辗转相除法与更相减损术
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(共11张PPT)
1.求两个正整数的最大公约数.
（1）求25和35的最大公约数；
（2）求49和63的最大公约数.
2.求8251和6105的最大公约数.
25
（1）
5
5
35
7
49
（2）
7
7
63
9
所以，25和35的最大公约数为5，
所以，49和63的最大公约数为7.
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程.
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146.
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了.
第二步 对6105和2146重复第一步的做法， 6105=2146×2+1813. 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数.
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数.
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数，
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0.
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构.
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0
是
否
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.
第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数.若是，则用2约简；若不是则执行第二步.
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数.
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7.
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
辗转相除法与更相减损术的区别：
课本36页练习第1题
课后作业
1.求两个正整数的最大公约数.
（1）求25和35的最大公约数；
（2）求49和63的最大公约数.
2.求8251和6105的最大公约数.
25
（1）
5
5
35
7
49
（2）
7
7
63
9
所以，25和35的最大公约数为5，
所以，49和63的最大公约数为7.
辗转相除法（欧几里得算法）
观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程.
第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146.
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了.
第二步 对6105和2146重复第一步的做法， 6105=2146×2+1813. 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数.
完整的过程
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数.
例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数
225=135×1+90
135=90×1+45
90=45×2
显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数
思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？
S1：用大数除以小数，
S2：除数变成被除数，余数变成除数
S3：重复S1，直到余数为0.
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构.
8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
1813=333×5+148
333=148×2+37
148=37×4+0
m = n × q ＋ r
用程序框图表示出右边的过程
r=m MOD n
m = n
n = r
r=0
是
否
《九章算术》——更相减损术
算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.
第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数.若是，则用2约简；若不是则执行第二步.
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数.
例3 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减
98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21
21－7＝14
14－7＝7
所以，98和63的最大公约数等于7.
（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到
辗转相除法与更相减损术的区别：
课本36页练习第1题
课后作业