F，以竖直方向和指向圆心方向建立直角坐标系，则有：
Fcos450 – mg ＝ 0 （1）
Fsin450＝mω2r （2）
由（1）（2）解得：ω＝6.4 （rad/s），F=2.77N
5、【答案】:
【解析】：剪断的瞬间，OA绳子的拉力瞬间消失，小球将开始由静止做圆周运动，由于开始速度为0，所以向心力为0，即绳子拉力等于,合加速度为切向加速度
6、【答案】:
【解析】：物体A随碗一起转动而不发生相对滑动，放物体做匀速圆周运动的角速度 就等于碗转动的角速度 。因为物体A在碗口附近，所以可以认为物体在水平面内做圆周运动，则物体A做匀速圆周运动所需的向心力是由碗壁对物体的弹力提供，此时物体所受的摩擦力与重力平衡。
解：物体A做匀速圆周运动，向心力：
而摩擦力与重力平衡，则有：
即：
由以上两式可得：
即碗匀速转动的角速度为：
7、【答案】:3.768s
【解析】：球每转半圈，绳子就碰到 ( http: / / www.21cnjy.com )不作为圆心的另一颗钉子，然后再以这颗钉子为圆心做匀速圆周运动，运动的半径就减少0.2 m，但速度大小不变（因为绳对球的拉力只改变球的速度方向）.根据F＝mv2／r知，绳每一次碰钉子后，绳的拉力（向心力）都要增大，当绳的拉力增大到Fmax＝4 N时，球做匀速圆周运动的半径为rmin，则有
Fmax＝mv2／rmin
rmin＝mv2／Fmax＝（0.5×22／4）m＝0.5 m.
绳第二次碰钉子后半径减为0.6 m，第三次碰钉子后半径减为0.4 m.所以绳子在第三次碰到钉子后被拉断，在这之前球运动的时间为：
t＝t1＋t2＋t3
＝πl／v＋π（l－0.2）／v＋π（l－0.4）／v
＝（3l－0.6）·π／v
＝（3×1－0.6）×3.14／2 s
＝3.768 s
答案 3.768 s
说明 需注意绳碰钉子的瞬间，绳的拉力和速度方向仍然垂直，球的速度大小不变，而绳的拉力随半径的突然减小而突然增大.
8、【答案】: ≤ω≤
【解析】：若要A在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心.
当A将要沿盘向外滑时，A所受的最大静摩擦力指向圆心，A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即
F＋Fm ′＝mω12r ①
由于B静止，故
F＝mg ②
由于最大静摩擦力是压力的μ倍，即
Fm ′＝μFN＝μmg ③
由①、②、③解得
ω1＝；
当A将要沿盘向圆心滑时，A所受的最大静摩擦力沿半径向外，这时向心力为：
F－Fm ′＝mω22r ④
由②、③、④得ω2＝.
要使A随盘一起转动，其角速度ω应满足
≤ω≤
N
。
N
。
M
乙
F
M
N
。
丙
F
M
N
。
丁
F
A
B
O
m
M
α
β
２l
l
ω
Ｒ
L
m
θ
A
B
θ
A
O
。
θ
ω
r
a
b
A
B
O
α
m
θ
G
O
F
FT
FT1
FT21
A
B
θ
mg
FN
FN1
FN2
x5.4 实验：研究平抛运动
【教学目标】
知识与技能
掌握平抛运动在竖直方向的运动特点。
掌握平抛运动在水平方向的运动特点。
过程与方法
探究过程，体会平抛运动在竖直和水平方向的运动规律。
情感态度与价值观
设计平抛运动的轨迹，体会实验的步骤和艰辛。
【教学重点】
平抛运动在竖直和水平方向的运动规律。
【教学难点】
描绘平抛运动的轨迹。
【教学过程】
引入新课
复习旧知
平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动。
平抛运动的规律
我么今天就用实验的方法研究平抛运动。
新课讲解
一、探究平抛运动物体在竖直方向的运动规律
① 猜测 平抛运动的轨迹是一条曲线，且沿 ( http: / / www.21cnjy.com )这条曲线越往下，曲线的切线方向越趋近于竖直方向，物体的速度方向也越来越趋近于竖直方向，如图所示，图中θ2＜θ1。由机械能守恒定律可知v2＞v1，由运动的分解不难得知，物体经过A、B两位置时竖直方向的分速度大小关系为v2y＞v1y。
所以，物体在竖直方向的初速度 ( http: / / www.21cnjy.com )为零且做加速运动，结合物体竖直方向只受重力作用这一因素，我们不难做出这样的猜测：平抛运动物体在竖直方向的分运动是自由落体运动。
② 实验 按图所示操作实验，如果小球A ( http: / / www.21cnjy.com )确实如猜想的那样竖直方向做自由落体运动，那么A、B两小球在空中运动的时间应该相等，同时下落，同时着地。仔细观察（不仅用眼看，更要用耳仔细听）可以得知，不管小球距地面的高度为多大，也不管小锤击打金属片的力度多大（小锤击打金属片的力度越大，A小球水平抛出的初速度越大），两小球每次都是同时落地。
③ 结论 上述实验中，两小球每次都是同时落地，这说明两小球在空中运动的时间相等，也就说明了平抛运动物体在竖直方向的分运动是自由落体运动。
二. 探究平抛运动物体在水平方向的运动规律
① 思路 要想知道平抛运动物体在水平方 ( http: / / www.21cnjy.com )向上运动的特点，关键在于找到物体的水平位移随时间变化的规律。因此，我们可测量几段相等时间间隔内物体在水平方向上的位移，找出其特点，看看这些位移是否相等。
② 实验 设法通过实验得到平抛运动的轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )；在平抛运动的轨迹上找到每隔相等时间物体所到达的位置；测量两相邻位置间的水平位移，分析这些位移的特点。
那么，如何通过实验得到平抛运动的轨迹呢？教材提出了三个参考案例：
案例一：利用水平喷出的细水柱显示平抛运动轨迹；
案例二：利用斜面小槽等装置记录平抛运动轨迹；
案例三：利用数码照相机或数码摄像机记录平抛运动轨迹。
怎样才能找到轨迹上每隔相等时间平抛物体所到达 ( http: / / www.21cnjy.com )的位置呢？有同学可能会提出选用秒表以便测时间，这是不对的，因为平抛运动时用秒表测时间很难准确操作，这会带来较大误差。
通过前面的实验探究我们已经知道，平抛运动在竖直方向上的分运动是自由落体运动，而自由落体运动下落的高度h是与运动时间t的二次方成正比的，即
h＝gt2。
因此，图中在竖直坐标轴y上，从原点开 ( http: / / www.21cnjy.com )始向下任取一个坐标为h的点，再找到坐标为4h、9h、16h……的点。在物体运动过程中，纵坐标从其中一个位置运动到下一个位置所用的时间都是相等的。过这些点做水平线与轨迹相交，交点就是每经相等时间物体所到达的位置。在误差允许范围内，实验测得它们对应的横坐标可表示为l、2l、3l……，可见在相等的时间间隔内物体在水平方向的位移相等。
③ 结论 在相等的时间间隔内物体在水平方向的位移相等，这说明平抛运动在水平方向做匀速直线运动.
三、描绘平抛运动的轨迹
为记录平抛运动轨迹，实验室中较常用的方法是教材介绍参考案例2：
利用实验室的斜面小槽等器材装配图所示的 ( http: / / www.21cnjy.com )装置。钢球从斜槽上同一位置滚下，钢球在空中做平抛运动的轨迹就是一定的。设法用铅笔描出小球经过的位置。通过多次实验，在竖直白纸上记录钢球所经过的多个位置，连起来就得到钢球做平抛运动的轨迹。
该实验所需器材包括：附带金属小球的斜槽，木板及竖直固定支架，白纸，图钉，刻度尺，三角板，重锤，铅笔等。
实验步骤如下：
① 安装调整斜槽 用图钉把白纸钉在竖直 ( http: / / www.21cnjy.com )板上，在木板的左上角固定斜槽，可用平衡法调整斜槽，即将小球轻放在斜槽平直部分的轨道上，如小球能在任意位置静止，就表明水平程度已调好。
② 调整木板 用悬挂在槽口的重锤 ( http: / / www.21cnjy.com )线把木板调整到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直面平行，然后把重锤线方向记录到钉在木板上的白纸上，固定木板，使在重复实验的过程中，木板与斜槽的相对位置保持不变。
③ 确定坐标原点 把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，O即为坐标原点。
④ 描绘运动轨迹 用铅笔的笔尖轻轻 ( http: / / www.21cnjy.com )地靠在木板的平面上，不断调整笔尖的位置，使从斜槽上滚下的小球正好碰到笔尖，然后就用铅笔在该处白纸上点上一个黑点，这就记下了小球球心所对应的位置。保证小球每次从槽上开始滚下的位置都相同，用同样的方法可找出小球平抛轨迹上的一系列位置。取下白纸，用平滑的曲线把这些位置连接起来即得小球做平抛运动的轨迹。
上述实验步骤中我们必须注意以下事项：
① 实验中必须保证通过斜槽末端点的切线水平，方木板必须处在竖直平面内，且与小球运动轨迹所在竖直平面平行，并使小球的运动靠近木板但不接触。
② 小球必须每次从斜槽上同一位置由静止开始滚下，为此，可在斜槽上某一位置固定一个挡板。
③ 坐标原点（小球做平抛运动的起点）不是槽口的端点，而应是小球在槽口时球的球心在木板上的水平投影点，位于槽口末端上方r处（r为小球半径）。
④ 应在斜槽上适当的位置释放小球，使它以适当的水平速度抛出，其轨迹由木板的左上角到达右下角，这样可以使实验误差较小。
⑤ 须在斜槽末端用重锤线检查白纸上所画y轴是否竖直。
分运动是匀速直线运动。
【课堂训练】
例1 在“探究平抛运动的运动规律”的实验中，可以描绘出小球平抛运动的轨迹，实验简要步骤如下：
A．让小球多次从 位置上滚下，记下小球碰到铅笔笔尖的一系列位置。
B．按图安装好器材，注意 ，记下平抛初位置O点和过O点的竖直线。
C．取下白纸，以O为原点，以竖直线为y轴建立坐标系，用平滑曲线画平抛运动物体的轨迹。
⑴ 完成上述步骤，将正确的答案填在横线上。
⑵上述实验步骤的合理顺序是 。
提示 回顾该实验的操作步骤及注意事项，对照分析即得。
解析 ⑴ A中为了保证小球每次平抛初速度相同，轨迹重合，应让小球从同一位置滚下。B中为了保证小球做平抛运动，要注意斜槽末端切线水平。
⑵ 上述实验步骤的合理顺序是B、A、C。
小结 为研究平抛运动规律，就需先得到 ( http: / / www.21cnjy.com )平抛运动的轨迹，实验时应注意以下问题：一是保证小球每次平抛初速度相同；二是保证小球初速度分向水平。当然，还需要力求准确地记下小球经过的一系列位置。
例2 如图所示是研究平抛运动的实验装置简图，图是实验后白纸上的轨迹图。
⑴ 说明图中的两条坐标轴是如何作出的。
⑵ 说明判断槽口的切线是否水平的方法。
⑶ 实验过程中需要经多次释放小球才能描绘出小球运动的轨迹，进行这一步骤时应注意什么？
提示 回顾该实验的操作步骤及注意事项，对照分析即得。
解析 ⑴ 利用拴在槽口处的重锤线画出y轴，x轴与y轴垂直。
⑵ 将小球放在槽口的水平部分，小球既不向里滚动，也不向外滚动，说明槽口的末端是水平的。
⑶ 应注意每次小球都从轨道上同一位置由静止释放。
小结 正确画出坐标轴是研究平抛运动特点的必要准备，关键在于利用重垂线画出y轴和确定坐标原点的位置。
例3 如图所示，在研究平抛 ( http: / / www.21cnjy.com )运动时，小球A沿轨道滑下，离开轨道末端（末端水平）时撞开接触开关S，被电磁铁吸住的小球B同时自由下落，改变整个装置的高度H做同样的实验，发现位于同一高度的A、B两个小球总是同时落地，该实验现象说明了A球在离开轨道后（ ）
A．水平方向的分运动是匀速直线运动
B．水平方向的分运动是匀加速直线运动
C．竖直方向的分运动是自由落体运动
D．竖直方向的分运动是匀速直线运动
提示 比较A、B两球在竖直方向的运动规律。
解析 A球平抛的同时B球 ( http: / / www.21cnjy.com )自由下落，且两球在同一高度上，又两球总是同时落地，这只能说明A球在抛出后竖直方向的分运动是自由落体运动，但并不能说明A球的水平分运动是匀速直线运动。正确选项为C。
小结 解题时千万不可凭主观想象来判断。由 ( http: / / www.21cnjy.com )题意我们可以知道平抛运动物体在竖直方向的分运动是自由落体运动，但本题中没有任何证据表明其水平方向的运动特点，虽然就结论本身而言选项A是正确的。
例4 如图所示为频闪摄影方法拍摄的研究物体 ( http: / / www.21cnjy.com )做平抛运动规律的照片，图中A、B、C为三个同时由同一点出发的小球。AA′为A球在光滑水平面上以速度v运动的轨迹； BB′为B球以速度v被水平抛出后的运动轨迹；CC′为C球自由下落的运动轨迹。通过分析上述三条轨迹可得出结论：
。
提示 比较A、B、C三球的运动规律。
解析 仔细观察照片可以发现，B、C两球在任 ( http: / / www.21cnjy.com )一曝光瞬间的位置总在同一水平线上，说明平抛运动物体B在竖直方向上的运动特点与自由落体运动相同；而A、B两小球在任一曝光瞬间的位置总在同一竖直线上，说明平抛运动物体B在水平方向上的运动特点与匀速直线运动相同。所以，做平抛运动的物体在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动。
小结 本例提供了探究平抛运动的特点的另一方法，简明且较准确，但需要一定的设备，如有条件，不妨一试。
例5 在“研究平抛物体的运动 ( http: / / www.21cnjy.com )”的实验中，某同学只在竖直板面上记下了重锤线y的方向，但忘记了平抛的初位置，在坐标纸上描出了一段曲线的轨迹，如图所示。现在曲线上取A、B两点，量出它们到y轴的距离，AA’=x1，BB’=x2，以及AB的竖直距离h，用这些可以求出求得小球平抛时的初速度为多大？
提示 根据平抛运动的两个分运动的规律，列方程求解。
解析 设小球到达A点时，运动时间为t1，竖直方向的位移为y1；到达B点时，运动时间为t2，竖直方向的位移为y2。根据平抛运动的规律有
其中y2－y1=h，所以 。
小结 平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动，竖直方向的分运动为自由落体运动。有此列出方程求解，即可求得其初速度。
例6 在研究平抛运动的实验中， ( http: / / www.21cnjy.com )用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.25cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度为v0＝ （用L、g表示），其值是 。（g取9.8m/s2）
提示 因为平抛运动的竖直分运动是自由落体 ( http: / / www.21cnjy.com )运动，即初速度为零的匀加速直线运动，水平分运动是匀速直线运动，由运动学规律即可求解平抛运动物体的初速度。
解析 由水平方向上ab＝bc＝cd可知，相邻两点的时间间隔相等，设为T，竖直方向相邻两点间距之差相等，Δs＝L，则由 Δs＝aT2，
即得 T＝＝。
时间T内，水平方向位移为s＝2L，所以
v0＝＝2 m/s＝0.70m/s。
小结 充分利用平抛运动的轨迹及其特点是本题求解的关键。
【课堂小结】
平抛运动物体在竖直方向的分运动是自由落体运动。
2.平抛运动在水平方向做匀速直线运动.
3. 平抛运动的轨迹是抛物线的一支。
【板书设计】
1.平抛运动物体在竖直方向的分运动是自由落体运动。
2. 平抛运动在水平方向做匀速直线运动.
3. 平抛运动的轨迹是抛物线的一支。
4. 平抛运动是水平方向的自由落体运动和竖直方向的匀速直线运动的合运动。
5.平抛运动的规律是
v0
v1
v2
v2y
v1y
θ2
θ1
y
O
h
4h
9h
x
O
x
y
B
A
S
H
A
A′
B
C
C′
B′
A
A’
B’
B
y
h
x2
x1
a
b
c
d第五章 曲线运动
向心加速度
1.理解向心加速度的概念、公式及物理意义。
2.知道速度变化量是矢量，会由平行四边形定则求速度变化量。
3．领会确定向心加速度方向的方法—“微元法”。
4.会用向心加速度公式求解分析问题。
★自主学习
1.在匀速圆周运动中，由于_________不断变化，所以是变速运动，故有_________。
2.速度的变化量Δv有大小，也有方向，也是__________。
3.实例和理论推导都说明了向心加速度的方向是__________________________。
4.向心加速度大小的表达式为______________________________。
5.任何做______圆周运动的物体的加速度都指向圆心。
★例题精析
一、对向心加速度概念的理解
【例题1】关于向心加速度的物理意义，下列说法中正确的是（ ）
A.它描述的是线速度方向变化的快慢
B.它描述的是线速度大小变化的快慢
C.它描述的是角速度变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度是恒定不变的
解析：
【训练1】下列关于向心加速度的说法中正确的是（ ）
A.向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B.向心加速度的方向不变
C.在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的 D.在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
二、对向心加速度公式的理解
【例题2】做匀速圆周运动的物体，线速度为10 ( http: / / www.21cnjy.com )m/s，物体从A到B速度变化量大小为10m/s，已知A、B间弧长是3.14m，则A、B弧长所对应的圆心角为多大？物体的向心加速度大小是多少？
解析：
【训练2】在航空竞赛场里，由一 ( http: / / www.21cnjy.com )系列路标塔指示飞机的飞行路径。在飞机转弯时，飞行员承受的最大向心加速度大小约为6g（g为重力加速度）。设一飞机以150m/s的速度飞行，当加速度为6g时，其路标塔转弯半径应该为多少？
三、向心加速度在传动装置中的应用
【例题3】如图5-32所示，O1为皮带传动的 ( http: / / www.21cnjy.com )主动轮的轴心，轮半径为r1,O2为从动轮的轴心，轮半径为r2,r3为固定在从动轮上的小轮半径，已知r2=2r1,r3=1.5r1。A、B和C分别是3个轮边缘上的点，质点Ａ、Ｂ、Ｃ的向心加速度之比是（ ）
A.1：2：3 Ｂ.2：4：3 Ｃ.8：4：3 Ｄ.3：6：2
【训练３】由于地球自转，比较位于赤道上的物体１与位于北纬60°的物体2，则（ ）
A.它们的角速度之比ω1：ω2=2：1
B.它们线速度之比v1：v2=2：1
C.它们的向心加速度之比a1：a2=2：1
D.它们向心加速度之比a1：a2=4：1
第五章 曲线运动参考答案
向心加速度
★自主学习
1.线速度的方向 加速度 2.矢量 3.指向圆心 4. 5.匀速
★例题精析
例题1 答案A
解析：向心加速度的方向和线 ( http: / / www.21cnjy.com )速度的方向垂直，因此，它只描述线速度方向变化的快慢，对于匀速圆周运动，角速度是不变的，而向心加速度仍然存在，可见，向心加速度不是描述角速度变化的物理量，向心加速度的方向总是指向圆心，所以加速度方向时刻改变，故向心加速度不是恒定不变的。
训练1 A
例题2 答案：
解析：物体从A到B速度变化量大小等于其圆周运动的线速度，所以AB弧对应的圆心角为，所以
则圆的半径R为：
其向心加速度大小为：
训练2 382.65m
例题3 答案：C
解析：如果皮带不打滑，A点、B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率，根据向心加速度公式：，可得
B点、C点是同一轮上的两点，所以它们角速度相同。根据向心加速度公式：，可得
.所以,故应选C.
在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度大小时，应先确定各点是线速度相同还是角速度相同，然后再选用相应的向心加速度公式进行比较，即如果角速度相同，a与r成正比，若线速度相同，a与r成反比。
训练3 B、C
学海导航
学习探究
B
C
A
r1
图5-32
r2
r3
O1抛体运动的规律
★新课标要求
（一）知识与技能
1、理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g。
2、掌握抛体运动的位置与速度的关系。
（二）过程与方法
1、掌握平抛运动的特点，能够运用平抛规律解决有关问题。
2、通过例题分析再次体会平抛运动的规律。
（三）情感、态度与价值观
1、有参与实验总结规律的热情，从而能更方便的解决实际问题。
2、通过实践，巩固自己所学知识。
★教学重点
分析归纳抛体运动的规律
★教学难点
应用数学知识分析归纳抛体运动的规律
★教学方法
教师启发、引导，学生归纳分析，讨论、交流学习成果。
★教学工具
投影仪等多媒体教学设备
★教学过程
（一）引入新课
上节课已经实验探究了平抛运动的特点，本节我们将从理论上对抛体运动的规律进行研究。
（二）进行新课
1、抛体的位置
教师活动：引导学生阅读教材，独立推导抛体运动的位置坐标。为了便于研究，推导时考虑以下问题：
1、应该沿什么方向建立坐标系？
2、应以哪个位置作为坐标原点？
学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，推导t时刻小球在水平方向和竖直方向上的位置坐标x、y.
为了研究问题的方便，应该沿水平向右和竖直向下建立坐标系，并取小球刚被水平抛出的瞬间作为坐标原点。
教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。
投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。
点评：通过学生推导分析，提高学生分析解决问题的能力。通过推导，体会成功的喜悦。为进一步研究轨迹方程做好准备。
教师活动：投影例1，讨论以速度v水平抛出的物体的运动轨迹。
引导学生独立思考，独立寻找求解轨迹的方法。
学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，利用上面推导出的位置坐标x、y的表达式，消去时间t，得到轨迹方程，即x与y的关系式。
点评：培养学生运用数学知识分析解决物理问题的能力。
教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。
投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。
从轨迹方程可以看出，其轨迹为抛物线。
提出问题：如果将物体斜向上或斜向下抛出，物体的运动轨迹是怎样的呢？
引导学生阅读教材有关内容，就“说一说”栏目中的问题进行讨论。
学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，利用上面推导平抛运动轨迹的方法，推导斜抛物体的轨迹方程
教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。
投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。
从轨迹方程可以看出，其轨迹仍为抛物线。
课件演示：喷出的水作斜抛运动。增加学生感性认识。
2、抛体的速度
教师活动：物体抛出后，速度大小和方向时刻变化，我们如何来研究抛体运动的速度呢？试以平抛运动为例推导出t 时刻运动的速度。
学生活动：认真思考，在练习本上推导出t 时刻平抛运动的速度。
教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。
投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。
平抛运动的物体水平方向上不受力，匀速运动，故；
竖直方向上自由落体运动，故。
由勾股定理可知，合速度大小为，方向，其中为合速度与初速度间的夹角。
教师活动：投影例2，引导学生独立思考，分析求解。
学生活动：在练习本上划出运动草图，分析求解。
点评：培养学生运用所学知识分析解决实际问题的能力。
教师活动：巡回指导，掌握学生的解题过程。
投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。
（三）课堂总结、点评
教师活动：让学生概括总结本节的内容。请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本上总结，然后请同学评价黑板上的小结内容。
学生活动：认真总结概括本节内容，并把自己这节课的体会写下来、比较黑板上的小结和自己的小结，看谁的更好，好在什么地方。
点评：总结课堂内容，培养学生概括总结能力。
教师要放开，让学生自己总结所学内容，允许内容的顺序不同，从而构建他们自己的知识框架。
（四）实例探究
1、平抛运动有哪些规律？
解析：运动轨迹为过原点的抛物线，轨迹方程为y＝x2；水平方向匀速直线运动；竖直方向自由落体运动.
2、根据平抛运动的规律，你能设计一个粗略测定你水平抛出石子的初速度的实验吗
解析：用米尺分别测出水平抛出石子抛出点的高度h和它的水平位移s，由h＝gt2求出时间：t＝，再根据水平分运动求初速度：v0＝＝s.
3、一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔1 s释放一个铁球，先后共释放4个。若不计空气阻力，从地面上观察4个球（ ）
A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的
B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们落地点是不等间距的
C.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的
D.在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的
解析：C项正确。因为铁球从飞机上释放后做 ( http: / / www.21cnjy.com )平抛运动，在水平方向上具有与飞机相同的速度，不论铁球何时从飞机上释放，铁球与飞机在水平方向上都无相对运动。铁球同时还做自由落体运动，它在竖直方向将离飞机越来越远，所以4个球在落地前始终处于飞机的正下方，而排成一条竖直直线，又因为从飞机上每隔1 s释放一个球，而每个球在空中运动的时间又是相等的，所以这4个球落地的时间也依次相差1 s，而4个铁球在水平方向上的速度都相同，它们的落地点必然是等间距的.若以飞机为参考系观察4个铁球都做自由落体运动。
（课件演示，模拟飞机投弹）
【答案】 C
4、如图所示，以9.8 m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，则物体飞行的时间是多少
解析：平抛物体的运动在水平方向的分运动是匀 ( http: / / www.21cnjy.com )速直线运动，所以撞在斜面上时，水平方向速度vx＝9.8 m/s，合速度垂直于斜面，即合速度v与vx（水平方向）成α＝60°角，见图。所以竖直方向速度
vy＝vxtan60°＝9.8 m/s
又因为vy＝gt，所以
t＝＝ s＝ s
因为分运动与合运动等时，故物体飞行时间是 s.
【答案】 s
【说明】 在解决平抛运动的问题时，要将平抛 ( http: / / www.21cnjy.com )运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，时间相同是两分运动联系的桥梁.求解时往往根据竖直方向的分运动求时间.
5、第一次从高为h处水平抛 ( http: / / www.21cnjy.com )出一个球，其水平射程为x，第二次用跟前一次相同的速度从另一处水平抛出另一个球，水平射程比前一次多了Δx，不计空气阻力，则第二次抛出点的高度为________.
解析：设两次水平抛出球的初速度为v0，第一次抛出球，球做平抛运动的时间为t1，则有
y＝gt12 ①
x＝v0t1 ②
消去t1得
y＝ ③
设第二次抛出球后，它运动的时间为t2，则有
y′＝gt22 ④
x＋Δx＝v0t2 ⑤
消去t2得
y′＝ ⑥
由③⑥得，第二次抛出球的高度为
y′＝（1＋）2y
★课余作业
课后讨论完成P43“问题与练习”中的问题。
★教学体会
思维方法是解决问题的灵魂，是物理教学的 ( http: / / www.21cnjy.com )根本；亲自实践参与知识的发现过程是培养学生能力的关键，离开了思维方法和实践活动，物理教学就成了无源之水、无本之木。学生素质的培养就成了镜中花，水中月。曲线运动
一、教学目标：
1、知道什么是曲线运动；
2、知道曲线运动中速度的方向是怎样确定的；
3、知道物体做曲线运动的条件。
二、教学重点：
1、什么是曲线运动
2、物体做曲线运动的方向的确定
3、物体做曲线运动的条件
三、教学难点：
物体做曲线运动的条件
四、教学方法：
实验、讲解、归纳、推理法
五、教学步骤：
导入新课：
前边几章我们研究了直线运动，下边同学们思考两个问题：
1、什么是直线运动？
2、物体做直线运动的条件是什么？
在实际生活中，普遍发生的是曲线运动，那么什么是曲线运动？本节课我们就来学习这个问题。
新课教学
（一）用投影片出示本节课的学习目标
1、知道轨迹是曲线的运动，叫做曲线运动。
2、理解曲线运动是一种变速运动。
3、知道物体做曲线运动的条件。
（二）学习目标完成过程
1、曲线运动
（1）放录像，展示几种物体所做的运动
a：导弹所做的运动；汽车转弯时所做的运动；人造卫星绕地球的运动；
b：归纳总结得到：物体的运动轨迹是曲线。
（2）提问：上述运动和曲线运动除了轨迹不同外，还有什么区别呢？
（3）用CAI课件对比小车在平直的公路上行驶和弯道上行驶的情况。
学生总结得到：曲线运动中速度方向是时刻改变的。
过渡：怎样确定做曲线运动的物体在任意时刻的速度方向呢？
2：曲线运动的速度方向
（1）放录像：
a：在砂轮上磨刀具时，刀具与砂轮接触处有火星沿砂轮的切线方向飞出；
b：撑开的带着水的伞绕伞柄旋转，伞面上的水滴沿伞边各点所划圆周的切线方向飞出。
（2）分析总结得到：质点在某一点（或某一时刻）的速度的方向是在曲线的这一点的切线方向。
（3）推理：
a：只要速度的大小、方向的一个或两个同时变化，就表示速度矢量发生了变化。
b：由于做曲线运动的物体，速度方向时刻改变，所以曲线运动是变速运动。
过渡：那么物体在什么条件下才做曲线运动呢？
3：物体做曲线运动的条件
（1）用CAI课件模拟实 ( http: / / www.21cnjy.com )验：一个在水平面上做直线运动的钢珠，如果从旁给它施加一个侧向力，它的运动方向就会改变，不断给钢珠施加侧向力，或者在钢珠运动的路线旁放一块磁铁，钢珠就偏离原来的方向而做曲线运动。
（2）观察完模拟实验后，学生做实验。
（3）分析归纳得到：当物体所受的合力的方向跟它的速度方向不在同一直线时，物体就做曲线运动。
（4）学生举例说明：物体为什么做曲线运动。
（5）用牛顿第二定律分析物体做曲线运动的条件：
当合力的方向与物体的速度方向在同一直线上时，产生的加速度也在这条直线上，物体就做直线运动。
如果合力的方向跟速度方向不在 ( http: / / www.21cnjy.com )同一条直线上时，产生的加速度就和速度成一夹角，这时，合力就不但可以改变速度的大小，而且可以改变速度的方向，物体就做曲线运动。
六、小结
1、运动轨迹是曲线的运动叫曲线运动。
2、曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点的瞬时速度的方向在曲线的这一点的切线上。
3、当合外力F的方向与它的速度方向有一夹角a时，物体做曲线运动。
七、板书设计：课时5 圆周运动
1.知道什么是匀速圆周运动。
2.理解描述圆周运动的线速度、角速度、周期、转速的概念及其关系。
3.会比较几个质点做匀速圆周运动的线速度关系、角速度关系等。
★自主学习
1.圆周运动的例子如_______________。
2.__________________ ___________叫匀速圆周运动。
3.描述匀速圆周运动快慢的物理量有_____________________，它们之间的关系是________________。
★新知探究
一、线速度v
1.圆周运动的快慢可以用物体通过的________与所用______的比值来量度。
2.线速度的定义式为_______________________________。
3.线速度的方向和圆弧_________________。
4.物体沿圆周运动，并且线速度的________处处相等，这种运动叫匀速圆周运动。
5.匀速圆周运动的线速度方向是时刻变化的，因此，它是一种_______运动，这里的“匀速”是指____不变。
二、角速度ω
1.定义：物体做圆周运动时，它与圆心的连线扫过的_______与所用时间的_________。
2.引入目的：描述物体做圆周运动的_________。
3.定义式：ω=___________。
4.国际单位制的单位：符号是______或_______，读作__________。
5.匀速圆周运动是______不变的圆周运动。
三、转速n和周期T
1.转速n
（1）定义：物体___________所转过的______叫转速。
（2）单位：符号为_______，也可用________表示。
2.周期T
（1）定义：做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的_____叫周期。
（2）跟角速度的关系为_________________。
四、线速度和角速度的关系_______________。
五、通过以上学习与思考，你认为描述物体做圆周运动的物理量有___________________________。
★例题精析
一、描述圆周运动的物理量
【例题1】做匀速圆周运动的物体，10 ( http: / / www.21cnjy.com )s内沿半径是20m的圆周运动了100m,试求物体做匀速圆周运动的：（1）线速度的大小；（2）角速度；（3）周期。
解析：
【训练1】质点以半径R= ( http: / / www.21cnjy.com )0.1m绕定点做匀速圆周运动，转速3000r/min，其角速度为______________,其线速度为____________,转过30 °角所需的时间为______________。
二、传动装置中线速度、角速度的关系
【例题2】如图5-23所 ( http: / / www.21cnjy.com )示，为一皮带传送装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r,小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动中，皮带不打滑，则（ ）
A.ａ点与ｂ点的线速度大小相等
B.ａ点与ｂ点的角速度大小相等
C.ａ点与ｃ点的线速度大小相等
D.ｃ点与ｄ点的角速度大小相等
【训练2】如图5-24所示传动装置中 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知大轮A的半径是小轮B半径的2倍，A、B分别在边缘接触，形成摩擦传动，接触点无打滑现象，B为主动轮，B转动时边缘的速度为v,角速度为ω，求：
（1）两轮转动周期之比。
（2）A轮边缘上点的线速度的大小。
（3）A轮的角速度。
参考答案
★自主学习
1.略2.物体沿圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动 3.
★新知探究
一、1.弧长 时间 2. 3.相切 4.大小 5.变速 速率
二、1.角度 比值 2.快慢 3. 4. 弧度每秒 5.角速度
三、1.(1)单位时间 圈数 （2）
2.（1）时间 （2）
四、
五、线速度、角速度、周期、转速等
★例题精析
例题一 答案：（1）10m/s （2）0.5rad/s （3）s
解析：（1）由线速度的定义式得：
（2） （3）
训练1
例题2 答案：CD
解析：有关皮带传送问题，若皮带不打滑， ( http: / / www.21cnjy.com )则皮带上各点的速度大小相等，与皮带连接的皮带轮的边缘上各点速度与皮带的速度大小相等；同一轮轴上各点的角速度相同。
因为右轮和左侧小轮考皮带传动而不打滑，所以，选项C正确。b、c、d绕同一轴转动，因此，选项D正确。
，所以，选项B错误。 ，选项A错误。
训练2 （1）2﹕1 （2） （3）
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学习探究
a
b
c
d
4r
2r
r
图5-23
图5-24
A
B
