广东省肇庆市重点中学2023-2024学年高一上学期12月联考数学试题（含解析）

肇庆市重点中学2023-2024学年高一上学期12月联考
数学
一、单选题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分）
1．如图，全集，，则图中阴影部分所表示的集合是
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于，则当这个直角三角形周长取最大值时，其面积为（ ）
A． B．1 C．2 D．6
4．肇庆市第一中学不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还有着非常美丽的校园环境．下图是我校荷花塘地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
5．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数f（x）的图象大致是
A． B．
C． D．
6．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足的所有x之和为
A． B． C． D．
7．记，若（且），则称是的n次迭代函数．若，则（ ）
A． B． C．2022 D．2023
8．我国古代数学名著《九章算术》的“论割圆术”中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如表达式（“…”代表无限次重复）可以通过方程来求得，即；类似上述过程及方法，则的值为（ ）
A． B． C．7 D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题6分，共48分）
9．若，则 .
10．对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
11．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 .
12．若均为正数，且，则的最小值为 .
13．若命题：“任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的范围是 .
14．已知关于的不等式的解集是，则的取值范围是 .
15．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，高斯函数应用范围很广，在自然科学 社会科学 数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.则函数的值域为 .
16．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（LEJBrouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.若，则的不动点为 .
三、解答题（共3小题，17题16分，18题16分，19题22分，共54分）
17．已知函数 对一切实数 都有 成立，且
(1)求 的解析式；
(2)，若存在 ，使得 ，有 成立，求 的取值范围．
18．已知，满足
①求的最小值；
②当取最小值时，求的最大值.
19．已知函数，其中为常数.
(1)当时，解不等式的解集；
(2)当时，写出函数的单调区间；
(3)若在上存在个不同的实数，，使得，求实数的取值范围.
答案
1．C
解：由题意得，所以图中阴影部分所表示的集合为
2．A
解：当：
若异号，即，显然成立；
若或，均有成立；
所以充分性成立；
当：若，，显然不成立，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分不必要条件.
3．C
解：设该直角三角形的斜边为，直角边为，，则，
因为，所以，即，
当且仅当，且，即时，等号成立.
因为，，所以，所以的最大值为4，
该直角三角形周长，
故这个直角三角形周长取最大值时，，
此时三角形的面积为.
4．C
解：对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.
5．C
解：函数的定义域为{x|x±1}，
f（﹣x）f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，
当x1时，f（x）0恒成立，排除B，D，
6．C
解：试题分析：根据已知函数是连续的偶函数,且当时是单调函数，且有，则说明而来，那么解方程可知满足方程的解求解得到方程的根满足，那么结合韦达定理可知四个根的和为-8，
7．B
解：根据题意，，即，则，，，故有，
所以，故.
8．B
解：由题意,令,则,
整理得，解得，，，
9．
解：由题意，∵集合中有元素，
∴，
又∵，
∴，则，
∴，
∴，解得：或，
当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，，
满足，
∴，则.
10．
解：对于，不等式恒成立，
即的最小值大于或等于，
由绝对值的意义：表示数轴上的x对应点到和对应点的距离之和，
它的最小值为4，故，即，解得，
故实数的取值范围是.
11．
解：若不等式 有解, 即即可,
由题意可知：
，
当且仅当 , 即时, 等号成立,
可得, 即, 解得或,
所以实数 的取值范围是.
12．
解：因为均为正数，所以，则，
又因为，所以，
令，则，即，
解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
13．
解：由题意，存在实数使得不等式成立，
所以不等式的解集非空，
①当时，，得，符合题意，
②当时，不等式对应的二次函数开口向下，
故的解集显然非空，符合题意，
③当时，因为不等式的解集非空，
所以，即，解得或，
所以或，
综上或，
14．
解：关于的不等式的解集是，
所以，，且是一元二次方程的
两个根，可知，，解得：或，
所以，.又有，，.
所以，；
所以，.
15．
解：令，
所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以函数的值域为.
16．0或1
解：设的不动点为，则由题意，又，故，即，所以，故为的不动点，故，即，解得或，即的不动点为0或1.
17．(1)
(2)
解：（1）∵函数 对一切实数 都有 成立，且 ，
令y＝1，则，
．
.
（2）由题意，有，
则，
对于g(x)，当x＝0时，g(0)＝0，
当时，，设，
则在（0，1）单调递减，在单调递增，在x＝1处取到最小值，
所以，所以，
综上，，当且仅当x＝1时取到，
所以；
设，则h(x)为开口向上的二次函数，其对称轴为x＝a，下面通过对称轴的位置对h(x)的最值情况进行分类讨论：
当时，对称轴距离区间右侧x＝2更远，故，
∴，即；
2）当时，对称轴距离区间左侧x＝－1更远，故，
∴，即；
综上，．
18．①2；②
解：①因为，等号成立的条件是，所以，当时，S可取最小值2.
②当S取最小值时，，从而，；
令则从而，（负值舍去）.
由在单减，因此，当时，c有最大值
19．(1)
(2)的严格增区间为和，严格减区间为
(3)
（1）解：当时，，
当时，，解得，所以，
当时，成立，
当时，，解得，
综上，不等式的解集为；
（2）解：当时，，
所以由二次函数的单调性知，的严格增区间为和，严格减区间为.
（3）解：①当时，在上单调递增，
所以
，
所以，解得；
②当时，，在上单调递增，
所以
所以，解得；
③当时，则，在上单调递增，在上单调递减，
所以
，不满足条件，
④当时，，
在、上单调递增，在上单调递减，
所以
，不满足条件，
综上，实数的取值范围为.