课件10张PPT。1)空间向量的数量积性质 注意:①性质2)是证明两向量垂直的依据;
②性质3)是求向量的长度(模)的依据;
(3)性质4是求两个向量夹角的依据;2)空间向量的数量积满足的运算律 注意:例1 已知在平行六面体 中, ,
,
求对角线 的长。AE 例2、如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,线段DD' ??交?于D',?DBD’=30?.如果AB=a,AC=BD=b,
(1)求C、D间的距离; (2)求异面直线DC,BD'所成的角.F ∵在正方体AC1中
A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影证明:同理可证, A1C⊥B1D1由三垂线定理知
A1C⊥BC1 结论:正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直 例4:利用向量的数量积可以证明两直线垂直,因而也可以证明线面垂直问题。例1、正方体 中,E、F分别是
的中点。求证:分析:要证明线面垂直,只需证明直线和已知平面内的两条相交直线垂直即可。本题可考虑证明1)空间向量的数量积性质 注意:①性质2)是证明两向量垂直的依据;
②性质3)是求向量的长度(模)的依据;
(3)性质4是求两个向量夹角的依据; 小 结:
到目前为止,我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下几类问题:
1、证明两直线垂直。2、求两点之间的距离
或线段长度。
(3、证明线面垂直。)4、求两直线所成角的
余弦值等等。
课件11张PPT。两个向量的数量积9.5 空间向量及其运算教学过程一、几个概念
1) 两个向量的夹角的定义夹
角
的
顶
点
为
两
个
向
量
的
起
点
教学过程2)两个向量的数量积注意:
①两个向量的数量积是数量,而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)射影注意: 在轴L上的正射影A1B1是一个可正可负的实数,
它的符号代表向量 与L的方向的相对关系,大小代表
在L上射影的长度。AB4)空间向量的数量积性质 注意:①性质2)是证明两向量垂直的依据;
②性质3)是求向量的长度(模)的依据;
(3)性质4是求两个向量夹角的依据;对于非零向量 ,有:5)空间向量的数量积满足的运算律 注意:二、 课堂练习(1)二、 课堂练习(2)例4 已知在平行六面体 中, ,
,
求对角线 的长。AE 例3、如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,线段DD' ??交?于D',?DBD’=30?.如果AB=a,AC=BD=b,
(1)求C、D间的距离; (2)求异面直线DC,BD'所成的角.F课件15张PPT。平面向量概念加法
减法
数乘
运算运
算
律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或
平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律小结类比、数形结合数乘:ka,k为正数,负数,零例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,
求满足下列各式的x的值。例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,
求满足下列各式的x的值。解:例2:已知平行六面体
ABCD-A1B1C1D1,
求满足下列各式的x的值。解:ABMCGD练习一:空间四边形ABCD中,M、G分别
是BC、CD边的中点,化简:ABMCGD(2)原式练习一:空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边
的中点,化简:练习二:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.练习二:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.练习二:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.一、复习:平面共线向量:零向量与任意向量共线.2.平面向量共线定理:1.平面向量共线:平面内,两个向量方向相同或相反的非零向量叫做共线向量(或平行向量),记作一、共线向量:零向量与任意向量共线.1.下列说法正确的是:
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
E.在平面内,任意两个向量一定共线D 若P为AB中点, 则以上叫向量参数表示式中点公式:P推论给出了点P在直线AB上的三个充要条件:中点公式: 若P为AB中点, 则此推论应用于证明三点共线D课件21张PPT。空间向量及其加减与数乘运算一、平面向量复习⒈定义:既有大小又有方向的量叫向量. 几何表示法:用有向线段表示; 字母表示法:用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示.相等的向量: 长度相等且方向相同的向量. 2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则⒊平面向量的加法与数乘运算律加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb 推广(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:(2)首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:二、空间向量及其加减与数乘运算⒈空间向量:空间中具有大小和方向的量叫做向量.⑴定义:⑵表示方法:①空间向量的表示方法和平面向量一样;③空间任意两个向量都可以用同一平面
内的两条有向线段表示.②同向且等长的有向线段表示同一向量或
相等的向量;OAB结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用
同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有
关结论仍适用于它们。思考:它们确定的平面是否唯一?思考:空间任意两个向量是否可能异面?⒉空间向量的加法、减法与数乘向量a + baaOPa - b⒊空间向量加法与数乘向量运算律⑴加法交换律:a + b = b + a;⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb ;bcaa + b + c a + b a + b + c abcb + c 对空间向量的加法、减法与数乘向量的说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立.⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向
量相加.CABD平行六面体 平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记作ABCD—A’B’C’D’.A’B’C’D’ 平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱.解: 始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量-------空间平行六面体法则⑶设M是线段CC’的中点,则解:M⑷设G是线段AC’靠近点A的
三等分点,则GABCDA’B’C’D’M解:例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,
求满足下列各式的x的值。例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,
求满足下列各式的x的值。解:例2:已知平行六面体
ABCD-A1B1C1D1,
求满足下列各式的x的值。解:ABMCGD练习一:空间四边形ABCD中,M、G分别
是BC、CD边的中点,化简:ABMCGD(2)原式练习一:空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边
的中点,化简:课件10张PPT。9.5 空间向量及其运算3.空间向量基本定理一.复习平面向量的基本定理如果 , 是平面内两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数t1,t2使OCMN对向量a进行分解:二、空间向量的基本定理如果三个向量 不共面,那么对空间任一向量 ,存在一个唯一的有序实数对 x、y、z,使ABDCOE推论:设点O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数对 x、y、z使
OABCPPP注:空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底
如:例:已知空间四边形OABC,对角线OB、AC,M和N分别是OA、BC的中点,点G在MN上,且使MG=2GN,试用基底 表示向量解:在△OMG中,1.已知向量 是空间的一个基底,从
中选哪一个向量,一定可以与向量
, 构成空间的另一个基底?2.如果向量 与任何向量都不能构成
空间的一个基底,那么 之间应有什
么关系?练 习3.O、A、B、C为空间四点,且向量
不能构成空间的一个基底,那么点O、A、
B、C是否共面?4.已知空间四边形OABC,点M、N分别是
边OA、BC的中点,且 , ,
,用 表示向量5.已知平行六面体OABC-O’A’B’C’,且
, , ,用 表示如下
向量:(1) ;
(2) (点G是侧面BB’C’C的中心)G课件14张PPT。一、共线向量:零向量与任意向量共线.推论给出了点P在直线AB上的三个充要条件:中点公式: 若P为AB中点, 则D二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意:空间任意两个向量是共面的,但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量
不共线,则向量 与向量 共面的充要
条件是存在实数对 使 推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使
或对空间任一点O,有
练习1: 已知A、B、M三点不共线,对于平面
ABM外的任一点O,确定在下列各条件下,
点P是否与A、B、M一定共面?练 习2:B3.对于空间中的三个向量
它们一定是:
A.共面向量 B.共线向量
C.不共面向量
D.既不共线又不共面向量A4.已知点M在平面ABC内,并且对空间任
意一点O, ,则x
的值为:D4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点
O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?例3 如图,已知平行四边形ABCD,从平
面AC外一点O引向量 , ,
, ,
求证:
⑴四点E、F、G、H
共面;
⑵平面EG//平面AC。
三、课堂小结:
1.共线向量的概念。
2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。
4.共面向量定理。