上海市浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试卷（含答案）

浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考
数学试卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知，，则___________.
2. 过点斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为___________.
3. 已知在角的终边上，则___________.
4. 已知复数，（i是虚数单位），若是纯虚数，则实数__.
5. 等差数列满足，，则___________.
6. 已知函数（且）恒过定点，则________________．
7. 已知双曲线的渐近线方程为，且右顶点与椭圆的右焦点重合，则这个双曲线的标准方程是___________.
8. 已知正实数x、y满足，则的最小值为___________.
9. 已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则___________.
10. 函数的最大值为__________．
11. 已知等边的边长为，点是其外接圆上的一个动点，则的取值范围是___________.
12. 一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为______.
二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）
13. 若，则“”是“”的（ ）条件
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充要 D. 既非充分也非必要
14. 设是复数，则下列命题中的假命题是
A 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
15. 在正方体中，给出下列四个推断：
①
②
③平面平面
④平面平面
其中正确的推断有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16. 已知均为正数，并且，给出下列2个结论：
①中小于1的数最多只有一个；
②中最小的数不小于.则（ ）
A. ①对，②错 B. ①错，②对
C ①，②都错 D. ①，②都对
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，．
（1）求证：平面；
（2）若PC与平面所成角为，求点A到平面的距离．
18. 已知函数，的内角所对的边分别为，，且的外接圆的半径为.
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值.
19. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为、，山区边界曲线为C，计划修建的公路为，如图所示，M、N为C的两个端点，测得点M到、的距离分别为5千米和40千米，点N到、的距离分别为20千米和2.5千米，以、所在的直线分别为x、y轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数（其中a、b为常数）模型.
（1）求a、b的值；
（2）设公路与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路长度最短 求出最短长度.
20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与椭圆交于另一点N，过原点的直线与椭圆交于P、Q两点.
（1）求周长；
（2）是否存在这样的直线，使椭圆中与直线平行的弦的中点都在上 若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由；
（3）若直线与线段相交，且四边形的面积，求直线的斜率的取值范围.
21. 设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
（1）若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
（2）已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
（3）若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.
浦东新区重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考
数学试卷 简要答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】
【4题答案】
【答案】
【5题答案】
【答案】28
【6题答案】
【答案】3
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】8
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】##
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）
【13题答案】
【答案】A
【14题答案】
【答案】D
【15题答案】
【答案】C
【16题答案】
【答案】A
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
【17题答案】
【答案】（1）证明略；（2）点A到平面PCD的距离为．
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）①，定义域；②时，千米
【20题答案】
【答案】（1）；
（2）存在；；
（3）.
【21题答案】
【答案】（1）不是,证明略
（2）真命题证明略
（3）证明略