广东省惠州市重点中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)

惠州市重点中学2022级高二第一学期期中考试试题
数学科
考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上．
1．平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．方程的化简结果是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线与直线平行，则（ ）
A．2或 B． C．2 D．或1
5．如图，在平行六面体中，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．在一直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线的斜率之积为，则为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线必过定点
C．方程与方程表示同一条直线
D．经过点，且在轴上截距相等的直线方程为
10．一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，各4张，从扑克牌中随机取出1张，“取出的牌为10”，“取出的牌为红桃”，“取出的牌为黑桃9”，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与对立
11．若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．在正三棱柱中，与交于点，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．存在点，使得
C．三棱锥的体积为 D．直线与平面所成角的余弦值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．长方体中，，则异面直线和所成角的余弦值是______．
14．已知点，点是直线上的动点，则的最小值为______．
15．已知空间三点，则以为邻边的平行．四边形的面积是______．
16．在平面直角坐标系中，点，若直线上有且只有1个点满足，则实数的值是______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知点是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动直线过与椭圆交于两点，求的周长．
18．（12分）
在中，角的对边分别为，满足．
（1）求角A；
（2）若，求的面积．
19．（12分）
如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，为中点，为靠近的四等分点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．（12分）
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动，在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．
21．（12分）
在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面平面，点在棱上．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长度．
22．（12分）
已知点，圆．
（1）求圆过点的切线方程；
（2）头圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点，设的斜率分别为，求证：为定值．