平行线的性质与判定复习
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重点、难点
重点:平行线性质和判定综合应用
难点:平行线性质和判定灵活运用.
教学过程
一、复习引入
1.平行线的判定方法有哪些 (注意:平行线的判定方法三种,另外还
有平行公理的推论)
2.平行线的性质有哪些.
3.完成下面填空.
已知:如图,BE是AB ( http: / / www.21cnjy.com )的延长线,AD∥BC,AB∥CD,若∠D=100°,则∠C=_____, ∠A=______,∠CBE=________.
二、进行新课
1.实践与探究
(1)下列各图中,已知AB∥EF,点C任意选取(在AB、EF之间,又在BF的左侧).请测量各图中∠B、∠C、∠F的度数并填入表格.
∠B ∠F ∠C ∠B与∠F度数之和
图(1)
图(2)
通过上述实践,试猜想∠B、∠F、∠C之间的关系,写出这种关系,试加以说明.
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(1) (2)
教师投影题目:
学生依据题意,画出类似图(1)、图(2)的图形,测量并填表,并猜想:∠B+∠F=∠C.
在进行说理前,教师让学生思考:平行线的性质对解题有什么帮助 教师视学生情况进一步引导:
①虽然AB∥EF,但是∠B与∠F不是同位角,也不是内错角或同旁内角. 不能确定它们之间关系.
②∠B与∠C是直线AB、CF被直线BC所截而成的内错角,但是AB与CF不平行.能不能创造条件,应用平行线性质,学生自然想到过点C作CD∥AB,这样就能用上平行线的性质,得到∠B=∠BCD.
③如果要说明∠F=∠FCD,只要说明CD与EF平行,你能做到这一点吗
以上分析后,学生先推理说明, 师生交流,教师给出说理过程.
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三、巩固练习
填空题.
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角的度数的比为2:7, 则这两个角分别是____________度.
选择题.
1.若两条平行线被第三条直线所截,则互补的角但非邻补角的对数有( )
A.6对 B.8对 C.10对 D.12对
2.如图,已知AB∥DE,∠A=135°,∠C=105°,则∠D的度数为( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
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解答题.
1.已知,如图1,∠AOB纸片沿CD折叠,若O′C∥BD,那么O′D与AC平行吗 请说明理由.
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2.如图,已知B、E分别是AC、DF上的点,∠1=∠2,∠C=∠D.
(1)∠ABD与∠C相等吗 为什么.
(2)∠A与∠F相等吗 请说明理由.
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四、作业
1.课本P95 B组题
2.补充作业:
(1).如图,已知EAB是直线,AD∥BC,AD平分∠EAC,试判定∠B与∠C的大小关系,并说明理由.
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(2).如(图4),DE∥AB,DF∥AC,∠EDF=85°,∠BDF=63°.
(1)∠A的度数; (2)∠A+∠B+∠C的度数.毛
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教学后记：第四章 相交线与平行线
4.1 1 平面上两条直线的位置关系
——平行、相交、重合
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教学重点：平行线的概念与平行公理
教学难点：对平行公理及直线平行关系的传递性的理解.
教学过程：
一、复习提问
1.经过一点可以画几条直线？经过两点呢？经过三点呢？
2.线段AB＝CD，CD＝EF，那么AB与EF的关系怎样？
二、讲授新内容
1.观察P72的图形
说出这些直线的不同的位置关系？相交、重合、不相交也不重合（平行）
平面内两条直线的位置关系可能相交，可能重合，也可能不相交也不重合.归纳得出平面内两条直线的位置关系及平行线的概念.
关键：有没有公共点
2.平行线概念：在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线.
3.直线AB与CD平行，记作AB∥CD，读作AB平行于CD.
4.用三角板画平行线AB∥CD.
平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）.
5.说一说：生活中的平行线的实例.
6.做一做
任意画一条直线a，并在直线a外任取一点A，通过点A画直线a的平行线，看能画出几条？（学生画图，实际上只能画一条）
7.归纳：经过直线外一点有一条并且只有一条直线与已知直线平行.
8.直线的平行关系具有传递性：设a、b、c是三条直线，如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
因为如果直线a与c不平行，就会相交于一点P，那么过P点就有两条直线与直线b平行，这是不可能的，所以a∥c.
三、小结与练习
1.练习P74 1、2题
2.补充练习：
(1)在同一平面内，两条直线可能的位置关系是_相交或平行.
(2)在同一平面内，三条直线的交点个数可能是 两个或三个 .
(3)下列说法正确的是（ ）
A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行.
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行.
C．经过一点有一条直线与已知直线平行.
D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
(4)如果同一平面内的两条直线有两个交点，那么它们的的位置关系是 重合 .
3.小结
对平行线的理解：两个关键：(1) “在同一个平面内”（举例说明）；(2)“不相交”.一个前提：对两条直线而言.
( http: / / www.21cnjy.com )平行线的判定(2)
素质教育目标
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(二)、能力训练点
1、经历观察、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
2、通过判定方法的推导，培养学生的逻辑推理能力。
3、鼓励学生自主探索与合作交流，关注学生多角度的思考，发展思维策略，体会平行线的判定方法在实际生活中的应用价值。
(三)、德育渗透点
通过“转化”及“运动——变化”的数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系相互转化的辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点
重点：掌握平行线判定方法
难点：区分平行线的性质及判定，平行线的性质及判定的混合应用
三、教学步骤
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两条直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么这两条直线平行。可以简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
显示出完整的“推理”过程，并作详细的解释，如果，那么a//b吗？
总结：所的平行线的性质和判定方法
二、做一做
用两块形状、大小都一样的三角尺拼成一个四边形，有几种拼法？在这些四边形中，哪些相对的两边是互相平行的？为什么？鼓励学生之间进行充分交流，引导学生在与他人交流中获益。
三、例题讲解
1、书P93 例题（题略）
鼓励学生采用多种方法求解。
学生自主完成说理过程，并与同伴交流。
教师讲评，板书，让学生说出每一步的依据。
四、随堂练习
书P94 1，2
五、小结
如何区分平行线的性质与判定？
六、作业
P94习题4.4A组T3、4、5
教学后记：4.2 平移
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教学重点：理解平移的定义
教学难点：理解平移不改变图形的形状、大小
学法指导：引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好的理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用数学知识的意识与能力。
教学过程：
一、情境导入
在我们的生活中有许多现象，如开关抽屉、推开铝合金窗、推拉木门、自动门开关、乘坐手扶电梯。这些物体作了什么运动呢？
二、讲解80的观察图形
思考问题：1、被推移的窗页上的每一个点，是不是都按相同的方向移动了相同的距离？
2、窗页上的图案的形状和大小发生了变化吗？
3、A、B两点的距离改变了吗？
4、直线AB移到直线A′B′后，方向改变了吗？
三、讲解平移的概念
1、从上述问题中归纳：把图形上所有的点都按同一方向移动相同的距离叫作平移。
2、上例中的平移中的对应点A与A′，B与B′等等，原来的图形叫作原像，在新位置的图形叫作该图形在平移下的像。
3、平移的特点：平移不改变图形的形状和大小。平移还不改变直线的方向。
归纳：（1）平移把直线谈成与它平行的直线。
（2）两条平行直线中的一条，可以通过平移与另一条重合。
4、要求学生叙述生活中平移的例子。
四、练习和小结
1、动手操作：（1）在桌面上将手中的三角板沿刻度尺向右平移2cm
（2） 在桌面上将手中的三角板沿刻度尺向左平移3cm。
2、P81的练习题 A组1题 第3、4题
( http: / / www.21cnjy.com )4.1.2相交直线所成的角
教学目标：
1．理解相交直线所成的角意义，理解对顶角、同位角、内错角、同旁内角的概念。能准确地找出三条直线相交所构成的八个角的关系。
2．理解对顶角相等的性质。
3．会运用对顶角相等及等量代换的性质得到三条直线相交所得8个角之间的等量关系及互补关系。
教学过程：
一、复习
1、在同一平面内的两条直线有几种位置关系？
2、经过直线外一点怎样画出这条直线的平行线？
3、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
即：如果b∥a，c∥a，那么b ∥ c。
二、讲授新课 A D
1、做一做（P75的内容） 2
2、对顶角的概念 3 1
如图∠1与∠3有共同的顶点O，其中一个角的两边分别 4
是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。 C B
3、学生从做一做中得出相应的结论，也可从简单的推理中得到：对顶角相等。
∠1与∠3都是∠2的补角，因为同角的补角相等，所以∠1＝∠3。 M
4、说一说：生活中的对顶角
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8、应用“对顶角相等”及“等量代换”及等式的性质，可以得出相应的一些结论：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角也相等，同旁内角互补。
（2）两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么其他几对内错角也相等，并且同位角也相等，同旁内角互补。
（3）两条直线被第三条直线所截，如果有一对同旁内角互补，那么另一对同旁内角也互补，并且同位角相等，内错角也相等。 D
三、练习及小结 D 1
1、练习P77练习1、2题 A 3 4 B
2、补充：如图，直线AB，AC被DE所截，则∠1和 ∠6是 6
同位角，那么∠6和 是内错角，∠6和 是同旁内角。 7 5
如果∠5=∠2，那么∠4 ∠6。后记：
E C
教学后记：4.6 点到直线的距离
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教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。
教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法
教学过程：
准备知识
1、垂直的概念
2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？
3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？
二、探究新知
1、经过一点作一条已知直线的垂线。
（1）点P在直线AB上 （2）点P在直线AB外
2、讨论思考题：过一点P作已知直线的
垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？
如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合）
3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。
4、垂线段的概念：
如图，设PO垂直于AB于O，线段
PO叫作点P到直线AB的距垂线段。
PA、PB、PC、PD叫作斜线段。
5、垂线段PO的长度叫作点P到直
线AB的距离。
6、做一做
（1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。
（2）按教材P100的做一做操作。
7、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
8、垂线段的应用
P99的动脑筋
三、练习与小结
1、练习P101的练习题
2、课堂小结
( http: / / www.21cnjy.com )4.3 平行线的性质
( http: / / www.21cnjy.com )3、情感态度与价值观
丰富和发展学生的数学活动经历，感受获行成功的体验。
教学重点；
理解并掌握平行线的三个性质。
教学难点：
平行线性质的应用。
教学用具：
1、自制课件。2、印制的实验用品。
教学过程：
一、实验引入。
1、教师以窗格为例，已知窗户的横格是平行的，用三角尺进行检验，发现同位角相等。这个结论是否具有一般性呢？
2、学生实验（发印制好的平行线纸单）。
（1）要求学生任意画一条直线c与直线a、b相交。
（2）选一对同位角来度量，看看这对同位角是否相等。
3、实验结论：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
二、新课教学。
（一）、性质1教学
1、由上述探索可以得出
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
2、理解并记忆性质。
（1）性质已知什么？得出什么？
（2）性质的应用格式。
∵ AB//CD(已知)
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）。
（二）、性质2、3教学
1、问题讨论：
我们知道两条平行线被第三条直线所截，不但形成有同位角，还有内错角、同旁内角。我们已经知道“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。那么请同学们想一想：两条平行线被第三条直线所截，内错角、同旁内角有什么关系？（分组讨论，每一小组推荐一位同学回答）。
2、引导学生讨论并回答。
学生口答，教师板书，并要求学生学习推理的书写格式。
如图，已知a∥b，由平行线性质公理得同位角∠１＝∠２。由∠１＝∠２，可找到∠２与∠３的关系吗？
∵a∥b（已知）
∴∠１＝∠２（两直线平行,同位角相等）
∵∠１＝∠３（对顶角相等）
∴∠２＝∠３
3、总结出性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单说成：两直线平行，内错角相等。
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
4、理解并记忆性质2、3。
（1）性质2、3分别已知什么？得出什么？
（2）性质2、3的应用格式。
∵ AB//CD(已知)
∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）。
∵ AB//CD(已知)
∴∠2+∠4=1800（两直线平行，同旁内角互补）。
三、例题教学。
例1：如图是举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A=1150，∠D=1000。请你求出另外两个角的度数。（梯形的两底是互相平行的）
学生思考后请学生回答，注意启发学生回答为什么，进
一步细化为较为详细的推理，并书写出。
四、课堂练习。
1、如图，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，也就是拐
弯前后的两条路互相平行。第一次拐的角B等于1420，第二次拐的角C是多少度？为什么？
2、如图，DE//BC，B=440，C=570。
（1）DAB等于多少度？为什么？
（2）DAC等于多少度？为什么？
3、已知：如图，ADE=600，B=600， C=800。问AED等于多少度？为什么？
4、书P87例题（略）
五、课堂小结。
1、平行线的三个性质：
两直线平行，同位角相等。
两直线平行，内错角相等。
两直线平行，同旁内角互补。
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a
b
c
1
2
b
3
c
1
2
4
a
A
D
B
C
B
C
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E4.4 平行线的判定 (1)
素质教育目标
( http: / / www.21cnjy.com ) (二)、能力训练点
通过模型演示，即“运动——变化”的教学思想方法的运用，培养学生的“观察——分析”和“归纳——总结”的能力。
通过判定公理的得出，培养学生善于从实践中总结规律，认识事物的能力。
通过判定定理的推导，培养学生的逻辑推理能力。
(三)、德育渗透点
通过“转化”及“运动——变化”的数学思想方法的运用，让学生认识事物之间是普遍联系相互转化的辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点
重点：在观察实验的基础上进行方法1的概括与方法2的推导
难点：“同一法”及判定方法的形成过程中逻辑推理及书写格式
三、教学方法
启发示引导发现法
教具
多媒体计算机、实物投影仪
教学步骤
(一)创设情境，复习引入
利用上节课所学的平行线的定义及平行线的性质，让学生对下列语句做出判断，并说明道理：
1、两条直线不相交，就叫做平行线；（错）
2、平行线有哪些性质？
接着让学生思考：平行线的定义能否作为判断两条直线是否平行的方法呢？如果能的话，我们用平行线的定义来判断两条直线平行要满足什么条件？（①、在同一个平面内；②、不相交）
给出下面两种两条直线的位置情况，引导 ( http: / / www.21cnjy.com )学生观察发现，当我们不能用定义来判断两条直线平行时，就要寻找另外一些判定两直线平行的方法。由此引出课题：平行线的判定。
下面我们将以两条直线被第三条直线所截的图形为基础研究判定两直线平行的方法。
(二)探索新知，讲授新课
1、平行线判定方法1（1）动画演示（可以在黑板上演示，先画两条相交的直线，再在一直线上取一点贴上一条米尺，进行转动）：教师给出下图那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动，让学生观察，转动到不同位置时，的大小有无变化，再让从小变大，说出直线与的位置关系变化规律．
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【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考、总结出结论．
学生活动：转动到不同位置时，也随着变化，当从小变大时，直线从原来在右边与直线相交，变到在左边与相交．
师：在这个过程中，存在一个与不相交即与平行的位置，那么多大时，直线呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系．
（2）进行观察比较，得出初步结论
进一步启发学生，能否由平行线的画法找到判断两直线平行的条件，并让学生回忆平行线的画法，而后用计算机演示作图的过程：（过已知直线a外一点p画a的平行线b）
师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？
学生：保证了两个同位角相等．
师：由此你能得到什么猜想？
学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行．
师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？
教师用计算机演示运动变化过程．在观察实验之前，让学生看清角和角（如图2），而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论．
学生活动：学生观察、讨论、分析．
总结了，当时，不平行，而无论取何值，只要，、就平行．
教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为平行线的判定方法1．
SHAPE \* MERGEFORMAT ( http: / / www.21cnjy.com )
理由：“同一法”
（见书P90）一定要讲解清楚，这是本节课的一个难点。
得出“平行线的判定方法1”：两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么这两条直线平行。可以简单说成：同位角相等，两直线平行。
常见写法：
∵∠１＝∠２（已知）
∴a∥b（同位角相等,两直线平行）
（3）及时巩固，及时反馈。
用变式图形，让学生完成如下两个练习题：
练习1：如图，
∠1=150°，
∠2=150°，
a//b吗？
练习2：如图，
∠C=31°，当∠ABE= 度时，就能使BE//CD？
书P91 例1（略）
2、平行线判定方法2
（1）首先以简单的实例表明需要，引出新问题（ “内错角相等，两直线平行”的判定）：
如图1，如何判断这块玻璃板的上、下两 ( http: / / www.21cnjy.com )边平行？添加出截线后（图2），比照判定公理图，发现无法定出∠1的同位角，再结合图3，让学生思考、试答。直至发现内错角相等的条件后，让学生说明道理，而后师生共同修改。
然后，用计算机显示出完整的“推理”过程，并作详细的解释，（如图3）如果，那么a//b吗？
得到平行线的判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果有一对内错角相等，那么这两条直线平行。可以简单说成：内错角相等，两直线平行。
（三）知识的应用
练习：课本第91页的1、2题
补充习题：
1、错例分析：
已知：如图
2、如图，说出下列各对角是哪两条直线被哪一条直线截得的什么角？并指出这些角具有怎样的数量关系时，可以判定哪两条直线平行。
(1)
(2)
(3)
3、如图，已知，，试问EF是否平行GH，并说明理由。
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图24.5 垂线
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教学重点：两直线互相垂直的概念及垂线的有关性质。
教学难点：垂线的有关性质及垂线的画法
教学过程：
一、知识准备
1、直角等于多少度？一个平角等于几个直角？2、如果a∥b，c∥b，那么 a∥c。
3、两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补。
二、合作探究
1、互相垂直的有关概念
（1）观察P69的教材内容，引出生活中互相垂直的例子。
（2）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
（3）垂直的符号：垂直用符号“⊥”表示，AB与CD垂直（O为垂足），记作 AB⊥CD，读作AB垂直于CD。
2、画垂线的方法
引导学生用三角板画垂线，经过点P（如图（1）、（2））画直线AB的垂线。
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（1） （2） （3） （4）
3、垂线的有关性质
（1）P70动脑筋
如图（3），在同一平面内，如果a⊥m，b⊥m，那么a∥b吗？
因为a⊥m（已知）所以 ∠1＝90°；因为b⊥m（已知）所以 ∠2＝90°（垂直的定义）。所以∠1=∠2(等量代换)，所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。
归纳：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
（3）如图（4），在同一平面内，如果a∥b，m⊥a，那么m⊥b吗？
因为m⊥a（已知）所以 ∠1＝90°；因为a∥b（已知），所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）所以 ∠2＝90° (等量代换)，。所以b⊥m（互相垂直的概念）。
归纳：在平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条直线，那么这条直线必垂直于另一条。
( http: / / www.21cnjy.com )4.6 两条平行线间的距离
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教学重点：理解平行线之间的距离的概念，掌握它与点到直线的距离的关系。
教学难点：画到已知直线已知距离的平行线。
教学过程：
准备知识
1、点到直线距离。
2、直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
3、三条直线的平行关系。
二、探究新知
1、做一做。
测量自己的数学课本的宽度。要注意什么问题？刻度尺要与课本两边互相垂直。
2、公垂线、公垂线段的概念
与两条平行直线都垂直的直线，叫做这两条平行直线
的公垂线。如图形中的直线AB与CD都是公垂线，这时连
结两个垂足的线段，叫做这两条平行直线的公垂线段。图中
的线段AB和CD。
两平行线的公垂线段也可以看成是两平行直线中一条上
的一点到另一条的垂线段。
3、公垂线段定理：两平行线的所有公垂线段都相等。
4、两平行线上各取一点连结而成的所有线段中，公垂线
段最短。
如图m∥n，直线m、n上各取一点A、B，连结AB。
再过A作n线段的垂线段AC，垂足为C，则有AC＜AB。
从而得到上述定理。
5、两平行间的距离：两平行线的公垂线段的长度。
6、范例分析
P105例 如图设直线a、b、c是三条平行直线。已知
a与b的距离为5厘米， b与c的距离为2厘米，求a与
c的距离。
（引导学生分析，然后按教材写出解题过程：
解：在直线a上任取一点A，过A作AC⊥a，分别交
b、c于B、C两点，则AB、BC、AC分别表示a与b，
b与c，a与c的公垂线段。
AC＝AB+BC＝5＋2＝7，因此a与c的距离为7厘米。
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